数学（理）卷·2017届重庆市巴蜀中学高三下学期第二次诊断模拟考试（2017 12页

重庆市巴蜀中学2017届高三第二次诊断考试模拟 数学试卷（理科）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则集合的子集个数为（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．8‎ ‎2.已知复数满足（其中为虚数单位），则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.若，则函数在区间内单调递增的概率是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.中国古代数学名著《九章算术》中记载：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，共猜得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？其意是：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，他们共猎获五只鹿，欲按其爵级高低依次递减相同的量来分配，问各得多少.若五只鹿的鹿肉共500斤，则不更、簪袅、上造这三人共分得鹿肉斤数为（ ）‎ A．200 B．300 C． D．400‎ ‎5.已知双曲线的实轴长为2，且它的一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程可能是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.点的坐标满足约束条件，由点向圆：作切线，切点为，则线段的最小值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.设，则的大小关系是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）‎ A．5 B．6 C. 7 D．8‎ ‎10.如图所示为函数的部分图象，其中两点之间的距离为5，则函数图象的对称轴为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.动直线与抛物线：相交于两点，为坐标原点，若，则的最大值为（ ）‎ A． B．8 C. 16 D．24‎ ‎12.不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作.已知，给出下列结论：‎ ‎①是偶函数；‎ ‎②是周期函数，且最小值周期为；‎ ‎③的单调递减区间为；‎ ‎④的值域为.‎ 其中正确的个数为（ ）‎ A．0 B．1 C. 2 D．3‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知向量，，，且，则等于 ．‎ ‎14.若（其中），则多项式展开式的常数项为 ．‎ ‎15.已知正项等比数列的公比，且满足，，设数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，则实数 的最大值为 ．‎ ‎16.下图是两个腰长均为的等腰直角三角形拼成的一个四边形，现将四边形沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的体积为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知的三个内角所对的边分别为，且满足.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若动点在的外接圆上，且点不在的同一侧，，试求面积的最大值. 18.如图（1），在五边形中，，，，，是以为斜边的等腰直角三角形.现将沿折起，使平面平面，如图（2），记线段的中点为.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小.‎ ‎19.团购已成为时下商家和顾客均非常青睐的一种省钱、高校的消费方式，不少商家同时加入多家团购.现恰有三个团购站在市开展了团购业务，市某调查公司为调查这三家团购站在本市的开展情况，从本市已加入了团购站的商家中随机地抽取了50家进行调查，他们加入这三家团购站的情况如下图所示.‎ ‎（1）从所调查的50家商家中任选两家，求他们加入团购站的数量不相等的概率；‎ ‎（2）从所调查的50家商家中任取两家，用表示这两家商家参加的团购站数量之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望；‎ ‎（3）将频率视为概率，现从市随机抽取3家已加入团购站的商家，记其中恰好加入了两个团购站的商家数为，试求事件“”的概率.‎ ‎20.已知点是圆心为的圆上的动点，点，为坐标原点，线段的垂直平分线交于点.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）过原点作直线交（1）中的轨迹于点，点在轨迹上，且，点满足，试求四边形的面积的取值范围.‎ ‎21.已知函数（为实数，为自然对数的底数），曲线在处的切线与直线平行.‎ ‎（1）求实数的值，并判断函数在区间内的零点个数；‎ ‎（2）证明：当时，.‎ 请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线的参数方程为（为参数），圆的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）若直线与圆的相交弦长不小于，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若点的坐标为，动点在圆上，试求线段的中点的轨迹方程. ‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）画出函数的图象； ‎ ‎（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: CBCBD 6-10: ABDCB 11-12:CB ‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）在中，∵，‎ ‎∴，‎ 由正弦定理，得，‎ 又，∴，∴，即，又，∴.‎ ‎（2）由点在的外接圆上，不在的同侧，得，‎ 在中，由余弦定理，得 ‎，即，当且仅当时，取等号.‎ ‎∴的面积.‎ ‎19.（1）解：∵，是线段的中点，∴.‎ 又∵，∴四边形为平行四边形，又，∴，‎ 又∵是等腰直角的中点，∴.‎ ‎∵，∴平面.‎ ‎∵平面，‎ ‎∴平面平面.‎ ‎（2）∵平面平面，且，∴平面，∴.‎ ‎∴两两垂直，以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.‎ ‎∵为等腰直角三角形，且，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，，，，，‎ ‎∴，，设平面的一个法向量为，则有 ‎，∴，取，得，‎ ‎∵平面，∴平面的一个法向量为，‎ 设平面与平面所成的锐二面角为，则 ‎，‎ ‎∴平面与平面所成的锐二面角大小为.‎ ‎19.解：（1）记所选取额两家商家加入团购站的数量相等为事件，则 ‎，所以他们加入团购站的数量不相等的概率为.‎ ‎（2）由题，知的可能取值分别为0，1，2‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 从而的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎.‎ ‎（3）所调查的50家商家中加入了两个团购站的商家有25家，将频率视为概率，则从市中任取一家加入团购站的商家，他同时加入了两个团购站的概率为，所以，所以事件“”的概率为 ‎.‎ ‎20.解：（1）由于点在线段的垂直平分线上，故，因此，故点轨迹为椭圆，其中，，因此点的轨迹的方程为.‎ ‎（2）由，知四边形为平行四边形，故.‎ ‎（i）当为长轴（或短轴）时，依题意，知点就是椭圆的上下顶点（或左右顶点），此时，即.‎ ‎（ii）当直线的斜率存在且不为0时，设斜率为，则直线的方程为，联立方程，消去，得，故，，‎ 所以，由，知为等腰三角形，为的中点，所以，所以直线的方程为，‎ 同理，得，‎ ‎，‎ 设，则，‎ 而，所以当时，，又，所以，‎ 所以，‎ 综上所述，.‎ 所以四边形的面积的取值范围为.‎ ‎21. （1），由题设，可知曲线在处的切线的斜率，解得，‎ ‎∴，‎ ‎∴当时，，‎ ‎∴在区间内为增函数，‎ 又，∴在区间内没有零点.‎ ‎（2）当时，等价于，记，‎ 则，当时，，‎ ‎∴当时，在区间内单调递增，‎ ‎∴，即，两边取自然对数，得（），‎ ‎∴要证明（），只需证明（），‎ 即证当时，，①‎ 设，则，令，‎ 则，当时，；当时，.‎ ‎∴在区间内单调递减，在区间内单调递增，又，，，∴，∴存在，使得，‎ ‎∴当时，；‎ 当时，，∴在区间内单调递增，在区间内单调递减，在区间内单调递增， ‎ 又，∴，当且仅当时，取等号，即①式成立，‎ ‎∴.‎ ‎22.解：（1）直线的普通方程为，圆的普通方程为，圆心到直线的距离，相交弦长为，‎ 令，解得或.即实数的取值范围为.‎ ‎（2）设，，则由线段的中点坐标公式，得（为参数），消去参数并整理，得，即线段的中点的轨迹方程为.‎ ‎23.解：（1）由零点分段法，得，函数的图象如图所示，‎ ‎（2），‎ 当且仅当且，，即或时，取等号.‎ 由不等式对任意实数恒成立，得 由（1）中图象，可知，所以实数的取值范围是.‎