2018届高三数学一轮复习： 第4章 第2节 课时分层训练25 6页

课时分层训练(二十五)　‎ 平面向量的基本定理及坐标表示 A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．如图422，设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：‎ 图422‎ ‎①与；②与；③与；④与.其中可作为该平面内其他向量的基底的是(　　)‎ ‎ 【导学号：01772147】‎ A．①②　 B.①③‎ C.①④　 D.③④‎ B　[①中，不共线；③中，不共线．]‎ ‎2．已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于(　　)‎ A．－a＋b B.a－b C．－a－b D.－a＋b B　[设c＝λa＋μb，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，‎ ‎∴∴∴c＝a－b.]‎ ‎3．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么(　　) ‎ ‎【导学号：01772148】‎ A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向 C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向 D　[由题意可得c与d共线，则存在实数λ，使得c＝λd，即解得k＝－1.c＝－a＋b＝－(a－b)＝－d，故c与d反向．]‎ ‎4．如图423，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝2，则 (　　)‎ 图423‎ A．x＝，y＝ B．x＝，y＝ C．x＝，y＝ D．x＝，y＝ A　[由题意知＝＋，又＝2，所以＝＋＝＋(－)＝＋，所以x＝，y＝.]‎ ‎5．(2015·广东茂名二模)已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均为正数，则＋的最小值是(　　)‎ A．24 B.8‎ C. D. B　[∵a∥b，∴－2x－3(y－1)＝0，‎ 化简得2x＋3y＝3.又∵x，y均为正数，‎ ‎∴＋＝×(2x＋3y)‎ ‎＝≥×＝8，‎ 当且仅当＝时，等号成立，‎ ‎∴＋的最小值是8，故选B.]‎ 二、填空题 ‎6．(2017·陕西质检(二))若向量a＝(3,1)，b＝(7，－2)，则a－b的单位向量的坐标是________．‎ 　[由题意得a－b＝(－4,3)，则|a－b|＝＝5，则a－b的单位向量的坐标为.]‎ ‎7．(2017·广州综合测评(二))已知平面向量a与b的夹角为，a＝(1，)，|a－2b|＝2，则|b|＝________.‎ ‎2　[由题意得|a|＝＝2，则|a－2b|2＝|a|2－4|a||b|cos〈a，b〉＋4|b|2＝22－4×2cos |b|＋4|b|2＝12，解得|b|＝2(负舍)．]‎ ‎8．已知向量＝(3，－4)，＝(0，－3)，＝(5－m，－3－m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m满足的条件是________. ‎ ‎【导学号：01772149】‎ m≠　[由题意得＝(－3,1)，＝(2－m,1－m)，若A，B，C能构成三角形，则，不共线，则－3×(1－m)≠1×(2－m)，解得m≠.]‎ 三、解答题 ‎9．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b). ‎ ‎(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；‎ ‎(2)若＝2，求点C的坐标．‎ ‎[解]　(1)由已知得＝(2，－2)，＝(a－1，b－1).2分 ‎∵A，B，C三点共线，∴∥.‎ ‎∵2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.5分 ‎(2)∵＝2，∴(a－1，b－1)＝2(2，－2).7分 ‎∴解得 ‎∴点C的坐标为(5，－3).12分 ‎10．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．‎ ‎(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；‎ ‎(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.‎ ‎[解]　(1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，2分 所以解得5分 ‎(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，7分 由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－.12分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(2016·四川高考)已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||＝1，＝，则||2的最大值是(　　)‎ A.　　　　　 B. C. D. B　[设BC的中点为O，以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则B(－，0)，C(，0)，A(0,3)．又||＝1，∴点P的轨迹方程为x2＋(y－3)2＝1.由＝知点M为PC的中点，设M点的坐标为(x，y)，相应点P的坐标为(x0，y0)，则 ‎∴∴(2x－)2＋(2y－3)2＝1，‎ 即2＋2＝，∴点M的轨迹是以H为圆心，r＝为半径的圆，∴|BH|＝＝3，∴||的最大值为3＋r＝3＋＝，∴||2的最大值为.]‎ ‎2．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图424所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________. ‎ ‎【导学号：01772150】‎ 图424‎ ‎4　[以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，‎ 则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，‎ ‎∴a＝＝(－1,1)，b＝＝(6,2)，c＝＝(－1，－3)．‎ ‎∵c＝λa＋μb，‎ ‎∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，‎ 即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，‎ 解得λ＝－2，μ＝－，∴＝4.]‎ ‎3．已知点O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，＝t1＋t2.‎ ‎(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；‎ ‎(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点共线．‎ ‎[解]　(1)＝t1＋t2＝t1(0,2)＋t2(4,4)‎ ‎＝(4t2,2t1＋4t2).2分 当点M在第二或第三象限时，有 故所求的充要条件为t2<0且t1＋2t2≠0.5分 ‎(2)证明：当t1＝1时，由(1)知＝(4t2,4t2＋2).7分 ‎∵＝－＝(4,4)，‎ ＝－＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2，10分 ‎∴与共线，又有公共点A，∴A，B，M三点共线.12分