2020届二轮复习空间向量与立体几何综合课时作业（全国通用） 26页

‎ 第十三讲 空间向量与立体几何综合 A组 一、 选择题 ‎1、已知是非零向量，若向量是平面的一个法向量，则“”是“向量所在的直线平行于平面”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 ‎ C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 答案：B ‎2、已知向量，，且与互相垂直，则k的值是（　　）‎ A．1 B. C. D. ‎ ‎【解析】 D 与互相垂直，‎ 解得，故选D．‎ ‎3、在空间直角坐标系中，平面的法向量为, 已知，则P到平面的距离等于 （　　）‎ A． B. C. D. ‎ ‎【解析】B 因为向量在平面OAB的法向量投影的绝对值为P到平面OAB的距离，所以 ‎4、如图，空间四边形中，，分别是，的中点，则等于（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析： 如图所示，连结，则由是的中点 可得，又，故 二、填空题 ‎5、若,,则为邻边的平行四边形的面积为 ． ‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 因为,所以,故所求的平行四边形的面积为.‎ ‎6、如图，已知正方体棱长为4，点在棱上，且，在侧面内作边长为1的正方形，是侧面内一动点，且点到平面距离等于线段的长，则当点运动时，的最小值是（ ）‎ A．21 B．‎22 C．23 D．25‎ ‎【答案】B ‎【解析】在上取点，使得，则面，连结，则．在平面上，以所在直线为轴，以所在直线为轴，由题意可知，点轨迹为抛物线，其方程为，点坐标为，设，则（其中，当时，，故．‎ 三、解答题 ‎7．（2017年北京卷理）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD//平面MAC，PA=PD=，AB=4．‎ ‎（I）求证：M为PB的中点；‎ ‎（II）求二面角B-PD-A的大小；‎ ‎（III）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．‎ ‎【解析】（I）设交点为，连接.‎ 因为平面，平面平面，所以.‎ 因为是正方形，所以为的中点，所以为的中点.‎ ‎（II）取的中点，连接，.‎ 因为，所以.‎ 又因为平面平面，且平面，所以平面.‎ 因为平面，所以.‎ 因为是正方形，所以.‎ 如图建立空间直角坐标系，则，，，‎ ‎，.‎ 设平面的法向量为，则，即.‎ 令，则，.于是.‎ 平面的法向量为，所以.‎ 由题知二面角为锐角，所以它的大小为.‎ ‎（III）由题意知，，.‎ 设直线与平面所成角为，则.‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎8．A P B ‎ C D 如图，在四棱锥P—ABCD中， ，，且四边形ABCD为菱形，，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求平面PAB与平面PCD所成的二面角的余弦值。‎ ‎【解析】（1）证：取AB边中点G，连接PG，DG，DB。‎ ‎∵ ∴ ………2分 又∵四边形ABCD为菱形且 ∴为等边三角形 ∴‎ A P B ‎ C D 又∵ ∴‎ 又∵ ∴ ………5分 ‎（2）又∵，，‎ G 且 ‎∴ ‎ G A P B ‎ C D x y z ‎∴以G为原点，GA，GD，GP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则 ‎∴G(0，0，0),，，‎ ‎∴，‎ ‎∵，且， ‎ ‎∴‎ ‎∴为的法向量，且 ‎ 设为的法向量 令，则，且 ‎ ‎∴∴‎ 又平面PAB与平面PCD所成二面角的平面角为锐角，故所求二面角的平面角的余弦值为。 ‎ ‎9、如图，在斜三棱柱中，点O是的中点，平面.‎ 已知,.‎ ‎(1)求证：; (2)求与平面所成角的正弦值.‎ ‎【解析】建立如图所示空间直角坐标系O-xyz,‎ 则,,,,‎ ‎（1）,,, ‎ ‎(2)设,设平面的一个法向量是，则，‎ 令，得 ‎ 与平面所成角的正弦值为. ‎ ‎10、如图，四边形中，，，，面，，且.‎ ‎（1）求证：面；‎ ‎（2）若二面角的大小为，求与面所成角的正弦值.‎ ‎【解析】（1）证明：设交于，连接，在中，由余弦定理可得：.‎ ‎∴，∴，‎ ‎∵，∴∽.‎ ‎∴，∴，‎ 又，∴四边形为平行四边形.‎ ‎∴.‎ 又∵面，面，‎ ‎∴面.‎ ‎（2）∵面 ‎∴，，‎ 分别以所在直线建立如图所示空间直角坐标系，‎ 则，设，则 ‎∴，，‎ 设平面的法向量为，则 ‎，即，‎ 取，有 易知平面的一个法向量 ‎∴‎ 解得 ‎∴，易知面的一个法向量，‎ ‎∴‎ ‎∴直线与面所成角的正弦为.‎ ‎11、如图，已知边长为6的菱形与相交于，将菱形沿对角线折起，使．‎ ‎（1）若是的中点，求证：在三棱锥中，直线与平面平行；‎ ‎（2）求二面角的余弦值；‎ ‎（3）在三棱锥中，设点是上的一个动点，试确定点的位置，使得．‎ ‎【解析】（1）证明：因为点是菱形的对角线的交点，‎ 所以是的中点，‎ 又点是棱的中点，‎ 所以是的中位线，，‎ 因为平面平面，‎ 所以平面 ‎（2）解：由题意可知，，‎ 因为，所以，‎ 又因为菱形，所以，‎ 建立空间直角坐标系，如图所示，‎ 则，‎ 所以．　‎ 设平面的法向量为，‎ 则有，即，‎ 令，则，所以．‎ 因为，所以平面，‎ 平面的法向量与平行，‎ 所以平面的一个法向量为，‎ ‎，‎ 因为二面角的平面角是锐角 所以二面角的余弦值为 ‎（3）解：设，因为是线段上的一个动点，设，‎ 即，‎ 所以，‎ 则，‎ 由，得：，即，‎ 解得：‎ 所以点的坐标为 ‎12．（2017年全国1卷理）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且 ‎(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；‎ ‎(2)若PA=PD=AB=DC,,求二面角A-PB-C的余弦值.‎ ‎【解析】（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD.‎ 由于AB∥CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD.‎ 又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.‎ ‎（2）在平面内做，垂足为，‎ 由（1）可知，平面，故，可得平面.‎ 以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 由（1）及已知可得，，，.‎ 所以，，，.‎ 设是平面的法向量，则 ‎，即，‎ 可取.‎ 设是平面的法向量，则 ‎，即，‎ 可取.‎ 则，‎ 所以二面角的余弦值为.‎ B组 一、 选择题 ‎1、已知平面的法向量为,点不在内,则直线与平面的位置关系为 A． B．‎ C．与相交不垂直 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎,而点不在内,故 ‎2、在正方体中,若是的中点,则异面直线与所成角的大小是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 如图建系,设正方形棱长为2,则,,‎ 则,,∵,即,‎ 即异面直线与所成角为.‎ ‎3、空间四边形中,,,,点在上,且,点为中点,则等于（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意 ；又 ,,,．故选B．‎ ‎4、正四棱柱中，，则与平面所成角的正弦值等于（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 建立如图所示的空间直角坐标系，则，设为平面的一个法向量，则，取，设与平面所成的角为，则 图3‎ 二、填空题 ‎5、如图3，在棱长为的正方体内（含正方体表面）任取一点，则的概率 .‎ ‎【解析】由几何概型的计算公式得.‎ ‎6、在直三棱柱中,底面ABC为直角三角形,,. 已知Ｇ与Ｅ分别为和的中点,Ｄ与Ｆ分别为线段和 上的动点（不包括端点）. 若,则线段的长度的最小值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 建立直角坐标系,以Ａ为坐标原点,ＡＢ为ｘ轴,ＡＣ为ｙ轴,ＡＡ１为ｚ轴,则（‎ ‎）,,,（）.所以,.‎ 因为,所以,由此推出 .又,‎ ‎,从而有 .‎ 三、解答题 ‎7、如图，在三棱柱中，已知，，，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求二面角的余弦值.‎ ‎【解析】（1）连结，在中，‎ ‎∵‎ ‎∴.‎ 又，∴由勾股定理的逆定理，得为直角三角形.‎ ‎∴.‎ ‎∵，，,‎ ‎∴平面.‎ ‎∵平面 ‎∴‎ ‎（2）在中，∵,,则由勾股定理的逆定理，得为直角三角形，‎ ‎∴.‎ 以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 则，，，.‎ 设平面的法向量为.‎ 由.‎ 令，则平面的一个法向量为.‎ 设平面的法向量为.‎ 由.‎ 令，则平面的一个法向量为.‎ 设二面角的平面角为，易知为锐角.‎ ‎∴.‎ ‎8、如图，四棱锥中，底面是平行四边形，且平面 ‎，，与底面所成角为.‎ ‎（I）证明：平面平面；‎ ‎（II）求平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值. ‎ ‎【解析】（I） 底面是平行四边形，且, ‎ 又平面， ‎ ‎ ，面…‎ ‎ 平面平面 ‎ ‎（II）平面，与底面所成角为 在中， ‎ 在中， ‎ ‎ ，故 ， ‎ 设与相交于点，取的中点，连结，则 ‎ 平面，平面 以分别为轴方向建立空间直角坐标系，则 ， ,‎ ‎，， ‎ 设平面的法向量 ‎ 由 得 ，取 ，‎ 则 ‎ 故平面的一个法向量为 由 得 ，取 ，则 ‎ ‎ 平面的一个法向量 ‎ ‎ ‎ 设平面与平面所成二面角为，且因为为锐角.‎ ‎ ，即平面与平面所成二面角的余弦值为 ‎ ‎9、如图，在空间几何体中，平面平面，与都是边长为2的等边三角形，，点在平面上的射影在的平分线上，已知和平面所成角为.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【解析】证明：由题意知，与都是边长为2的等边三角形，取中点，连接，则.又∵平面平面，平面,作平面,那么，根据题意，点落在上，∵和平面所成角为，∴.∵，∴，∴四边形是平行四边形，∴.∵平面，平面，∴平面 ‎（2）由已知，两两互相垂直，故以为轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，得.‎ ‎∴,设平面的一个法向量为.‎ ‎∵,∴.令∴取 又∵平面的一个法向量，‎ ‎∴.‎ 又由图知，所求二面角的平面角为锐角，∴二面角的余弦值.‎ ‎10、如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，∥，，平面⊥底面，为的中点，是棱上的点，，，．‎ ‎（1）求证：平面⊥平面；‎ ‎（2）若二面角大小的为 ，求的长．‎ ‎【解析】（1）∵AD // BC，BC=AD，Q为AD的中点，‎ ‎∴四边形BCDQ为平行四边形， ∴CD // BQ (2分)‎ ‎∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD．‎ 又∵平面PAD⊥平面ABCD且平面PAD∩平面ABCD=AD，‎ ‎∴BQ⊥平面PAD．∵BQ平面MQB，∴平面MQB⊥平面PAD (5分)‎ ‎（2）∵PA=PD，Q为AD的中点， ∴PQ⊥AD．‎ ‎∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PQ⊥平面ABCD． (6分)‎ 如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．‎ 则，，，，‎ 由 ，且，得 所以 又，‎ ‎∴ 平面MBQ法向量为 由题意知平面BQC的法向量为 ‎∵二面角M-BQ-C为60° ∴，∴ ‎ ‎ ∴‎ ‎（C组）‎ 一、 选择题 ‎1、在空间直角坐标系中,已知.若分别是三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）‎ A． B．且 ‎ C．且 D．且 ‎【答案】D ‎ ‎【解析】‎ 三棱锥在平面上的投影为，所以，‎ 设在平面、平面上的投影分别为、，则在平面、上的投影分别为、，因为，，所以，‎ 故选D.‎ ‎2、已知棱长为2的正方体，是过顶点圆上的一点，为中点，则与面所成角余弦值的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，连结，交于点，过作的垂线交延长，交于，结合图形得与面所成角余弦值是与面所成角余弦值的最小值，过作的平行线交圆于，此时与面 所成角余弦值的取最大值，由此能求出与面所成角余弦值的取值范围．‎ ‎3、如图，正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且平面，则与平面所成角的正切值构成的集合是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 建立如图所示的空间直角坐标系,则,所以,设平面的法向量为,则由题设,即,令,则,所以由平面,则,即,也即,所以.因平面的法向量为,故与平面所成角的正弦值,正切值,令,则,所以,即,所以应选D. ‎ ‎4、在正三棱锥中，底面边长，侧棱，，分别是线段，上的动点（可以和端点重合），则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A. ‎ ‎【解析】如下图所示，设，，，，‎ ‎∴‎ ‎，∴当，时，‎ ‎，当，或时，，即的取值范围是，故选A.‎ 二、填空题 ‎5、直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M、N分别是A1B1、M N A C B z x y C1‎ B1‎ A1‎ A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为 ‎ ‎【解析】 如图，分别以C1B1，C1A1，C1C为x，y，z轴，建立坐标系，‎ 令CA＝2，则A（0，2，2），B（2，0，2），‎ M（1，1，0），N（0，1，0）．　∴　＝（－1，1，－2），‎ ‎＝（0，－1，－2）．‎ cos＝＝＝，‎ ‎6、如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为 .‎ ‎【解答】：（求解对照）以A为坐标原点，AB为轴，AQ为轴建立空间直角坐标系如图所示，设正方形的边长为2，则 设，其中，‎ ‎，‎ ‎，令，则 当，即M在Q时，取最大值.‎ 三、解答题 ‎7、三棱锥及其侧视图、俯视图如图所示．设，分别是线段，的中点，为线段上的点，且．‎ （1） 证明：为线段的中点；‎ （2） 求二面角的余弦值．‎ ‎【解析】（1）由三棱锥及其侧视图、俯视图知，在三棱锥中：‎ 平面平面，．设为的中点，连接，．于是，且，所以平面，进而．‎ 因为，分别为线段，的中点，所以，又，于是．‎ 假设不是线段的中点，则直线与直线是平面内相交直线，从而平面，这与矛盾．所以是线段的中点．‎ ‎（2）过作交于，因为，所以；又因为，所以即为二面角的平面角．连接，在中，，（其中），所以．‎ ‎8、如图，矩形中，（），将其沿翻折，使点到达点的位置，且二面角的直二面角.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）设是的中点，二面角的平面角的大小为，当时，求的取值范围.‎ ‎【解析】（Ⅰ）二面角为直二面角，‎ 平面 ‎ 平面 ‎ 平面平面 ‎ ‎（Ⅱ）解法1：如图，以为坐标原点，以长为一个单位长度，‎ 建立如图空间直角坐标系，‎ 则 ‎ 则 设平面的法向量为 则，取，则 ‎ 同理设平面的法向量为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解法2：过作于，过作于，连，则 则二面角的平面角为 ‎ 为的中点 ‎ ‎ 由，得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎9、如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，,为棱的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明:；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）若为中点，棱上是否存在一点，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. ‎ ‎【解析】（Ⅰ）证明：因为底面，‎ ‎　所以．‎ ‎　因为，‎ z y x E B C D A P ‎　所以.‎ 由于，‎ 所以有．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………………４分 ‎（Ⅱ）解：依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），‎ ‎　不妨设，可得，，，‎ ‎　.‎ 由为棱的中点，得. ‎ ‎　向量,.‎ ‎　设为平面的法向量，则即．‎ ‎　不妨令，可得（1,1,1）为平面的一个法向量.‎ 所以 .‎ ‎　所以，直线与平面所成角的正弦值为. ‎ ‎（Ⅲ）解：向量，，.‎ ‎　由点在棱上，设.‎ ‎　故 .‎ ‎　由，得，‎ ‎　因此，，解得.‎ 所以 . ‎ ‎10、如图1，在等腰梯形中，，，， 为中点，点分别为的中点．将沿折起到的位置，使得平面平面（如图2）．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）侧棱上是否存在点，使得平面? 若存在，求出的值；若不 存在，请说明理由．‎ ‎【解析】（Ⅰ）如图1，在等腰梯形中，‎ 由，，，为中点，‎ 所以为等边三角形．如图2,‎ ‎　‎ 因为为的中点，所以．‎ 又因为平面平面，‎ 且平面平面，‎ 所以平面，所以．‎ ‎（Ⅱ）连结，由已知得，又为的中点， ‎ ‎ 所以．‎ A1‎ xzX yzX zzX F O B C D E P 由（Ⅰ）知平面，‎ 所以，‎ 所以两两垂直．‎ 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系（如图）．‎ 因为，易知．‎ 所以，‎ 所以．‎ 设平面的一个法向量为， ‎ 由 得 即 ‎ 取，得．‎ 设直线与平面所成角为，‎ 则．‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为． ‎ ‎（Ⅲ）假设在侧棱上存在点，使得平面．‎ ‎ 设，．‎ 因为，‎ 所以．‎ 易证四边形为菱形，且，‎ 又由（Ⅰ）可知，，所以平面．‎ 所以为平面的一个法向量．‎ 由，得．‎ 所以侧棱上存在点，使得平面，且． ‎