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  • 2021-06-10 发布

2019-2020学年宁夏银川市兴庆区长庆高级中学高一上学期期末考试数学试卷

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宁夏银川市兴庆区长庆高级中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷 ‎ 满分:150分 时间:120分钟 ‎ ‎ 一.选择题:(每题只有一个正确答案,每题5分,共60分)‎ ‎1.对两条不相交的空间直线a与b,必存在平面α,使得(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知点A(1,),B(-1,3),则直线AB的倾斜角是 (  )‎ A.60°    B.30°    C.120°    D.150°‎ ‎3.如图,A′B′C′D′为各边与坐标轴平行的正方形ABCD的直观图,若A′B′=3,则原正方形ABCD的面积是(  )‎ A.9     B.‎3 C.     D.36‎ ‎4.过点P(4,-1),且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是(  )‎ A.4x+3y-19=0 B.4x+3y-13=0‎ C.3x+4y-16=0 D.3x+4y-8=0‎ ‎5.直线x+y-1=0被圆(x+1)2+y2=3截得的弦长等于(  )‎ A. B.‎2 C.2 D.4‎ ‎6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(   )‎ A.16+8π B.8+8π C.16+16π D.8+16π ‎7.长方体中,AB=AD=,CC1=,则二面角C1-BD-C的大小为( )‎ A.30° B.45° C.60° D.90°‎ ‎8.已知实数x,y满足5x+12y-60=0,‎ A. B‎.1 C. D.‎ ‎9.如图,在直三棱柱ABCA1B‎1C1中,D为A1B1的中点,AB=BC=BB1=2,AC=2,则异面直线BD与AC所成的角为(  )‎ ‎ ‎ A.30° B.45° C.60° D.90°‎ A.13 B. C. D.15‎ ‎11.已知圆C1:x2+y2+4x-4y-3=0,动点P在圆C2:x2+y2-4x-12=0上,则△PC‎1C2面积的最大值为(  )‎ A. B. C. D.20‎ ‎12.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=1,过x轴上的一个动点P引圆C的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,则线段AB 长度的取值范围是(   )‎ A.(,2) B.[,2) C.(,2] D.[,2]‎ 二.填空题(每题5分,共20分)‎ ‎13.过点P(3,4)在两坐标轴上截距相等的直线方程为______________.‎ ‎14.已知a,b表示直线,α,β,γ表示平面.‎ ‎①;‎ ‎②;‎ ‎③;‎ ‎④.‎ 上述命题中,正确命题的序号是________.‎ ‎15.点P(-2,-1)到直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ的距离为d,则d的取值范围是 ‎ ‎16.已知正三棱柱的底面边长为,为的中点,平面与平面所成的锐二面角的正切值是,则四棱锥外接球的表面积为________.‎ 三.解答题(共70分)‎ ‎17.(本小题满分10分)已知某几何体的俯视图是矩形(如图),正视图是一个底边长为8,高为4的等腰三角形,侧视图是一个底边长为6,高为4的等腰三角形.‎ ‎(1)求该几何体的体积V;‎ ‎(2)求该几何体的侧面积S.‎ ‎18.(本小题满分12分)直线l经过两直线l1:3x+4y-2=0和l2:2x+y+2=0的交点.‎ ‎(1)若直线l与直线3x+y-1=0平行,求直线l的方程;‎ ‎(2)点A(3,1)到直线l的距离为5,求直线l的方程.‎ ‎19.(本小题满分12分)设圆C的方程为x2+y2-4x-5=0,‎ ‎(1)求该圆的圆心坐标及半径.‎ ‎(2)若此圆的一条弦AB的中点为P(3,1),求直线AB的方程.‎ ‎20. (本小题满分12分)如图,在四棱锥PABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.‎ ‎ (1)求证:DC⊥平面PAC;‎ ‎(2)求证:平面PAB⊥平面PAC;‎ ‎(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?并说明理由.‎ ‎21.(本小题满分12分)已知以点C为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),且圆心C在直线x+3y-15=0上.‎ ‎(1)求圆C的标准方程;‎ ‎(2)设点Q(-1,m)(m>0)在圆C上,求△QAB的面积.‎ ‎22.(本小题满分12分)如图(1),在矩形ABCD中,已知AB=2,AD=2,M,N分别为AD和BC的中点,对角线BD与MN交于O点,沿MN把矩形ABNM折起,使两个半平面所成二面角为60°,如图(2).‎ ‎(1)求证:BO⊥DO;‎ ‎(2)求AO与平面BOD所成角的正弦值.‎ 数学答案 一. 选择题 ‎1-5:BCABB 6-10:AADCA 11-12:BB 二.填空题 ‎13. 或x+y-7=0‎ ‎14. ②④ ‎ ‎15. 0≤d< ‎ ‎16. 19‎ 三.解答题 ‎17.解:(1)几何体的体积V=S矩形h=×6×8×4=64.‎ ‎(2)正侧面及相对侧面底边上的高h1==5.‎ 左、右侧面的底边上的高h2==4.‎ 故几何体的侧面积S=2·×8×5+=.‎ ‎18.解:由解得 所以两直线的交点M(-2,2).‎ ‎(1)设直线l的方程为3x+y+c=0(c≠-1),‎ 把点(-2,2)代入方程,得c=4,‎ 所以直线l的方程为3x+y+4=0.‎ ‎(2)当直线l的斜率不存在时,直线方程为x=-2,‎ 此时点A(3,1)到直线l的距离为5,满足题意;‎ 当直线l的斜率存在时,设直线方程为y-2=k(x+2),‎ 即kx-y+2k+2=0,‎ 则点A(3,1)到直线l的距离d===5,‎ 所以k=,则直线l的方程为12x-5y+34=0.‎ 故直线l的方程为x=-2或12x-5y+34=0.‎ ‎19.解:(1)将x2+y2-4x-5=0配方得:(x-2)2+y2=9.‎ 所以圆心坐标为C(2,0),半径为r=3.‎ ‎(2)设直线AB的斜率为k.‎ 由圆的几何性质可知:CP⊥AB,‎ 所以kCP·k=-1.‎ 又kCP==1,所以k=-1.‎ 所以直线AB的方程为y-1=-(x-3),‎ 即:x+y-4=0.‎ ‎20.[证明] (1)因为PC⊥平面ABCD,‎ 所以PC⊥DC.‎ 又因为DC⊥AC,且PC∩AC=C,‎ 所以DC⊥平面PAC.‎ ‎(2)因为AB∥DC,DC⊥AC,‎ 所以AB⊥AC.‎ 因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥AB.‎ 又因为PC∩AC=C,所以AB⊥平面PAC.‎ 又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAC.‎ ‎(3)棱PB上存在点F,使得PA∥平面CEF.‎ 理由如下:取PB的中点F,连接EF,CE,CF.‎ 又因为E为AB的中点,所以EF∥PA.‎ 又因为PA⊄平面CEF,且EF⊂平面CEF,‎ 所以PA∥平面CEF.‎ ‎21.解:(1):依题意所求圆的圆心C为AB的垂直平分线和直线x+3y-15=0的交点,‎ ‎∵AB中点为(1,2),斜率为1,‎ ‎∴AB垂直平分线方程为y-2=-(x-1),‎ 即y=-x+3.‎ 联立 解得 即圆心C(-3,6),半径r==2,‎ 所求圆C的方程为(x+3)2+(y-6)2=40.‎ ‎(2)点Q(-1,m)(m>0)在圆C上,‎ ‎∴m=12或m=0(舍去),‎ ‎|AQ|=12,点B到直线AQ的距离为4.‎ 所以△QAB的面积为24.‎ ‎22.(1)证明:翻折前,由于M,N是矩形ABCD的边AD和BC的中点,所以AM⊥MN,DM⊥MN,折叠后垂直关系不变,所以∠AMD是两个半平面所成二面角的平面角,所以∠AMD=60°.‎ 连接AD,由AM=DM,可知△MAD是正三角形,所以AD=.‎ 在Rt△BAD中,AB=2,AD=,所以BD=,由题可知BO=OD=,由勾股定理可知三角形BOD是直角三角形,所以BO⊥DO.‎ ‎(2)解:如图,设E,F分别是BD,CD的中点,连接EF,OE,OF,BC,又BD=,BC=,CD=2,所以DC⊥BC,则EF⊥CD.‎ 又OF⊥CD,所以CD⊥平面OEF,OE⊥CD.‎ 又BO=OD,所以OE⊥BD,又BD∩CD=D,所以OE⊥平面ABCD.又OE⊂平面BOD,所以平面BOD⊥平面ABCD.‎ 过A作AH⊥BD,由面面垂直的性质定理,可得AH⊥平面BOD,连接OH,则OH是AO在平面BOD内的投影,所以∠AOH为AO与平面BOD所成的角.‎ 又AH是Rt△ABD斜边上的高,所以AH=,又OA=,所以sin∠AOH==.故AO与平面BOD所成角的正弦值为.‎

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