- 241.50 KB
- 2021-06-10 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
北京市东城区(南片)2010-2011学年下学期高二年级期末统一测试数学试卷(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共100分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题,共36分)
一、选择题(本大题共9小题,每小题4分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)
1. 已知复数,,那么在复平面上对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 的值为
A. 32 B. 31 C. 30 D. 29
3. 已知,,那么等于
A. B. C. D.
4. 动点(为参数)的轨迹方程是
A. B. C. D.
5. 图中由函数的图象与轴围成的阴影部分面积,用定积分可表示为
A. B.
C. D.
6. 以下四图,都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象,其中一定不正确的序号是
A. ③④ B. ①② C. ②③ D. ②④
7. 一个停车场有5个排成一排的空车位,现有2辆不同的车停进这个停车场,若停好后恰有2个相邻的停车位空着,则不同的停车方法共有
A. 6 种 B. 12种 C. 36种 D. 72种
8. 若,,则的周期为。类比可推出:设且,则的周期是
A. B. C. D.
9. 设函数是可导的函数,若满足,则必有
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷(非选择题,共64分)
二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分。)
10. 由数字1,2,3,4组成没有重复数字的4位数,其中奇数共有____________个。
11. 已知,经计算得,,,,,推测当时,有_____________。
12. 随机变量的分布列为
0
1
且,则_________;____________。
13. 若,,则____________;___________。(其中是极点)
14. 有甲、乙两种品牌的手表,它们的日走时误差分别为(单位:),其分布如下:
0
1
0.1
0.8
0.1
0
1
2
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
则两种品牌中质量好的是____________。(填甲或乙)
15. 曲线与轴的交点的切线方程为_______________。
三、解答题:(本大题共5小题,共40分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。)
16. (本小题满分8分)
已知直线的极坐标方程为,圆的参数方程(其中为参数)。
(Ⅰ)将直线的极坐标方程化为直角坐标方程;
(Ⅱ)将圆的参数方程化为普通方程;
(Ⅲ)求圆上的点到直线的距离的最小值。
17. (本小题满分7分)
有三张形状、大小、质地完全一致的卡片,在每张卡片上分别写上0,1,2,现从中任意抽取一张,将其上的数字记作,然后放回,再抽取一张,将其上的数字记作,令。
(Ⅰ)求所取各值的概率;
(Ⅱ)求的分布列,并求出的数学期望值。
18. (本小题满分8分)
利用展开式
回答下列问题:
(Ⅰ)求的展开式中的系数;
(Ⅱ)通过给以适当的值,将下式化简:;
(Ⅲ)把(Ⅱ)中化简后的结果作为,求的值。
19. (本小题满分8分)
数列满足。
(Ⅰ)计算,并由此猜想通项公式;
(Ⅱ)用数学归纳法证明(Ⅰ)中的猜想。
20. (本小题满分9分)
已知函数。
(Ⅰ)当时,求函数的单调递增区间;
(Ⅱ)求的极大值;
(Ⅲ)求证:对于任意,函数在上恒成立。
【试题答案】
第Ⅰ卷(选择题,共36分)
一、选择题(本大题共9小题,每小题4分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)
题目
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
A
C
B
B
D
A
B
C
A
第Ⅱ卷(非选择题,共64分)
二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分。)
10. 12 11. 12. ;2
13. ,8 14. 甲 15.
三、解答题:(本大题共5小题,共40分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。)
16. (本小题满分8分)
解:(Ⅰ)极点为直角坐标原点,,
所以,可化为直角坐标方程:。 ……3分
(Ⅱ)将圆的参数方程化为普通方程:。 ……………6分
(Ⅲ)因为圆心为,
所以点到直线的距离为,
所以圆上的点到直线距离的最小值为。 ………………………8分
17. (本小题满分7分)
解:(Ⅰ);;
;。 ………………………4分
(Ⅱ)的分布列为
0
1
2
4
所以的数学期望为。…………………7分
18. (本小题满分8分)
解:(Ⅰ)因为
所以,即的展开式中的系数为3360。………3分
(Ⅱ)令,,得
。 ………………………6分
(Ⅲ)。 ………………………………………8分
19. (本小题满分8分)
解:(Ⅰ)当时,,所以。
当时,,所以。
同理:,。
由此猜想 …………………………………………………5分
(Ⅱ)证明:①当时,左边,右边,结论成立。
②假设时,结论成立,即,
那么时,,
所以,所以,
这表明时,结论成立。
由①②知对一切猜想成立。 ……………………………8分
20. (本小题满分9分)
解:定义域为,且
(Ⅰ)当时,,令,
解得或。故函数在,上单调递增。 …………2分
(Ⅱ)令,即,
当时,上式化为恒成立。故在上单调递增,无极值;
当时,解得或。故在,上单调递增,在上单调递减。
1
+
0
-
0
+
增
极大值
减
极小值
增
故在处有极大值。
当时,解得或。故在,上单调递增,在上单调递减;
1
+
0
-
0
+
增
极大值
减
极小值
增
故在处有极大值。 ………………………7分
(Ⅲ)证明:当时,由(2)可知在,上单调递增,在上单调递减。
故在上的最大值为。
要证函数在上恒成立
只要证在上的最大值即可。
即证恒成立。
因为,故。
由此可知,对任意,在上恒成立。 ………………………9分