【推荐】专题4-2 三角恒等变换-2018年高三数学（文）一轮总复习名师伴学 28页

真题再现 ‎1.【2017课标3，文4】已知，则=（ ）‎ A． B． C． D． ‎【答案】A ‎【解析】 .‎ 所以选A.‎ ‎【考点】二倍角正弦公式 ‎【名师点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度 ‎(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.‎ ‎(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.‎ ‎(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.‎ ‎2. 【2017山东，文4】已知,则 A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【考点】二倍角公式 ‎【名师点睛】(1)三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点．‎ ‎3.【2017课标II，文13】函数的最大值为_______ . ‎ ‎【答案】 ‎【解析】 ‎ ‎【考点】三角函数有界性 ‎【名师点睛】通过配角公式把三角函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用 求最值.‎ ‎4.【2017江苏，5】 若 则 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【考点】两角和正切公式 ‎5.【2017课标1，文15】已知，tan α=2，则=__________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】‎ ‎【考点】三角函数求值 ‎【名师点睛】三角函数求值的三种类型 ‎（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．‎ ‎（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．‎ ‎①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；‎ ‎②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．‎ ‎（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．‎ ‎6. 【2016高考新课标Ⅲ文数】若 ，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎【答案】D ‎【解析】．‎ ‎7. 【2016高考新课标1文数】已知θ是第四象限角,且sin(θ+)=,则tan(θ–)= .‎ ‎【答案】 ‎8.【2015高考广东，文16】已知．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）‎ ‎（2） ‎ ‎【知识链接】‎ ‎1．两角和与差的三角函数 ‎；；‎ ‎.‎ ‎2．二倍角公式 ‎；；‎ ‎.‎ ‎3．降幂公式 ‎；，.‎ ‎4.辅助角公式 ‎，.‎ ‎5.有关公式的逆用、变形等 ‎；， ,,,‎ ,, ‎【方法规律技巧】‎ ‎1.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路与基本的技巧 基本思路是：一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心.第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点.‎ 基本的技巧有:‎ ‎（1）巧变角：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如，，，，等.‎ ‎(2)三角函数名互化：切割化弦，弦的齐次结构化成切.‎ ‎(3)公式变形使用：如,,,‎ ,等 ‎ (4)三角函数次数的降升：降幂公式与升幂公式:；，.‎ ‎(5)式子结构的转化.‎ ‎(6)常值变换主要指“1”的变换：等.‎ ‎（7）辅助角公式：(其中角所在的象限由的符号确定，的值由确定.在求最值、化简时起着重要作用,这里只要掌握辅助角为特殊角的情况即可.‎ 如等.‎ 题型一 两角和与差的三角函数公式的应用 典例1．【安徽省淮北市第一中学2017届高三最后一卷数学（文）】已知， ，则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎【解析】，则， ，所以， ，‎ ，故选B．‎ 典例2.已知，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎【答案】D 典例3.【湖南省2017届高三普通高等学校招生全国统一考试考前演练卷（三）文科】计算的值等于__________．‎ ‎【答案】 典例4.【辽宁省沈阳市东北育才学校2017届高三第八次模拟考试数学（文）】sin15°+cos15°=__.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ‎ ‎【变式训练】‎ ‎1.若，且，则实数的值为（ ）‎ A．1 B． C．1或 D．1或10‎ ‎【答案】C ‎【解析】，所以或，即或,选C.‎ ‎2.（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【解析】原式等于 ,选D.‎ ‎3.已知锐角满足，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】B ‎【知识链接】‎ 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；‎ C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcos_β－sinαsinβ；‎ S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；‎ S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cosαsinβ；‎ T(α＋β)：tan(α＋β)＝；‎ T(α－β)： tan(α－β)＝.‎ 变形公式：‎ tanα±tan β＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；‎ .‎ ‎【变式训练】‎ ‎1.若， ，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】A ‎2．若，且，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可知,所以和,所以= ,选C.‎ ‎3.已知是方程的两个根，且,则的值是 A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】由题意得 ‎ 因为 ，所以，选B.‎ 题型2 二倍角公式及半角公式的的运用 典例1．【河北省保定市2017届高三二模文科数学试题】角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线y=2x上，则tan2θ=‎（ ）‎ A. 2 B. ‎-4‎ C. ‎-‎‎3‎‎4‎ D. ‎‎-‎‎4‎‎3‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得：tanθ=2‎ ，‎ 则：tan2θ=‎2tanθ‎1-tan‎2‎θ=‎4‎‎1-4‎=-‎‎4‎‎3‎ .‎ 本题选择D选项.‎ 典例2．‎ 典例3．【广东省汕头市2017届高三第三次模拟考试数学（文）】已知为锐角，且，则__________．‎ ‎【答案】 ‎【知识清单】‎ 二倍角的正弦、余弦、正切公式：‎ S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；‎ C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；‎ T2α：tan 2α＝.‎ 变形公式：‎ cos2α＝，sin2α＝ ‎1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2 ,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2‎ ‎【方法规律技巧】‎ 三角函数式的化简要遵循“三看”原则：‎ ‎ （1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；‎ ‎（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；‎ ‎（3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．‎ ‎【变式训练】‎ ‎1．【宁夏六盘山高级中学2017届高三第三次模拟考试数学（文）】若是第四象限角，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎2．已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【解析】.‎ 题型3 三角恒等式的证明 典例1.求证：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos2αcos2β＝.‎ ‎【证明】证法一：(复角→单角，从“角”入手)‎ 左边＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(2cos2α－1)(2cos2β－1)‎ ‎＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1)‎ ‎＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－ ‎＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－ ‎＝sin2β＋cos2β－＝1－＝.‎ 典例2. 已知，，且，.‎ 证明：.‎ ‎【证明】，即，‎ ，‎ ，‎ ，‎ 又，，‎ ，，，‎ .‎ ‎【方法规律技巧】‎ 三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条件恒等式．‎ ‎(1)证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，变更论证，通过三角恒等式变换，使等式的两边化异为同．‎ ‎(2)条件恒等式的证明则要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当途径．常用代入法、消元法、两头凑等方法．‎ ‎【变式训练】‎ ‎1.求证：＝－2cos(α＋β).‎ ‎2.已知，证明：.‎ ‎【证明】左边 ‎ ‎ ‎ ‎ 右边.‎ 故原命题成立.‎ 题型4 三角恒等变换与三角函数性质的综合应用 典例1. 12．【湖南省长沙市长郡中学2017届高三5月模拟考试数学（文）】已知 ，将的图象向右平移了个单位，再向上平移1个单位，得到的图象，若对任意实数，都有成立，则（ ）‎ A. B. 1 C. D. 0‎ ‎【答案】B 典例2. 【湖北省黄冈中学2017年高三5月第三次模拟考试文科数学】若函数在上是增函数，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎【解析】‎ , 是函数含原点的递增区间，又因为函数在 上递增，所以 ，所以得不等式组 ，得 ，又 ， 的取值范围是，故选B . ‎ ‎【方法规律技巧】‎ ‎ 高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中．需要利用这些公式，先把函数解析式化为的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质．‎ ‎【变式训练】‎ ‎1．【四川省大教育联盟2017届高中毕业班第三次诊断性考试数学（文）】已知为正整数，若函数在区间内单调递增，则函数最小正周期为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎2.（1）已知， ，其中， ，求；‎ ‎（2）已知， ，且，求的值.‎ ‎【答案】（1）-1；（2）.‎ ‎【知识交汇】‎ ‎1．【湖南省长沙市一中2017届高三高考模拟试卷（二）数学】若（）是偶函数,则有序实数对（）可以是( )‎ A. B. C. (1,1) D. (-1,1)‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎ ， ， ∵是偶函数，∴只要即可，可以取， ，故选D.‎ ‎【交汇技巧】‎ 本题主要考查了利用两角和与差的三角函数进行三角函数式的化简，以及三角函数奇偶性的判断，熟练掌握三角函数的性质是关键；已知函数的奇偶性求参数的问题解决的方法主要有三：‎ ‎（1）奇偶性的定义；‎ ‎（2）数形结合；‎ ‎（3）根据基础函数平移伸缩变换得出奇偶性。‎ ‎2.【2017届湖南省衡阳市高三下学期第二次联考数学（文）】已知函数，若为函数的一个零点，则__________．‎ ‎【答案】 练习检测 ‎1．【广东省惠东县惠东高级中学2018届高三适应性考试数学（文）】已知,则 A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【解析】 ，选D. ‎ ‎2．【安徽省巢湖市柘皋中学2017届高三最后一次模拟考试数学（文）】若倾斜角为的直线与曲线相切于点，则的值为（ ）‎ A. B. 1 C. D. ‎【答案】D ‎【解析】 ，当 时， 时，则 ，所以 ，故选D.‎ ‎3．【辽宁省庄河市高级中学2017届高三第四次模拟考试数学（文）】已知 为第二象限角， ，则 的值为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎4．【广西桂林市第十八中学2017届高三下学期适应性考试数学（文）】已知是第二象限角，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【解析】由同角三角函数基本关系可得：‎ ，解得： ，则 .‎ 本题选择C选项.‎ ‎5．【云南省民族中学2017届高三适应性考试（三）数学（文）】已知，则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】A ‎【解析】由，即， ‎ ，故选A．‎ ‎6．【福建省泉州市2017届高三高考考前适应性模拟卷（二） 数学（文）】已知,则 A. B. C. D. ‎【答案】D ‎7．【福建省泉州市2017届高三（5月）第二次质量检查数学（文）】已知，则（ ）‎ A. B. C. D. - ‎【答案】C ‎【解析】因为所以 ，因为，所以，选C.‎ ‎8．【河北省衡水中学2017届高三下学期第三次摸底考试数学（文）】已知，则的值等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】A ‎9．【福建省福州第一中学2017届高三5月质检（最后一模）数学（文）试题】已知,则的值( )‎ A. 2 B. -2 C. 3 D. -3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ,故选C.‎ ‎10．【百校大联考全国名校联盟2017届高三联考试卷（六）文科】若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【解析】由齐次式可得: ,故选D.‎ ‎11．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2017届高三第三次模拟考试数学（文）】已知，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【解析】，故选C.‎ ‎12．【河南省豫北重点中学2017届高三4月联考数学（文）】已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【解析】，所以，‎ ‎ ，故选D. ‎ ‎13．【江西省赣州市2017届高三第二次模拟考试数学（文）】的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎【解析】 由，故选B.‎ ‎14．【江西省南昌市2017届高三二模测试卷文科数学试题】已知，则_________．‎ ‎【答案】．‎ ‎15．【重庆市巴蜀中学2017届高三三诊考试文科数学】已知，则__________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】 ‎ ‎16．【湖南省长沙市长郡中学2017届高三5月模拟考试数学（文）试题】在锐角中， ， ， ，则__________．‎ ‎【答案】 ‎17．【河北省衡水中学2017届高三下学期第三次摸底考试数学（文）】将函数的图象向右平移个单位（），若所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是__________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】 向右平移个单位得为偶函数，所以，因为，所以 ‎ ‎18．【山西省孝义市2017届高三下学期高考考前质量检测三（5月模拟）数学（文）】已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则 ____________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】角的终边与单位圆的交点为，所以， ，‎ 所以．‎ ‎19．【广东省惠州市2017届高三4月模拟考试数学文试题】已知，则______ ．‎ ‎【答案】 ‎ ‎