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- 2021-06-10 发布
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第2章 2.2.2 第2课时
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是( )
A．－
C．－2b>0)．
由
得(a2＋3b2)y2＋8b2y＋16b2－a2b2＝0，
由题意得Δ＝(8b2)2－4(a2＋3b2)(16b2－a2b2)＝0
且a2－b2＝4，可得a2＝7，∴2a＝2.
答案： C
4．过椭圆＋＝1的右焦点且倾斜角为45°的弦AB的长为( )
A．5 B．6
C. D．7
解析： 椭圆的右焦点为(4,0)，直线的斜率为k＝1，
∴直线AB的方程为y＝x－4，
由得9x2＋25(x－4)2＝225，
由弦长公式易求|AB|＝.
答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．
解析： 椭圆的右焦点为F(1,0)，
∴lAB：y＝2x－2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得3x2－5x＝0，
∴x＝0或x＝，
∴A(0，－2)，B，
∴S△AOB＝|OF|(|yB|＋|yA|)＝×1×＝.
答案：
6．若倾斜角为的直线交椭圆＋y2＝1于A，B两点，则线段AB的中点的轨迹方程是________________．
解析： 设中点坐标为(x，y)，直线方程为y＝x＋b，代入椭圆方程得5x2＋8bx＋4(b2－1)＝0，
则得x＋4y＝0.
由Δ>0得－b>0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为2.
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)若P是该椭圆上的一个动点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，求·的最大值与最小值．
解析： (1)＋y2＝1.
(2)设P(x，y)，由(1)知F1(－，0)，F2(，0)，
则·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝x2＋y2－3
＝x2＋(1－)－3＝x2－2，
∵x∈[－2,2]，
∴当x＝0时，即点P为椭圆短轴端点时，·有最小值－2；
当x＝±2，即点P为椭圆长轴端点时，·有最大值1.
8．设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为2.
(1)求椭圆C的焦距；
(2)如果＝2，求椭圆C的方程．
解析： (1)设椭圆C的焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离c＝2，故c＝2.
所以椭圆C的焦距为4.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意知y1<0，y2>0，
直线l的方程为y＝(x－2)．
联立，得(3a2＋b2)y2＋4b2y－3b4＝0.
解得y1＝，y2＝.
因为＝2，所以－y1＝2y2.
即＝2·，得a＝3.
而a2－b2＝4，所以b＝.
故椭圆C的方程为＋＝1.
尖子生题库☆☆☆
9．(10分)如图，椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的离心率为，x轴
被曲线C2：y＝x2－b截得的线段长等于C1的长半轴长．
(1)求C1，C2的方程．
(2)设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E.
证明：MD⊥ME.
解析： 由题意知e＝＝，从而a＝2b.
又2＝a，所以a＝2，b＝1.
故C1，C2的方程分别为＋y2＝1，y＝x2－1.
(2)证明：由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y＝kx.
由得x2－kx－1＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1＋x2＝k，x1x2＝－1.
又点M的坐标为(0，－1)，
所以kMA·kMB＝·＝
＝＝＝－1.
故MA⊥MB，即MD⊥ME.
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