【数学】2018届一轮复习人教A版（文）专题11简单线性规划学案 14页

专题十一 简单线性规划 ‎【简单的线性规划】‎ 简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。涉及更多个变量的线性规划问题不能用初等方法解决。‎ ‎【用一元一次不等式（组）表示平面区域】‎ ‎(1)一般地，直线l:ax+by+c=0把直角坐标平面分成了三个部分：①直线l上的点(x，y)的坐标满足ax+by+c=0；②直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax+by+c>0;③直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax+by+c<0．所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x0，y0)，从ax0+by0+c的值的正负，即可判断不等式表示的平面区域，可简称为，特殊点定域”． (2)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. ‎ ‎【二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法】‎ 因为对在直线Ax+By+c=0同一侧的所有点(x ,y)，实数Ax+By+c的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0, y0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便）.把它的坐标代入Ax+By+c，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧。‎ 要点 ‎ 判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧的方法： ‎ 因为对在直线Ax+By+C =0同一侧的所有点(x ,y)，数Ax+By+C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0, y0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c，由其值的符号简单的线性规划 二元一次不等式（组）表示的区域 简单应用 不等式（组）的应用背景 即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧 ‎【2017年高考全国Ⅱ卷，文7】‎ 设满足约束条件则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【考点】线性规划 ‎【点拨】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想．需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．‎ 答题思路 ‎【命题意图】本类题主要考查学生线性规划有关知识、作图、识图、计算，考查学生数形结合思想的运用．‎ ‎【命题规律】线性规划问题一般有三种题型．一是求最值，常考类型包括直线型、距离型、斜率型；二是求区域面积；三是知最优解情况或可行域情况确定参数的值或取值范围．‎ ‎【答题模板】解答此类题的基本方法是图解法，步骤有四：‎ ‎①作图——画出可行域所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的一条直线l；‎ ‎②平移——将直线l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；（1）线性目标函数中的z不是直线在y轴上的截距，把目标函数化为可知是直线在y轴上的截距，要根据的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值．线性目标函数z＝ax＋by取最大值时的最优解与b的正负有关，当b>0时，最优解是将直线ax＋by＝0在可行域内向上方平移到端点(一般是两直线交点)的位置得到的；当b<0时，则是向下方平移．‎ ‎③求值——解有关方程组求出A点坐标(即最优解)；‎ ‎④代入目标函数，求出目标函数的最值．‎ ‎【试题探源】研读教材可以发现，人教A版必修五3．3．2练习1两道小题均为此类．‎ ‎【方法总结】‎ ‎1、二元一次不等式所表示的平面区域：‎ 在平面直角坐标系中，直线将平面分成两部分，平面内的点分为三类：‎ ‎①直线上的点（x，y）的坐标满足：；‎ ‎②直线一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足：；‎ ‎③直线另一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足：．‎ 即二元一次不等式或在平面直角坐标系中表示直线的某一侧所有点组成的平面区域，直线叫做这两个区域的边界，（虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线）． 由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．‎ ‎2、由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．‎ ‎1． 判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧的方法：‎ 因为对在直线Ax+By+C =0同一侧的所有点(x ,y)，数Ax+By+C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点 (x0, y0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧．‎ ‎2． 画二元一次不等式或表示的平面区域的基本步骤：‎ ‎①画出直线（有等号画实线，无等号画虚线）；‎ ‎②当时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当时，另取一特殊点判断；‎ ‎③确定要画不等式所表示的平面区域．‎ ‎1.【2017年高考浙江卷，文4】若，满足约束条件，则的取值范围是 A．[0，6] B．[0，4] C．[6， D．[4，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：如图，可行域为一开放区域，所以直线过点时取最小值4，无最大值，选D．‎ ‎【考点】 简单线性规划 ‎【点拨】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式转化为（或），“”取下方，“”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．‎ ‎2．【2017年高考全国Ⅲ卷，文5】设x，y满足约束条件，则的取值范围是（ ）‎ A．[–3,0] B．[–3,2] C．[0,2] D．[0,3]‎ ‎【答案】B$来&源：ziyuanku.com ‎【考点】简单线性规划 ‎【点拨】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎3．【2017安徽阜阳二模】若满足约束条件，则的最大值为 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【考点】简单线性规划 ‎4．【2017广东佛山二模】已知实数， 满足，则的最小值是（ ）‎ A． 0 B． 2 C． 3 D． 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】可行域如图，所以直线过点时取最小值2，选B．‎ ‎【考点】简单线性规划 ‎5．【2017湖南娄底二模】若实数， 满足不等式组则的最小值为（ ）‎ A． 2 B． 3 C． D． 14‎ ‎【答案】A ‎【考点】简单线性规划 ‎6．【2017广西5月考前联考】已知变量， 满足约束条件则的最小值为（ ）‎ A． B． 1 C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 画出不等式组表示的区域如图，结合图形可知当动直线经过点时，动直线在轴上的截距最小，则，应选答案C．‎ ‎【考点】简单线性规划 ‎7．【2017河北唐山三模】 若变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）‎ A． 4 B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【考点】简单线性规划 ‎8．【2017安徽马鞍山三模】已知实数满足约束条件，若的最大值为1，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【考点】简单线性规划 ‎9．【2017北京西城区5月模拟】在平面直角坐标系中，不等式组，表示的平面区域的面积是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】作出不等式组所表示的平面区域如下图所示，易得点坐标为，‎ 联立得，则，故选B．‎ ‎【考点】简单线性规划 ‎10．【2017福建三明5月质检】在区域中，若满足的区域面积占面积的，则实数的值是（　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【考点】简单线性规划 ‎11．【2017四川泸州四诊】当实数满足不等式组时， 恒成立，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】；‎ ‎【考点】简单线性规划 ‎12.【2016年高考全国卷Ⅱ，文14】若x，y满足约束条件则z=x−2y的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【考点】 简单的线性规划 ‎【点拨】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：‎ ‎(1)在平面直角坐标系内作出可行域；‎ ‎(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；‎ ‎(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；‎ ‎(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．‎ ‎13.【2016年高考全国Ⅲ卷，文13】若满足约束条件 则的最小值为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知当目标函数经过点时取得最小值，即．‎ ‎【考点】简单的线性规划问题 ‎【点拨】利用图解法解决线性规划问题的一般步骤：(1)作出可行域．将约束条件中的每一个不等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式的区域，然后求出所有区域的交集；(2)作出目标函数的等值线(等值线是指目标函数过原点的直线)；(3)求出最终结果．‎ ‎14.【2015全国Ⅱ，文14】若x，y满足约束条件 ,则z=2x+y的最大值为 ．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ 试题分析：不等式组表示的可行域是以为顶点的三角形区域,的最大值必在顶点处取得,经验算,时．‎ ‎【考点】本题主要考查线性规划知识及计算能力．‎ ‎【点拨 ‎】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合．‎