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  • 2021-06-10 发布

北京市东城区10-11学年高二数学下学期期末考试 理 新人教A版

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北京市东城区(南片)2010-2011学年下学期高二年级期末统一测试数学试卷(理科)‎ ‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共100分。考试时间120分钟。‎ 第Ⅰ卷(选择题,共36分)‎ 一、选择题(本大题共9小题,每小题4分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)‎ ‎ 1. 已知复数,,那么在复平面上对应的点位于 ‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎ 2. 的值为 ‎ A. 32 B. ‎31 ‎ C. 30 D. 29‎ ‎ 3. 已知,,那么等于 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 4. 动点(为参数)的轨迹方程是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 5. 图中由函数的图象与轴围成的阴影部分面积,用定积分可表示为 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎ 6. 以下四图,都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象,其中一定不正确的序号是 ‎ A. ③④ B. ①② C. ②③ D. ②④‎ ‎ 7. 一个停车场有5个排成一排的空车位,现有2辆不同的车停进这个停车场,若停好后恰有2个相邻的停车位空着,则不同的停车方法共有 ‎ A. 6 种 B. 12种 C. 36种 D. 72种 ‎ 8. 若,,则的周期为。类比可推出:设且,则的周期是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 9. 设函数是可导的函数,若满足,则必有 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 第Ⅱ卷(非选择题,共64分)‎ 二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分。)‎ ‎ 10. 由数字1,2,3,4组成没有重复数字的4位数,其中奇数共有____________个。‎ ‎ 11. 已知,经计算得,,,,,推测当时,有_____________。‎ ‎ 12. 随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎ 且,则_________;____________。‎ ‎ 13. 若,,则____________;___________。(其中是极点)‎ ‎ 14. 有甲、乙两种品牌的手表,它们的日走时误差分别为(单位:),其分布如下:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0.1‎ ‎0.8‎ ‎0.1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎ 则两种品牌中质量好的是____________。(填甲或乙)‎ ‎ 15. 曲线与轴的交点的切线方程为_______________。‎ 三、解答题:(本大题共5小题,共40分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。)‎ ‎ 16. (本小题满分8分)‎ ‎ 已知直线的极坐标方程为,圆的参数方程(其中为参数)。‎ ‎ (Ⅰ)将直线的极坐标方程化为直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)将圆的参数方程化为普通方程;‎ ‎(Ⅲ)求圆上的点到直线的距离的最小值。‎ ‎ 17. (本小题满分7分)‎ ‎ 有三张形状、大小、质地完全一致的卡片,在每张卡片上分别写上0,1,2,现从中任意抽取一张,将其上的数字记作,然后放回,再抽取一张,将其上的数字记作,令。‎ ‎ (Ⅰ)求所取各值的概率;‎ ‎(Ⅱ)求的分布列,并求出的数学期望值。‎ ‎ 18. (本小题满分8分)‎ ‎ 利用展开式 回答下列问题:‎ ‎ (Ⅰ)求的展开式中的系数;‎ ‎(Ⅱ)通过给以适当的值,将下式化简:;‎ ‎(Ⅲ)把(Ⅱ)中化简后的结果作为,求的值。‎ ‎ 19. (本小题满分8分)‎ ‎ 数列满足。‎ ‎ (Ⅰ)计算,并由此猜想通项公式;‎ ‎(Ⅱ)用数学归纳法证明(Ⅰ)中的猜想。‎ ‎ 20. (本小题满分9分)‎ ‎ 已知函数。‎ ‎ (Ⅰ)当时,求函数的单调递增区间;‎ ‎(Ⅱ)求的极大值;‎ ‎(Ⅲ)求证:对于任意,函数在上恒成立。‎ ‎【试题答案】‎ 第Ⅰ卷(选择题,共36分)‎ 一、选择题(本大题共9小题,每小题4分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)‎ 题目 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 答案 A C B B D A B C A 第Ⅱ卷(非选择题,共64分)‎ 二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分。)‎ ‎ 10. 12 11. 12. ;2 ‎ ‎13. ,8 14. 甲 15. ‎ 三、解答题:(本大题共5小题,共40分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。)‎ ‎ 16. (本小题满分8分)‎ ‎ 解:(Ⅰ)极点为直角坐标原点,,‎ ‎ 所以,可化为直角坐标方程:。 ……3分 ‎(Ⅱ)将圆的参数方程化为普通方程:。 ……………6分 ‎(Ⅲ)因为圆心为,‎ ‎ 所以点到直线的距离为,‎ ‎ 所以圆上的点到直线距离的最小值为。 ………………………8分 ‎ 17. (本小题满分7分)‎ ‎ 解:(Ⅰ);;‎ ‎;。 ………………………4分 ‎(Ⅱ)的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ 所以的数学期望为。…………………7分 ‎ 18. (本小题满分8分)‎ 解:(Ⅰ)因为 ‎ 所以,即的展开式中的系数为3360。………3分 ‎(Ⅱ)令,,得 ‎。 ………………………6分 ‎(Ⅲ)。 ………………………………………8分 ‎ 19. (本小题满分8分)‎ 解:(Ⅰ)当时,,所以。‎ 当时,,所以。‎ 同理:,。‎ 由此猜想 …………………………………………………5分 ‎(Ⅱ)证明:①当时,左边,右边,结论成立。‎ ‎ ②假设时,结论成立,即,‎ ‎ 那么时,,‎ ‎ 所以,所以,‎ ‎ 这表明时,结论成立。‎ ‎ 由①②知对一切猜想成立。 ……………………………8分 ‎ 20. (本小题满分9分)‎ ‎ 解:定义域为,且 ‎(Ⅰ)当时,,令,‎ 解得或。故函数在,上单调递增。 …………2分 ‎(Ⅱ)令,即,‎ 当时,上式化为恒成立。故在上单调递增,无极值;‎ 当时,解得或。故在,上单调递增,在上单调递减。‎ ‎1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 增 极大值 减 极小值 增 ‎ 故在处有极大值。‎ ‎ 当时,解得或。故在,上单调递增,在上单调递减;‎ ‎1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 增 极大值 减 极小值 增 故在处有极大值。 ………………………7分 ‎(Ⅲ)证明:当时,由(2)可知在,上单调递增,在上单调递减。‎ 故在上的最大值为。‎ 要证函数在上恒成立 只要证在上的最大值即可。‎ 即证恒成立。‎ 因为,故。‎ 由此可知,对任意,在上恒成立。 ………………………9分

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