2019届二轮复习第8练　正弦定理、余弦定理及应用[小题提速练]课件（57张）（全国通用） 57页

第二篇　重点专题分层练 ， 中高档题得高分 第 8 练　正弦定理、余弦定理及应用 [ 小题提速练 ] 明晰 考 情 1. 命题角度：考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，常与三角恒等变换相结合 . 2 . 题目难度：单独考查正弦、余弦定理时，难度中档偏下；和三角恒等变换交汇考查时，中档难度 . 核心考点突破练 栏目索引 易错易混专项练 高考押题冲刺练 考点一　正弦定理、余弦定理 方法技巧 　 (1) 分析已知的边角关系，合理设计边角互化 . (2) 结合三角函数公式，三角形内角和定理，大边对大角等求出三角形的基本量 . 核心考点突破练 √ 答案 解析 √ 在 △ ABC 中，由余弦定理， 答案 解析 √ 答案 解析 又 B ＝ π － ( A ＋ C ) ， 故 sin B ＋ sin A (sin C － cos C ) ＝ sin( A ＋ C ) ＋ sin A sin C － sin A cos C ＝ sin A cos C ＋ cos A sin C ＋ sin A sin C － sin A cos C ＝ (sin A ＋ cos A )sin C ＝ 0. 又 C 为 △ ABC 的内角， 故 sin C ≠ 0 ， 则 sin A ＋ cos A ＝ 0 ，即 tan A ＝－ 1. 答案 解析 解析　 由余弦定理，得 a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos A ， 考点二　与三角形的面积有关的问题 要点重组 　三角形的面积公式 √ ∴ sin C ＝ cos C ，即 tan C ＝ 1. 答案 解析 答案 解析 √ ∴ AC ＝ 1 ，此时 AB 2 ＋ AC 2 ＝ BC 2 ， 答案 解析 解析　 ∵ a ＝ 2 b cos A ， ∴ 由正弦定理可得 sin A ＝ 2sin B ·cos A . 又 ∵ A 为 △ ABC 的内角， ∴△ ABC 为等边三角形， 答案 解析 解析　 因为 b cos C ＝ 3 a cos B － c cos B ， 由正弦定理得 sin B cos C ＝ 3sin A cos B － sin C cos B ， 即 sin B cos C ＋ sin C cos B ＝ 3sin A cos B ， 所以 sin( B ＋ C ) ＝ 3sin A cos B . 又 sin( B ＋ C ) ＝ sin(π － A ) ＝ sin A ，所以 sin A ＝ 3sin A cos B ， 考点三　解三角形中的最值 ( 范围 ) 问题 方法技巧 　由余弦定理中含两边和的平方 ( 如 a 2 ＋ b 2 － 2 ab cos C ＝ c 2 ) 且 a 2 ＋ b 2 ≥ 2 ab ，因此在解三角形中，若涉及已知条件中含边长之间的关系 ， 且 与面积有关的最值问题，一般利用 S ＝ ab sin C 型面积公式及基本不等式求解，有时也用到三角函数的有界性 . √ 答案 解析 解析　 设角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， 即 bc cos A ＝ 3 ， a ＝ 3 ， √ 答案 解析 即 a 2 ＝ 2 bc sin A . 应用 余弦定理 ，可 得 b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos A ＝ a 2 ＝ 2 bc sin A ， 于是 2 t sin A ＋ 2 t cos A ＝ t 2 ＋ 1 ， 11. 已知 a ， b ， c 分别是 △ ABC 内角 A ， B ， C 的对边，满足 cos A sin B sin C ＋ cos B sin A sin C ＝ 2cos C sin A sin B ，则 C 的最大值为 ____. 答案 解析 解析　 由正弦定理，得 bc cos A ＋ ac cos B ＝ 2 ab cos C ， ∴ a 2 ＋ b 2 ＝ 2 c 2 ， 当且仅当 a ＝ b 时，取等号 . 答案 解析 整理得 sin A cos B ＝ 3cos A sin B ，即 tan A ＝ 3tan B ， 易得 tan A >0 ， tan B >0. 1. 在 △ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c ，且 a ＞ b ＞ c ， a 2 ＜ b 2 ＋ c 2 ， 则角 A 的取值范围是 易错易混专项练 √ 解析　 因为 a 2 ＜ b 2 ＋ c 2 ， 又因为 a ＞ b ＞ c ，所以 A 为最大角， 答案 解析 答案 解析 √ 解析　 因为 (2 b － a )cos C ＝ c cos A ， 由正弦定理得， (2sin B － sin A )cos C ＝ sin C cos A ， 化简得 2sin B cos C ＝ sin B ，又 sin B ≠ 0 ，因为 C ∈ (0 ， π) ， 因为 c 2 ＝ a 2 ＋ b 2 － 2 ab cos C ，所以 2( ab ) 2 － 3 ab － 9 ＝ 0 ， 3. 已知 a ， b ， c 分别是 △ ABC 三个内角 A ， B ， C 的对边 . 下列四个命题： ① 若 tan A ＋ tan B ＋ tan C ＞ 0 ，则 △ ABC 是锐角三角形； ② 若 a cos A ＝ b cos B ，则 △ ABC 是等腰三角形； ③ 若 b cos C ＋ c cos B ＝ b ，则 △ ABC 是等腰三角形； 答案 解析 其中正确的命题是 ________.( 填上所有正确命题的序号 ) ①③④ 解析　 命题 ① ： ∵ tan A ＋ tan B ＋ tan C ＝ tan A tan B tan C ＞ 0 ， ∴ A ， B ， C 均为锐角， ∴① 正确； 命题 ② ：由 a cos A ＝ b cos B ，可得 sin 2 A ＝ sin 2 B ， 命题 ③ ：可知 sin B cos C ＋ sin C cos B ＝ sin B ， ∴ sin A ＝ sin B ， ∴ A ＝ B ， ∴③ 正确； 命题 ④ ：由已知和正弦定理，易知 tan A ＝ tan B ＝ tan C ， ∴④ 正确 . 解题秘籍 　 (1) 解三角形时要依据三角形的形状及边角大小正确处理多解问题 . (2) 对已知关系式进行转化时，一定要等价变形，尤其注意式子两边不可随意同除以同一个式子 . 高考押题冲刺练 A.60° 　　 B.120 ° 　　 C.90 ° 　　 D.60 ° 或 120° √ 因为 a > b ，所以 A >45° ， 所以 A ＝ 60° 或 A ＝ 120°. 故选 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 A.30° 　　 B.60 ° 　　 C.120 ° 　　 D.150 ° √ 又 0°< A <180° ， ∴ A ＝ 30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 3. 已知在 △ ABC 中， ( a ＋ b ＋ c )(sin A ＋ sin B － sin C ) ＝ a sin B ，其中 A ， B ， C 为 △ ABC 的内角， a ， b ， c 分别为 A ， B ， C 的对边，则 C 等于 √ 解析　 因为 ( a ＋ b ＋ c )(sin A ＋ sin B － sin C ) ＝ a sin B ， 所以由正弦定理，可得 ( a ＋ b ＋ c )( a ＋ b － c ) ＝ ab ， 因为 C ∈ (0 ， π) ， 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 因为 A ∈ (0° ， 180°) ，所以 A ＝ 30° ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当 C ＝ 120° 时， A ＝ 30° ， 所以 B ＝ 30° ，又 a ＝ 1 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当 C ＝ 60° 时， A ＝ 30° ， 所以 B ＝ 90° ，又 a ＝ 1 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 √ 同理可得 B ＝ C . ∴△ ABC 的形状为等边三角形 . 故选 A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.(2017· 山东 ) 在 △ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c . 若 △ ABC 为锐角三角形，且满足 sin B (1 ＋ 2cos C ) ＝ 2sin A cos C ＋ cos A sin C ，则下列等式成立的是 A. a ＝ 2 b 　　　 B. b ＝ 2 a 　　　 C. A ＝ 2 B 　　　 D. B ＝ 2 A √ 解析　 ∵ 等式右边＝ sin A cos C ＋ (sin A cos C ＋ cos A sin C ) ＝ sin A cos C ＋ sin( A ＋ C ) ＝ sin A cos C ＋ sin B ， 等式左边＝ sin B ＋ 2sin B cos C ， ∴ sin B ＋ 2sin B cos C ＝ sin A cos C ＋ sin B . 由 cos C ＞ 0 ，得 sin A ＝ 2sin B . 根据正弦定理，得 a ＝ 2 b . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 7. 如图所示，一学生在河岸紧靠河边笔直行走，在 A 处时，经观察，在河对岸有一参照物 C 与学生前进方向成 30° 角，学生前进 200 m 后，测得该参照物与前进方向成 75° 角，则河的宽度为 解析　 在 △ ABC 中， ∠ BAC ＝ 30° ， ∠ ACB ＝ 75° － 30° ＝ 45° ， AB ＝ 200 ， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 8. 如图所示，某电力公司为保护一墙角处的电塔，计划利用墙 OA ， OB ，再修建一长度为 AB 的围栏，围栏的造价与 AB 的长度成正比 . 现已知墙角 ∠ AOB ＝ 120° ，当 △ AOB 的面积 为 　 时 ，就可起到保护作用 . 则当围栏 的造价最低时， ∠ ABO 等于 A.30° B.45 ° C.60° D.90 ° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 解析　 只要 AB 的长度最小，围栏的造价就最低 . 设 OA ＝ a ， OB ＝ b ， 则由余弦定理得 AB 2 ＝ a 2 ＋ b 2 － 2 ab cos 120° ＝ a 2 ＋ b 2 ＋ ab ≥ 2 ab ＋ ab ＝ 3 ab ( 当且仅当 a ＝ b 时取等号 ) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由 a ＝ b 及 3 ab ＝ 12 ，得 a ＝ b ＝ 2. 所以 ∠ ABO ＝ ∠ BAO ，故 ∠ ABO ＝ 30° ，故选 A. 解析　 设 BC 边上的高为 AD ，则 BC ＝ 3 AD ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 10. 已知 a ， b ， c 分别为 △ ABC 的三个内角 A ， B ， C 的对边， a ＝ 2 ，且 (2 ＋ b )(sin A － sin B ) ＝ ( c － b )sin C ，则 △ ABC 面积的最大值为 ____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 解析　 由正弦定理得 (2 ＋ b )( a － b ) ＝ c ( c － b ) ， 即 ( a ＋ b )·( a － b ) ＝ ( c － b )· c ，即 b 2 ＋ c 2 － a 2 ＝ bc ， 又 b 2 ＋ c 2 － a 2 ＝ bc ≥ 2 bc － 4 ，即 bc ≤ 4 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 解析　 因为 BD ＝ 2 DC ，设 CD ＝ x ， AD ＝ y ，则 BD ＝ 2 x ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 (2 ，＋ ∞ ) ∴ a 2 ＋ c 2 － b 2 ＝ 2 ac cos B . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 本课结束 更多精彩内容请登录： www.91taoke.com