数学卷·2018届山西省实验中学高二10月阶段测评数学试题 （解析版） 17页

一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.） 1.一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是 （ ） A．异面 B．相交 C．平行 D．不能确定 【答案】C 考点：空间点线面位置关系． 【易错点晴】研究空间点线面的位置关系，需要对四个公理，四个判定定理和四个性质定理 熟练掌握. 四个公理往往容易忘记，公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这 条直线上所有的点在此平面内.公理二：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.公 理三：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公四： 平行于同一条直线的两条直线互相平行. 2. 如图是正方体或四面体，P Q R S， ， ， 分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图 是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 试题分析：A，B，C 选项都有 / /PQ SR ，所以四点共面，D 选项四点不共面. 考点：空间点线面位置关系． 3.设 l 为直线， ,  是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A．若 / /l  ， / /l  ，则 / /  B．若 l  ，l  ，则 / /  C．若l  ， / /l  ，则 / /  D．若  ， / /l  ，则l  【答案】B 【解析】 试题分析：垂直于同一条直线的两个平面平行，故 B 选项正确. 考点：空间线面平行、垂直关系的证明． 4. ,a b 是两条异面直线， A 是不在直线 ,a b 上的点，则下列结论成立的是（ ） A．过 A 有且只有一个平面同时平行于直线 ,a b B．过 A 至少有一个平面同时平行于直线 ,a b C. 过 A 有无数个平面同时平行于直线 ,a b D．过 A 且同时平行于直线 ,a b 的平面可能不存在 【答案】D 考点：空间点线面位置关系． 5.是 1 2 3, ,l l l 空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A．若 1 2l l ， 1 3l l ，则 2 3/ /l l B．若 1 2l l ， 2 3/ /l l ，则 1 3l l C.若 1 2 3/ / / /l l l ，则 1 2 3, ,l l l 共面 D．若 1 2 3, ,l l l 共点，则 1 2 3, ,l l l 共面 【答案】B 【解析】 试题分析：根据空间两条直线所成角的概念“空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分 别平行，那么这两个角相等或互补”可知 B 选项正确. 考点：空间线面平行、垂直关系的证明． 6.如图所示，正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 1，线段 1 1B D 上有两个动点 E F， ，且 2 2EF  ， 则下列结论中错误的是（ ） A．三棱锥 A BEF 的体积为定值 B． / /EF 平面 ABCD C. 直线 AB 与 EF 所成的角为定值 D．异面直线 AE BF， 所成的角为定 值 【答案】D 考点：空间线面平行、垂直关系的证明． 7.如图所示，长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1BB BC ， P 为 1 1C D 上一点，则异面直线 PB 与 1B C 所成角的大小是（ ） A．45 B．60 C.90 D．随点 P 的 移动而变化 【答案】C 【解析】 试题分析：如图所示，连接 1 1,BC AD ，在正方形 1 1BCC B 中， 1 1BC BC ，而 1B C AB ， 所以 1B C  平面 1 1ABC D ，所以 1B C PB ，所成角为90 . 考点：空间两条直线所成的角． 8.点 E F G H， ， ， 分别为空间四边形 ABCD 中的 AB BC CD AD， ， ， 中点，若 AC BD ，且 AC 与 BD 所成角的大小为90 ，则四边形 EFGH 是（ ） A．菱形 B．梯形 C. 正方形 D．空间四边形 【答案】C 【解析】 试题分析：如图所示，由于 / /GF HE 且GF HE ，另外由于 AC BD 且 AC BD ，则 ,HG EF HG EF  ，故四边形 EFGH 是正方形. 考点：空间两条直线所成的角． 9.如图，一个体积为12 3 的正三棱柱（底面为正三角形，且侧棱垂直于底面）的三视图如图 所示，则侧视图的面积为（ ） A． 6 3 B．8 C. 8 3 D．12 【答案】A 考点：三视图． 10.如图，某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为 1 的正方形，则 此四面体的外接球的表面积为（ ） A．3 B． 4 C. 2 D． 5 2  【答案】A 【解析】 试题分析：作出几何体的直观图如下图橙色部分所示，所以其外接球直径即正方体的对角线， 即 2 24 1 3 3R    ，所以外接球的表面积为3 . 考点：三视图． 【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为 x ,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的 外心可用其几何性质求；而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分 别为 , ,a b c 则其体对角线长为 2 2 2a b c  ；长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何 体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心. 三棱 锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为 , ,a b c ，则其外接球半径公式为: 2 2 2 24R a b c   . 11.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个腰长为 2 的等腰直角三角形，则该几何 体外接球的体积是（ ） A．36 B．9 C. 9 2  D． 27 5  【答案】C 考点：三视图． 12.如图，四面体 ABCD 中， AD BC ，且 AD BC ，E F、 分别是 AB CD、 的中点，则 EF 与 BC 所成的角为（ ） A．30 B． 45 C. 60 D．90 【答案】B 考点：空间两条直线所成的角． 【思路点晴】求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用 图中已有的平行线平移；利 用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异 面直线所成的角通常放在三角形中进行．平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基 本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决 第Ⅱ卷（非选择题共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分．） 13.如图是一个正方体的展开图，在原正方体中，下列结论正确的序号是__________. ① AB 与CD 所在直线垂直；②CD 与 EF 所在直线平行； ③ AB 与 MN 所在直线成 60 角；④ MN 与 EF 所在直线异面. 【答案】③④ 【解析】 试题分析：画出立体图形如下图所示，由图可知①②错误； / / ,AB CN MN NC CM  ，所 以三角形CMN 为等边三角形，所以③ AB 与 MN 所在直线成 60 角是正确的.显然④ MN 与 EF 所在直线异面是正确的. 考点：空间两条直线所成的角． 14.如图， P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点， E 为 PB 的中点， O 为 AC ， BD 的交 点，则图中与 EO 平行的平面有_____________. 【答案】 / /OE 平面 PDC ， / /OE 平面 PDA 考点：线面平行． 15.已知平面 / / 平面  ， P  且 P  ，试过点 P 的直线 m 与 ，  分别交于 A ，C ， 过点 P 的直线 n 与 ，  分别交于 B D， 且 6PA  ， 9AC  ， 8PD  ，则 BD 的长为 ___________. 【答案】 24 5 或 24 【解析】 试题分析：第一种情况画出图形如下图所示，由于“如果两个平行平面同时和第三个平面相 交，那么它们的交线相互平行.”所以 / /AB CD ，设 BD x ，根据平行线分线段成比例，有 6 8 24,9 5 x xx   第二种情况画出图形如下图所示，由于“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它 们 的 交 线 相 互 平 行 . ” 所 以 / /AB CD ， 设 BD x ， 根 据 平 行 线 分 线 段 成 比 例 ， 有 6 8 , 243 8 X x  . 考点：求两点距离． 【思路点晴】本题主要考查公理二“过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面”的一 个推论 “两条相交直线确定一个平面”，在根据两个平面平行的性质定理“如果两个平行平 面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行”可以判断出 / /AB CD ，根据平行线分 线段成比例，或相似三角形对应边成比例，可求出 BD 的值. 16.在四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中，侧面都是矩形，底面四边形 ABCD 是菱形，且 2 3AB BC  ， 120ABC   ，若异面直线 1A B 和 1AD 所成的角是90 ，则 1AA 的长度是___________. 【答案】 6 考点：求两点距离． 【思路点晴】空间所成角的概念是“空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行， 那么这两个角相等或互补”，由图可知 1AD C 是异面直线 1A B 和 1AD 所成的角，即三角形 1ADC 是等腰直角三角形，也就是只要知道 AC 的长度就能求出 1AD 的长度.底面是一个菱 形，角度是120 ，由此利用余弦定理求出 AC . 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（10 分）如图所示，空间四边形 ABCD 中， E F G、 、 分别在 AB BC CD、 、 上，且满 足 : : 2:1AE EB CF FB  ， : 3:1CG GD  ，过 E F G、 、 的平面交 AD 于 H ，连接 EH . （1）求 :AH HD ； （2）求证： EH FG BD、 、 三线共点. 【答案】（1）3:1；（2）证明见解析. 【解析】 试题分析：（1）由于 , , ,E F G H 四点共面， / /EF AC ，根据“如果一条直线与一个平面平行， 经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行”，有 / /EF HG ，进而 / /HG AC ， 平 行 线 分 线 段 成 比 例 ， 所 以 : 3:1AH HD  ；（ 2 ） 设 EH FG P ， ,P ABD P CBD 平面 平面 ，所以 P BD ，所以 EH FG BD、 、 三线共点. 考点：证明平行，证明三点共线． 18.如图，四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 的底面 ABCD 为正方形，O是底面中心， 1AO  底面 ABCD ， 1 2AB AA  . （1）证明：平面 1 / /A BD 平面 1 1CD B ； （2）求三棱柱 1 1 1ABD A B D 的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）1. 【解析】 试题分析：（1）由于 1 1 1 1 / / / / A B CD A D B C    ，根据面面平行的判定定理“如果一个平面内的两条相交直 线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行”，有平面 1 / /A BD 平面 1 1CD B ；（2）因为 1AO  底面 ABCD ，所以 1 1 1 1 1 2 2 1 12ABD A B D ABDV S AO       . 考点：证明面面平行，求体积． 19.在正四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中， E 为 1CC 的中点. （1）求证： 1 / /AC 平面 BDE ； （2）求异面直线 1A E 与 BD 所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2） 90 . 考点：证明线面平行，求线线角． 20.如图所示，已知三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，若 D 是棱 1CC 的中点，在棱 AB 上是否存在一 点 E 使 / /DE 平面 1 1AB C ？并证明你的结论. 【答案】存在，证明见解析． 【解析】 试题分析：过点 D 作 1 1/ /DF BC 交 1BB 于点 F ，取 AB 的中点 E ，连接 ED ， EF .由 1 1/ /DF BC 和 1/ /EF AB ，证得 / /DE 平面 1 1AB C . 试题解析： 过点 D 作 1 1/ /DF BC 交 1BB 于点 F ，取 AB 的中点 E ，连接 ED ，EF . 1 1/ /DF BC ，DF  平面 1 1AB C ， 1 1B C  平面 1 1AB C ，所以 / /DF 平面 1 1AB C . EF 为 1ABB 的中位线， 1/ /EF AB ，EF  平面 1 1AB C ， 1AB  平面 1 1AB C ，所以 / /EF 平面 1 1AB C .又 DF EF， 为 平面 1AB D 内的两条相交直线，所以平面 / /DEF 平面 1 1AB C . DE  平面 DEF ，所以 / /DE 平面 1 1AB C . 考点：证明线面平行． 【方法点晴】本题主要考查面面平行的判定定理的应用，“如果一个平面内的两条相交直线与 另一个平面都平行，那么这两个平面平行”，所以，在作图时，只需通过 D 点，作两条平行线， 平行于 / /DE 平面 1 1AB C 即可.如果两个平面平行，那么一个平面内的直线就跟另一个平面平 行.在证明过程中，要注意立体几何证明的格式. 21.如图所示，已知 / /  ，异面直线 AB CD， 和平面 ， 分别交于 A B C D， ， ， 四点， E F G H， ， ， 分别是 AB BC CD DA， ， ， 的中点. （1） E F G H， ， ， 四点共面； （2）平面 / /EFGH 平面 . 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 考点：求证四点共面，求证面面平行． 【方法点晴】第一问用到了公理四“平行于同一条直线的两条直线互相平行”，和公理二的推 论“过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面”，“两条平行线确定一个平面”，“两条 相交直线确定一个平面”.第二问用到了平面平行的判定定理：“如果一条直线与一个平面内 的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直”.