人教A版理科数学课时试题及解析（52）曲线与方程 7页

课时作业(五十二)　[第52讲　曲线与方程]‎ ‎[时间：45分钟　　分值：100分]‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．与两圆x2＋y2＝1及x2＋y2－8x＋12＝0都外切的圆的圆心在(　　)‎ A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上 C．一条抛物线上 D．一个圆上 ‎2． 已知两定点A(1,1)，B(－1，－1)，动点P满足·＝，则点P的轨迹是(　　)‎ A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．拋物线 ‎3．已知点O(0,0)，A(1，－2)，动点P满足|PA|＝3|PO|，则P点的轨迹方程是(　　)‎ A．8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0‎ B．8x2＋8y2－2x－4y－5＝0‎ C．8x2＋8y2＋2x＋4y－5＝0‎ D．8x2＋8y2－2x＋4y－5＝0‎ ‎4．已知A(0,7)、B(0，－7)、C(12,2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是(　　)‎ A．y2－＝1(y≤－1) B．y2－＝1‎ C．y2－＝－1 D．x2－＝1‎ ‎5． 设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若＝2，且·＝1，则P点的轨迹方程是(　　)‎ A.x2＋3y2＝1(x>0，y>0)‎ B.x2－3y2＝1(x>0，y>0)‎ C．3x2－y2＝1(x>0，y>0)‎ D．3x2＋y2＝1(x>0，y>0)‎ ‎6．已知||＝3，A、B分别在y轴和x轴上运动，O为原点，＝＋，则动点P的轨迹方程是(　　)‎ A.＋y2＝1 B．x2＋＝1‎ C．.＋y2＝1 D．.x2＋＝1‎ ‎7．已知二面角α－l－β的平面角为θ，点P在二面角内，PA⊥α，PB⊥β，A，B为垂足，且PA＝4，PB＝5，设A，B到棱l的距离分别为x，y，当θ变化时，点(x，y)的轨迹方程是(　　)‎ A．x2－y2＝9(x≥0)‎ B．x2－y2＝9(x≥0，y≥0)‎ C．y2－x2＝9(y≥0)‎ D．y2－x2＝9(x≥0，y≥0)‎ ‎8． 已知点M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为(　　)‎ A．x2－＝1(x<－1) B．x2－＝1(x>1)‎ C．x2＋＝1(x>0) D．x2－＝1(x>1)‎ ‎9． 已知动点P在直线x＋2y－2＝0上，动点Q在直线x＋2y＋4＝0上，线段PQ中点M(x0，y0)满足不等式则x＋y的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D．[10,34]‎ ‎10．已知直线l：2x＋4y＋3＝0，P为l上的动点，O为坐标原点．若2＝，则点Q的轨迹方程是________________．‎ ‎11．已知F1、F2为椭圆＋＝1的左、右焦点，A为椭圆上任一点，过焦点F1向∠F1AF2的外角平分线作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程是________．‎ ‎12．设过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，且AB中点为M，则点M的轨迹方程是________．‎ ‎13． 曲线C是平面内与两个定点F1(－1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹，给出下列三个结论：‎ ‎①曲线C过坐标原点；‎ ‎②曲线C关于坐标原点对称；‎ ‎③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2.‎ 其中，所有正确结论的序号是________．‎ ‎14．(10分) 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－1)，B点在直线y＝－3上，M点满足∥，·＝·，M点的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)求C的方程；‎ ‎(2)P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．‎ ‎15．(13分) 已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆短半轴长为1，动点M(2，t)(t>0)在直线x＝(a为长半轴长，c为半焦距)上．‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)求以OM为直径且被直线3x－4y－5＝0截得的弦长为2的圆的方程；‎ ‎(3)设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．‎ ‎16．(12分) 已知A、B分别是直线y＝x和y＝－x上的两个动点，线段AB的长为2，D是AB的中点．‎ ‎(1)求动点D的轨迹C的方程；‎ ‎(2)过点N(1,0)作与x轴不垂直的直线l，交曲线C于P、Q两点，若在线段ON上存在点M(m,0)，使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形，试求m的取值范围．‎ 课时作业(五十二)‎ ‎【基础热身】‎ ‎1．B　[解析] 圆x2＋y2－8x＋12＝0的圆心为(4,0)，半径为2，动圆的圆心到(4,0)的距离减去到(0,0)的距离等于1，由此可知，动圆的圆心在双曲线的一支上．‎ ‎2．B　[解析] 设点P(x，y)，则＝(1－x,1－y)，＝(－1－x，－1－y)，‎ 所以·＝(1－x)(－1－x)＋(1－y)(－1－y)＝x2＋y2－2.‎ 由已知x2＋y2－2＝，即＋＝1，所以点P的轨迹为椭圆．‎ ‎3．A　[解析] 设P点的坐标为(x，y)，则＝3，‎ 整理，得8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0.‎ ‎4．A　[解析] 由题意|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，‎ ‎∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2.‎ 故F点的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线下支．又c＝7，a＝1，b2＝48，‎ 所以轨迹方程为y2－＝1(y≤－1)．‎ ‎【能力提升】‎ ‎5．A　[解析] 设A(a,0)，B(0，b)，a>0，b>0.由＝2得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，即a＝x>0，b＝3y>0.由题知点Q(－x，y)，故由·＝1，得(－x，y)·(－a，b)＝1，即ax＋by＝1.将a，b代入上式得，所求的轨迹方程为x2＋3y2＝1(x>0，y>0)．‎ ‎6．A　[解析] 设A(0，a)，B(b,0)，则由||＝3得a2＋b2＝9.设P(x，y)，由＝＋得(x，y)＝(0，a)＋(b,0)，由此得b＝x，a＝3y，代入a2＋b2＝9得9y2＋x2＝9⇒＋y2＝1.‎ ‎7．B　[解析] 实际上就是求x，y所满足的一个等式，设平面PAB与二面角的棱的交点是C，则AC＝x，BC＝y，在两个直角三角形Rt△PAC，Rt△PBC中其斜边相等，根据勾股定理即可得到x，y所满足的关系式．如图，x2＋42＝y2＋52，即x2－y2＝9(x≥0，y≥0)．‎ ‎8．B　[解析] 设直线PM、PN与圆C的切点分别为A、D.由切线长定理知|AM|＝|MB|，|PD|＝|PA|，|DN|＝|NB|，所以|PM|－|PN|＝|PA|＋|AM|－|PD|－|DN|＝|MB|－|NB|＝2<|MN|，由双曲线的定义知点P的轨迹是以M、N为焦点、实轴长为2的双曲线的右支(除去点B)．‎ ‎9．B　[解析] 由于已知的两直线平行，故其中点的轨迹是x＋2y＋1＝0，点M(x0，y0)就是直线x＋2y＋1＝0位于区域内的线段上，如图．根据几何意义，坐标原点到直线x＋2y＋1‎ ‎＝0的距离是，故最小值是，根据图形在点A处取得最大值，点A的坐标是(5，－3)，故最大值是34.‎ ‎10．2x＋4y＋1＝0　[解析] 设点Q的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x1，y1)．根据2＝得2(x，y)＝(x1－x，y1－y)，即 ‎∵点P在直线l上，∴2x1＋4y1＋3＝0，把x1＝3x，y1＝3y代入上式并化简，得2x＋4y＋1＝0，为所求轨迹方程．‎ ‎11．x2＋y2＝4　[解析] 延长F1D与F‎2A交于B，连接DO，可知|DO|＝|F2B|＝2，∴动点D的轨迹方程为x2＋y2＝4.‎ ‎12．y2＝2(x－1)　[解析] F(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)，则x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，y＝4x1，y＝4x2，后两式相减并将前两式代入得(y1－y2)y＝2(x1－x2)，当x1≠x2时，×y＝2.‎ 又A、B、M、F四点共线，＝，代入得y2＝2(x－1)，当x1＝x2时，M(1,0)也适合这个方程，即y2＝2(x－1)是所求的轨迹方程．‎ ‎13．②③　[解析] ①曲线C经过原点，这点不难验证是错误的，如果经过原点，那么a＝1，与条件不符；②曲线C关于原点对称，这点显然正确，如果在某点处|PF1||PF2|＝a2，关于原点的对称点处也一定符合|PF1||PF2|＝a2；③三角形的面积S△F‎1F2P2≤，很显然S△F‎1F2P＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2≤|PF1||PF2|＝.所以②③正确．‎ ‎14．[解答] (1)设M(x，y)，由已知得B(x，－3)，A(0，－1)．‎ 所以＝(－x，－1－y)，＝(0，－3－y)，＝(x，－2)．‎ 再由题意可知(＋)·＝0，‎ 即(－x，－4－2y)·(x，－2)＝0，‎ 所以曲线C的方程为y＝x2－2.‎ ‎(2)设P(x0，y0)为曲线C：y＝x2－2上一点，‎ 因为y′＝x，所以l的斜率为x0.‎ 因此直线l的方程为y－y0＝x0(x－x0)，‎ 即x0x－2y＋2y0－x＝0.‎ 则O点到l的距离d＝，又y0＝x－2，‎ 所以d＝＝≥2，‎ 当x0＝0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2.‎ ‎15．[解答] (1)由点M在直线x＝上，得＝2，‎ 又b＝1，故＝2，∴c＝1，从而a＝.‎ ‎∴椭圆的标准方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)以OM为直径的圆的方程为x(x－2)＋y(y－t)＝0，即(x－1)2＋2＝＋1，‎ 其圆心为，半径r＝.‎ 因为以OM为直径的圆被直线3x－4y－5＝0截得的弦长为2，‎ 所以圆心到直线3x－4y－5＝0的距离d＝＝，所以＝，解得t＝4，‎ 所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.‎ ‎(3)证法一：设OM，FN交于点K.‎ 由平面几何的性质知|ON|2＝|OK||OM|，‎ 直线OM：y＝x，直线FN：y＝－(x－1)．由得xK＝.‎ ‎∴|ON|2＝· ‎＝··2＝2，所以线段ON的长为定值.‎ 证法二：设N(x0，y0)，则＝(x0－1，y0)，＝(2，t)，‎ ＝(x0－2，y0－t)，＝(x0，y0)，‎ ‎∵⊥，∴2(x0－1)＋ty0＝0，∴2x0＋ty0＝2，‎ 又∵⊥，∴x0(x0－2)＋y0(y0－t)＝0，‎ ‎∴x＋y＝2x0＋ty0＝2，‎ 所以，||＝＝为定值．‎ ‎【难点突破】‎ ‎16．[解答] (1)设D(x，y)，A，B.‎ 因为D是线段AB的中点，‎ 所以x＝，y＝·.‎ 因为|AB|＝2，所以(x1－x2)2＋2＝12，所以(2y)2＋2＝12，‎ 即＋y2＝1.‎ 故点D的轨迹C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)设l：y＝k(x－1)(k≠0)，代入椭圆方程＋y2＝1，‎ 得(1＋9k2)x2－18k2x＋9k2－9＝0，‎ 所以x1＋x2＝，‎ 所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝.‎ 所以PQ中点H的坐标为.‎ 因为以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形，‎ 所以kMH·k＝－1.‎ 所以·k＝－1，即m＝.‎ 因为k≠0，所以0