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  • 2021-06-10 发布

2019高三数学(人教A版 文)一轮课时分层训练40 直线、平面垂直的判定及其性质

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课时分层训练(四十) ‎ 直线、平面垂直的判定及其性质 ‎ (对应学生用书第284页)‎ A组 基础达标 ‎(建议用时:30分钟)‎ 一、选择题 ‎1.(2018·广州模拟)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列说法正确的是(  )‎ A.若m⊥n,n∥α,则m⊥α B.若m∥β,β⊥α,则m⊥α C.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥α D.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α C [A中,由m⊥n,n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊥α,错误;‎ B中,由m∥β,β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α,错误;‎ C中,由m⊥β,n⊥β可得m∥n,又n⊥α,所以m⊥α,正确;‎ D中,由m⊥n,n⊥β,β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α,错误.]‎ ‎2.在下列四个正方体中,能得出AB⊥CD的是(  )‎ A [A选项中,因为CD⊥平面AMB,所以CD⊥AB,B选项中,AB与CD成60°角;C选项中,AB与CD成45°角;D选项中,AB与CD夹角的正切值为.]‎ ‎3.如图7510,在正四面体PABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论不成立的是(  )‎ 图7510‎ A.BC∥平面PDF B.DF⊥平面PAE C.平面PDF⊥平面PAE D.平面PDE⊥平面ABC D [因为BC∥DF,DF⊂平面PDF,‎ BC⊄平面PDF,‎ 所以BC∥平面PDF,故选项A正确.‎ 在正四面体中,AE⊥BC,PE⊥BC,DF∥BC,‎ 所以BC⊥平面PAE,则DF⊥平面PAE,从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B,C均正确.]‎ ‎4.如图7511,在三棱锥DABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列命题中正确的是(  ) 【导学号:79170259】‎ 图7511‎ A.平面ABC⊥平面ABD B.平面ABD⊥平面BCD C.平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDE D.平面ABC⊥平面ACD,且平面ACD⊥平面BDE C [因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC,同理有DE⊥AC,于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE.]‎ ‎5.(2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则(  )‎ A.A1E⊥DC1     B.A1E⊥BD C.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC C [如图,∵A1E在平面ABCD上的投影为AE,而AE不与AC,BD垂直,∴B,D错;‎ ‎∵A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C,且B1C⊥BC1,‎ ‎∴A1E⊥BC1,故C正确;‎ ‎(证明:由条件易知,BC1⊥B1C,BC1⊥CE,又CE∩B1C=C,‎ ‎∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E⊂平面CEA1B1,∴A1E⊥BC1)‎ ‎∵A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E,而D1E不与DC1垂直,故A错.]‎ 二、填空题 ‎6.如图7512所示,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)‎ 图7512‎ DM⊥PC(或BM⊥PC等) [由定理可知,BD⊥PC.‎ ‎∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,有PC⊥平面MBD.‎ 又PC⊂平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.]‎ ‎7.如图7513,在三棱柱ABCA1B1C1中,各棱长都相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中心,则AD与平面BB1C1C所成角的大小是________.‎ 图7513‎  [取BC的中点E,连接AE,DE,则AE⊥平面BB1C1C.‎ 所以∠ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角.‎ 设三棱柱的所有棱长为a,‎ 在Rt△AED中,‎ AE=a,DE=.‎ 所以tan∠ADE==,则∠ADE=.‎ 故AD与平面BB1C1C所成的角为.]‎ ‎8.(2016·全国卷Ⅱ)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:‎ ‎①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.‎ ‎②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.‎ ‎③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.‎ ‎④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.‎ 其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号) ‎ ‎【导学号:79170260】‎ ‎②③④ [对于①,α,β可以平行,也可以相交但不垂直,故错误.‎ 对于②,由线面平行的性质定理知存在直线l⊂α,n∥l,又m⊥α,所以m⊥l,所以m⊥n,故正确.‎ 对于③,因为α∥β,所以α,β没有公共点.又m⊂α,所以m,β没有公共点,由线面平行的定义可知m∥β,故正确.‎ 对于④,因为m∥n,所以m与α所成的角和n与α所成的角相等.因为α∥β,所以n与α所成的角和n与β所成的角相等,所以m与α所成的角和n与β所成的角相等,故正确.]‎ 三、解答题 ‎9. (2015·北京高考)在三棱锥VABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点.‎ 图7514‎ ‎(1)求证:VB∥平面MOC;‎ ‎(2)求证:平面MOC⊥平面VAB;‎ ‎(3)求三棱锥VABC的体积.‎ ‎[解] (1)证明:因为O,M分别为AB,VA的中点,‎ 所以OM∥VB. 3分 又因为VB⊂/平面MOC,所以VB∥平面MOC. 5分 ‎(2)证明:因为AC=BC,O为AB的中点,所以OC⊥AB.‎ 又因为平面VAB⊥平面ABC,且OC⊂平面ABC,‎ 所以OC⊥平面VAB.‎ 所以平面MOC⊥平面VAB. 8分 ‎(3)在等腰直角三角形ACB中,AC=BC=,‎ 所以AB=2,OC=1.‎ 所以等边三角形VAB的面积S△VAB=. 9分 又因为OC⊥平面VAB,‎ 所以三棱锥CVAB的体积等于OC·S△VAB=.‎ 又因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等,所以三棱锥VABC的体积为. 12分 ‎10.⊙O的直径AB=4,点C,D为⊙O上两点,且∠CAB=45°,F为的中点.沿直径AB折起,使两个半圆所在平面互相垂直(如图7515②).‎ ‎①     ②‎ 图7515‎ ‎(1)求证:OF∥平面ACD;‎ ‎(2)在AD上是否存在点E,使得平面OCE⊥平面ACD?若存在,试指出点E的位置;若不存在,请说明理由.‎ ‎[解] (1)证明:由∠CAB=45°,知∠COB=90°, 1分 又因为F为的中点,‎ 所以∠FOB=45°,因此OF∥AC, 3分 又AC⊂平面ACD,OF⊄平面ACD,‎ 所以OF∥平面ACD. 5分 ‎(2)存在,E为AD中点,‎ 因为OA=OD,所以OE⊥AD. 7分 又OC⊥AB且两半圆所在平面互相垂直.‎ 所以OC⊥平面OAD. 9分 又AD⊂平面OAD,所以AD⊥OC,‎ 由于OE,OC是平面OCE内的两条相交直线,‎ 所以AD⊥平面OCE.‎ 又AD⊂平面ACD,‎ 所以平面OCE⊥平面ACD. 12分 B组 能力提升 ‎(建议用时:15分钟)‎ ‎1.(2017·贵州贵阳二模)如图7516,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,沿AE,AF,EF把正方形折成一个四面体,使B,C,D三点重合,重合后的点记为P,P点在△AEF内的射影为O,则下列说法正确的是(  )‎ 图7516‎ A.O是△AEF的垂心 B.O是△AEF的内心 C.O是△AEF的外心 D.O是△AEF的重心 A [由题意可知PA,PE,PF两两垂直,‎ 所以PA⊥平面PEF,从而PA⊥EF,‎ 而PO⊥平面AEF,则PO⊥EF,因为PO∩PA=P,‎ 所以EF⊥平面PAO,‎ 所以EF⊥AO,同理可知AE⊥FO,AF⊥EO,‎ 所以O为△AEF的垂心.]‎ ‎2.如图7517,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点F在线段AA1上,当AF=________时,CF⊥平面B1DF.‎ 图7517‎ a或2a [∵B1D⊥平面A1ACC1,∴CF⊥B1D.‎ 为了使CF⊥平面B1DF,只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F).‎ 设AF=x,则CD2=DF2+FC2,‎ ‎∴x2-3ax+2a2=0,∴x=a或x=2A.]‎ ‎3. (2016·四川高考)如图7518,在四棱锥PABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC ‎=∠PAB=90°,BC=CD=AD.‎ 图7518‎ ‎(1)在平面PAD内找一点M,使得直线CM∥平面PAB,并说明理由;‎ ‎(2)证明:平面PAB⊥平面PBD. 【导学号:79170261】‎ ‎[解] (1)取棱AD的中点M(M∈平面PAD),点M即为所求的一个点.‎ 理由如下:连接CM,‎ 因为AD∥BC,BC=AD,‎ 所以BC∥AM,且BC=AM. 2分 所以四边形AMCB是平行四边形,‎ 所以CM∥AB.‎ 又AB⊂平面PAB,CM⊄平面PAB,‎ 所以CM∥平面PAB.‎ ‎(说明:取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点) 5分 ‎(2)证明:由已知,PA⊥AB,PA⊥CD,‎ 因为AD∥BC,BC=AD,所以直线AB与CD相交,‎ 所以PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD. 8分 因为AD∥BC,BC=AD,M为AD的中点,连接BM,‎ 所以BC∥MD,且BC=MD,‎ 所以四边形BCDM是平行四边形,‎ 所以BM=CD=AD,所以BD⊥AB.‎ 又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB.‎ 又BD⊂平面PBD,所以平面PAB⊥平面PBD. 12分

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