2020届二轮复习直线、平面垂直问题课时作业（全国通用） 19页

‎ 第十一讲 直线、平面垂直问题 A组 一、 选择题 ‎1、若 是两条不同的直线， 垂直于平面 ，则“ ”是“ 的 （ ） ‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】若，因为垂直于平面，则或；若，又垂直于平面，则，所以“ ”是“ 的必要不充分条件，故选B．‎ ‎2、下列说法错误的是（ ）‎ A．若直线平面，直线平面，则直线不一定平行于直线 B．若平面不垂直于平面，则内一定不存在直线垂直于平面 C．若平面平面，则内一定不存在直线平行于平面 D．若平面平面，平面平面，，则一定垂直于平面 ‎【答案】C ‎3、已知互不重合的直线,互不重合的平面,给出下列四个命题,错误的命题是（ ）‎ ‎（A）若,,,则 (B)若,,,则 ‎(C)若,,,则 (D)若,,则//‎ ‎【答案】D ‎【解析】A中,过直线作平面分别与交于,则由线面平行的性质知,所以,又由线面平行的性质知,所以,正确；B中,由,,知垂直于两个平面的交线,则所成的角等于二面角的大小,即为,所以,正确；C中,在内取一点,过分别作直线垂直于的交线,直线垂直于的交线,则由线面垂直的性质知,,则,,由线面垂直的判定定理知,正确；D 中,满足条件的也可能在内,故D错,故选D．‎ ‎4、已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m，n满足 则（ ）‎ A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意知，．故选C．‎ 二、填空题 ‎5、【2016高考新课标2理数】是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：‎ ‎（1）如果，那么.‎ ‎（2）如果，那么.‎ ‎（3）如果，那么.‎ ‎（4）如果，那么与所成的角和与所成的角相等.‎ 其中正确的命题有 ． (填写所有正确命题的编号）‎ ‎【答案】②③④‎ ‎【解析】‎ 对于①，，则的位置关系无法确定，故错误；对于②,因为，所以过直线作平面与平面相交于直线，则，因为，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有②③④.‎ ‎6、三棱锥中, , △是斜边的等腰直角三角形, 则以下结论中: ① 异面直线与 所成的角为; ② 直线平面; ③ 面面 ; ④ 点到平面的距离是. 其中正确结论的序号是_______________ .‎ ‎【答案】①．②．③．④‎ 三、解答题 ‎7、如图，在三棱柱中，已知，，，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求三棱锥的体积.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）在中，∵‎ ‎∴.‎ 又，∴由勾股定理的逆定理，得为直角三角形.‎ ‎∴.‎ 又，,‎ ‎∴平面.‎ ‎∵平面 ‎∴‎ ‎（2）易知.‎ 在中，∵,‎ 则由勾股定理的逆定理，得为直角三角形，∴.‎ 又,∴平面.‎ ‎∴为三棱锥的高.‎ ‎∴‎ ‎8、如图，是四棱柱，底面是菱形， ‎ 底面，，，是的中点．‎ ‎⑴求证：平面平面；‎ ‎⑵若四面体的体积，求棱柱的高．‎ ‎【解析】设平面，连接，则与的对应边互相平行，‎ 且，所以……2分，‎ 是的中点……3分，‎ 连接、，因为底面，所以，，‎ 是菱形，，且，所以面 ‎，因为、分别是、 的中点，所以是矩形，，所以平面平面（即平面），所以，面面．‎ ‎⑵因为底面，所以是棱柱的高，‎ 平面，平面底面 ‎，在底面上作，垂足为，面面，所以面……10分，‎ 所以，‎ 其中，，‎ 所以，解得，即棱柱的高为 ‎9、如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱底面，且侧棱的长是，点分别是的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）证明:平面；‎ ‎（Ⅲ）求三棱锥的体积.‎ ‎【解析】‎ ‎ (Ⅰ）证明：作的中点,连接, ‎ 分别是的中点 ‎ ‎ ‎ 又在正方形中，是的中点,[来源:Zxxk.Com]‎ ‎ ‎ 四边形是平行四边形 ‎,又平面，平面 平面 ‎ ‎（Ⅱ）证明:四边形是边长为的正方形，是的中点,‎ 又侧棱底面,面 又 是等腰三角形， 是的中点,‎ ‎ ‎ 同理 是等腰三角形， 是的中点,‎ ‎ [来源:..]‎ 面 平面 ‎ ‎（Ⅲ）解:侧棱底面,面 由（Ⅱ）知：平面 是三棱锥到平面的距离 分别是的中点 ‎ ‎ ‎,‎ 四边形是边长为的正方形，是的中点 三角形是等边三角形[来源:Zxxk.Com]‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎10、如图，在四棱锥中，平面，四边形中，，且，点为中点．‎ ‎⑴求证：平面平面；‎ ‎⑵求点到平面的距离．‎ ‎【解析】⑴证明：取中点，连接．‎ ‎∵是中点，∴．‎ 又∵，∴，‎ ‎∴四边形为平行四边形．‎ ‎∵，∴平面．‎ ‎∴，∴．‎ ‎∵，∴，∴平面．‎ ‎∵平面，∴平面平面．‎ ‎⑵由⑴知，．‎ ‎∴平面，即点到平面的距离为．‎ 在中，由，得，∴．‎ ‎∴点到平面的距离为．‎ B组 一、 选择题 ‎1、已知，，为三条不同直线，，，为三个不同平面，则下列判断正确的是（ ）‎ ‎ A .若，，则 B.若，，，则 ‎ C.若，，，则 D.若，，，，则 ‎【答案】C.‎ ‎【解析】A：，可能的位置关系为平行，相交，异面，故A错误；B：根据面面垂直与线面平行的性质可知B错误；C：根据线面平行的性质可知C正确；D：若，根据线面垂直的判定可知D错误，故选C．‎ ‎2、设是空间三条直线，是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不正确的是( )‎ ‎ A. 当时，若，则 ‎ B. 当且是在内的射影时，若，则 ‎ C. 当时，若，则 ‎ D.当且时，若，则 ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ A 选项的逆命题为“当时，若，则”，正确；‎ B. 选项的逆命题为“当且是在内的射影时，若，则”,正确；‎ C. 选项的逆命题为“当时，若，则”，错误：‎ D. 选项的逆命题为“当且时，若，则 ”正确 ‎3、如图，在正方体中，点为线段的中点．设点在线段上，直线与平面所成角为，则的取值范围是( )‎ 图 A． B． C． D．‎ ‎【解析】易于证明平面平面，所以直线在平面上的射影为线段所在直线，于是即直线与平面所成角(或补角).利用极端情况，本题只要计算，，利用余弦定理知，，于是.故选.‎ ‎4、已知正的顶点在平面上，顶点在平面的同一侧，为的中点，若在平面上的射影是以为直角顶点的三角形，则直线与平面所成角的正弦值的范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B.‎ ‎【解析】‎ 如图所示，设B到平面，C到平面的射影，D到平面的射影分别为E，F，P，‎ 设，，则，由题意可知，，，∴‎ ‎，由，‎ ‎∴，由函数在上单调递减，‎ 上单调递增，∴可知，故选B．‎ 二、填空题 ‎5、三棱柱的底面是边长为的正三角形，侧棱与底边所成的角均为.若顶点在下底面的投影恰在底边上，则该三棱柱的体积为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图所示，过点作直线交于点，则为中点.过点作交于点，连接.因为，所以，，所以.因为，且，所以，所以.所以.‎ ‎6、一个直径的半圆，过作这个圆所在平面的垂线，在垂线上取一点，使，为半圆上一个动点，分别为在上的射影.当三棱锥的体积最大时，的余弦值为____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如下图所示，平面，平面，∴，又由，，平面，∴平面，又由平面，∴，又由，，平面，∴平面，又由平面，∴，又由平面，∴平面，即为三棱锥中平面上的高，∵，∴，而，故 是斜边为的直角三角形，故当时，的面积取得最大值，此时利用三角形的有关知识以及相应的边长，可以求得，∴.‎ 三、解答题 ‎7、如图，长方体中，，，点是棱上的一点，．‎ ‎（1）当时，求证：平面；‎ ‎（2）当直线与平面所成角的正切值为时，求的值．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）连接,易得平面，‎ 所以，① 当时，，，所以，‎ 因此：，而平面，故所以平面，‎ 所以，，② 由①②可得：平面．‎ ‎（2）连接，，设，连接PM，‎ 由于平面，所以平面平面，‎ 所以在平面内的射影为，故直线与平面所成角即与所成的角，记为，在平面中，令，则，再令，，‎ 则由题意得：，，‎ ‎，‎ 而，解得：．‎ ‎8、如图1，在直角梯形中，，是的中点，是与的交点，将沿折起到图2中的位置，得到四棱锥.‎ ‎(I)证明：平面；‎ ‎(II)当平面平面时，四棱锥的体积为，求的值.‎ ‎【解析】‎ ‎ (I) 在图1中，因为，是的中点，，所以四边形 是正方形，故，又在图2中，，从而平面，又且，所以，即可证得平面；‎ ‎(II)由已知，平面平面，且平面平面 ，又由(I)知，，所以平面，即是四棱锥的高，易求得平行四边形面积，从而四棱锥的为，由，得.‎ ‎9、如图，在四棱锥中, 为上一点，平面.，，，，为上一点，且．‎ ‎（Ⅰ）求证:；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥与三棱锥的体积之比．‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）证明：连接AC交BE于点M，‎ 连接．由 ‎．‎ ‎． ‎ ‎，‎ ‎． ‎ ‎（Ⅱ） ‎ ‎10、如图，已知四棱锥中，平面，底面是正方形，为上的动点，为棱的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）试确定点的位置，使得平面平面，并说明理由．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）因为,点是的中点，所以．①‎ 因为平面，所以．‎ 因为四边形是正方形，所以．‎ 又,所以，所以．②‎ 由①②及，得平面． ‎ ‎（2）当点为的中点时，平面平面． ‎ 证明：取线段的中点，连接．‎ 则,且，‎ 因为是的中点，四边形为正方形,‎ 所以,且．‎ 所以，且．‎ 所以四边形是平行四边形,所以．‎ 由（1）知平面，所以平面,因为平面．‎ 所以平面平面． ‎ 考点：1．线面垂直的判定与性质；2．面面垂直的判定与性质．‎ C组 一、选择题 ‎1、如图，正方形中，，分别为，的中点，把，，折起成一个四面体，使，，三点重合，记为，则直线与平面所成角的正弦值是（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ ‎【答案】A. ‎ ‎【解析】不妨设正方形的边长为，根据折叠过程，可知，，又∵，∴平面，∴，‎ ‎，设点P 到平面的距离为，则，∴直线与平面 所成角的正弦值是，故选A.‎ ‎2、如图，在正方体中，给出以下结论：‎ ‎① 平面；‎ ‎② 直线与平面的交点为△的外心；‎ ‎③ 若点在所在平面上运动，则三棱锥的体积为定值．‎ 其中，正确结论的个数是 ‎(A) 0个 (B) 1个 ‎(C) 2个 (D) 3个 答案：D ‎3、棱长为2的正方体中，为棱的中点，点分别为面和线段上的动点，则周长的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 答案：B ‎4、.在中，已知是斜边上任意一点（如图①），沿直线将折成直二面角（如图②）。若折叠后两点间的距离为，则下列说法正确的是（ ）‎ A．当为的中线时，取得最小值 B．当为的角平分线线时，取得最小值 C．当为的高线时，取得最小值 D．当在的斜边上移动时，为定值 ‎【答案】B ‎【解析】设，，，则()，过作的垂线，过作的延长线的垂线，，，则，‎ 当，即当为的角平分线时，取得最小值.‎ 由余弦定理得：,故选B.‎ 二、填空题 ‎5、已知三棱锥，若，，两两垂直，且，，则三棱锥的内切球半径为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，设三棱锥的内切球的半径为，球心为，则由等体积 可得 ‎，∴．‎ ‎6、已知矩形的边，若沿对角线折叠，使得平面平面,则三棱锥的体积为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 因为平面平面,所以D到直线BC距离为三棱柱的高，‎ 三、解答题 ‎7、如图，四棱锥中，底面是矩形，底面，，点是的中点，点在边上移动．　‎ ‎（1）当点为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）证明：无论点在边的何处，都有；‎ ‎（3）求三棱锥体积的最大值．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）解：当点为的中点时，与平面平行，‎ 在中，∵分别为的中点，‎ ‎∴．‎ 又平面，而平面，‎ ‎∴平面 ‎ ‎（2）证明：∵平面平面，‎ ‎∴，‎ 又平面，‎ ‎∴平面．‎ 又平面，∴．‎ 又，点是的中点，∴ ‎ 又∵平面，‎ ‎∴平面 ‎ ‎∵平面，∴ ‎ ‎（3）解：∵，而底面面积为定值 ‎∴要使三棱锥体积最大，只需点到底面的距离最大即点与点重合时，‎ ‎∴当点位于点时，三棱锥体积取得最大值为 ‎ ‎8、如图，在几何图形中，，，四边形为矩形，平面平面.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）在上确定一点，使得平面平面；‎ ‎（3）求三棱锥的体积.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题知四边形为等腰梯形，，故,‎ 又平面平面，所以平面，且平面,‎ 故平面平面.‎ ‎（2）因为，要使平面平面，只要让.‎ 在等腰梯形中，当为的中点时，有.‎ 所以当为的中点时，平面平面.‎ ‎（3）因为，其中到到平面的距离.‎ 由题知平面平面，所以到平面的距离即为到的距离.‎ 在等腰三角形中，易知到的距离为，‎ 所以.‎ ‎9、如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形.‎ ‎（Ⅰ）求二面角的大小；‎ ‎（Ⅱ）在线段上是否存在一点，使平面平面？‎ 若存在，请指出点的位置并证明，若不存在请说明理由.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）如图，设分别是和的中点，连接，， ‎ ‎∵，是的中点 ‎∴‎ 又在正方形中有 ‎∴为二面角的平面角 ‎∵，，是的中点 ‎∴‎ 同理可得，又 ‎∴是等边三角形，故 ‎∴二面角为 ‎ ‎（Ⅱ）存在点，使平面平面，此时为线段的中点.理由如下 ‎ 如图，设,,分别为,和的中点，连接,,, ‎ 由（Ⅰ）知是等边三角形，故 ‎∵，，‎ ‎∴平面，故 又 ‎∴平面 ‎ ‎∵，分别为和的中点 ‎∴‎ 又为线段的中点 ‎∴，故四边形为平行四边形 ‎∴‎ ‎∴平面 又平面 ‎∴平面平面 ‎ ‎10、如图，已知平面四边形中，为的中点，，，‎ 且．将此平面四边形沿折成直二面角，‎ 连接，设中点为．‎ ‎（I）证明：平面平面；‎ ‎（II）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．‎ ‎（III）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【解析】‎ ‎（I）直二面角的平面角为，又，‎ 则平面，所以．‎ 又在平面四边形中，由已知数据易得，而，‎ 故平面，因为平面，所以平面平面 ‎（II）解法一：由（I）的分析易知，，则以为原点建立空间直角坐标系如图所示．结合已知数据可得，，，，‎ 则中点，‎ 平面，故可设，‎ 则 平面，‎ 又，‎ 由此解得，即 易知这样的点存在，且为线段上靠近点的一个四等分点 解法二：（略解）如右图所示，‎ 在中作，交于，‎ 因为平面平面，则有平面．‎ 在中，结合已知数据，利用三角形相似 等知识可以求得，‎ 故知所求点存在，且为线段上靠近点的一个 四等分点．……..（8分）‎ ‎（III）解法一：由（II）是平面的一个法向量，又，‎ 则得，‎ 记直线与平面所成角为，则知，‎ 故所求角的正弦值为 ‎ 解法二：（略解）如上图中，因为，所以直线与平面所成角等于直线与平面 所成角，‎ 由此，在中作于，易证平面，‎ 连接，则为直线与平面所成角，‎ 结合题目数据可求得，故所求角的正弦值为 ‎