【数学】2019届一轮复习人教A版理第7章第7节　第2课时　利用空间向量求空间角教案 10页

第2课时　利用空间向量求空间角 ‎(对应学生用书第123页)‎ 求异面直线所成的角 ‎　如图7715，四面体ABCD中，O是BD的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝.‎ 图7715‎ ‎(1)求证：AO⊥平面BCD；‎ ‎(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值．‎ ‎[解]　(1)证明：连接OC，由CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝，O是BD的中点，知CO＝，AO＝1，AO⊥BD．‎ 在△AOC中，AC2＝AO2＋OC2，‎ 则AO⊥OC．‎ 又BD∩OC＝O，‎ 因此AO⊥平面BCD．‎ ‎(2)如图建立空间直角坐标系Oxyz，则A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0，，0)，D(－1,0,0)，＝(1,0，－1)，＝(－1，－，0)，‎ 所以|cos〈，〉|＝＝.‎ 即异面直线AB与CD所成角的余弦值为.‎ ‎[规律方法]　利用向量法求异面直线所成的角的步骤 (1)选好基底或建立空间直角坐标系.‎ (2)求出两直线的方向向量v1，v2.‎ (3)代入公式|cos〈v1，v2〉|＝求解.‎ 易错警示：两异面直线所成角的范围是θ∈，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角.‎ ‎[跟踪训练]　(2017·湖南五市十校3月联考)有公共边的等边三角形ABC和BCD所在平面互相垂直，则异面直线AB和CD所成角的余弦值为________.‎ ‎【导学号：97190256】‎ 　[设等边三角形的边长为2.‎ 取BC的中点O，连接OA、OD，∵等边三角形ABC和BCD所在平面互相垂直，∴OA，OC，OD两两垂直，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 则A(0,0，)，B(0，－1,0)，C(0,1,0)，D(，0,0)，‎ ‎∴＝(0，－1，－)，＝(，－1,0)，‎ ‎∴cos〈，〉＝＝＝，‎ ‎∴异面直线AB和CD所成角的余弦值为.]‎ 求直线与平面所成的角 ‎　(2017·浙江高考)如图7716，已知四棱锥PABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB，E为PD的中点．‎ 图7716‎ ‎(1)证明：CE∥平面PAB；‎ ‎(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．‎ ‎[解]　(1)证明：如图，设PA的中点为F，连接EF，FB．‎ 因为E，F分别为PD，PA的中点，‎ 所以EF∥AD且EF＝AD．‎ 又因为BC∥AD，BC＝AD，‎ 所以EF∥BC且EF＝BC，‎ 所以四边形BCEF为平行四边形，所以CE∥BF.‎ 因为BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，‎ 所以CE∥平面PAB．‎ ‎(2)分别取BC，AD的中点M，N.‎ 连接PN交EF于点Q，连接MQ.‎ 因为E，F，N分别是PD，PA，AD的中点，‎ 所以Q为EF的中点．‎ 在平行四边形BCEF中，MQ∥CE.‎ 由△PAD为等腰直角三角形得PN⊥AD．‎ 由DC⊥AD，BC∥AD，BC＝AD，N是AD的中点得BN⊥AD．‎ 所以AD⊥平面PBN.‎ 由BC∥AD得BC⊥平面PBN，‎ 那么平面PBC⊥平面PBN.‎ 过点Q作PB的垂线，‎ 垂足为H，连接MH.‎ MH是MQ在平面PBC上的射影，‎ 所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角．‎ 设CD＝1.‎ 在△PCD中，由PC＝2，CD＝1，PD＝得CE＝，‎ 在△PBN中，由PN＝BN＝1，PB＝得QH＝，‎ 在Rt△MQH中，QH＝，MQ＝，‎ 所以sin∠QMH＝.‎ 所以，直线CE与平面PBC所成角的正弦值是.‎ ‎[规律方法]　(1)线面角范围，向量夹角范围为[0，π].‎ (2)线面角θ的正弦值等于斜线对应向量与平面法向量夹角余弦值的绝对值.即sin θ＝.‎ 即斜向量，n为平面法向量.‎ ‎[跟踪训练]　(2018·广州综合测试(二))如图7717 ，四边形ABCD是边长为a的菱形，∠BAD＝60°，EB⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，EB＝2FD＝a.‎ 图7717‎ ‎(1)求证：EF⊥AC；‎ ‎(2)求直线CE与平面ABF所成角的正弦值．‎ ‎[解]　(1)证明：连接BD，‎ 因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．‎ 因为FD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，‎ 所以AC⊥FD．‎ 因为BD∩FD＝D，所以AC⊥平面BDF.‎ 因为EB⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，‎ 所以EB∥FD．‎ 所以B，D，F，E四点共面．‎ 因为EF⊂平面BDFE，所以EF⊥AC．‎ ‎(2)法一：如图，以D为坐标原点，分别以，的方向为y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz.‎ 可以求得A，B，‎ F，C(0，a,0)，E.‎ 所以＝(0，a,0)，＝.‎ 设平面ABF的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则即 令x＝1，则平面ABF的一个法向量为n＝(1,0,1)．‎ 设直线CE与平面ABF所成角为θ，‎ 因为＝，‎ 所以sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝.‎ 所以直线CE与平面ABF所成角的正弦值为.‎ 法二：‎ 如图，设AC∩BD＝O，以O为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.‎ 可以求得A，B，C，E，F.‎ 所以＝.‎ ＝.‎ 设平面ABF的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则即 令x＝1，则平面ABF的一个法向量为n＝(1，，2)．‎ 设直线CE与平面ABF所成角为θ，‎ 因为＝，‎ 所以sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝.‎ 所以直线CE与平面ABF所成角的正弦值为.‎ 求二面角 ‎　(2017·全国卷Ⅰ)如图7718，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.‎ 图7718‎ ‎(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；‎ ‎(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角APBC的余弦值．‎ ‎[解]　(1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，‎ 得AB⊥AP，CD⊥PD．‎ 因为AB∥CD，所以AB⊥PD．‎ 又AP∩DP＝P，所以AB⊥平面PAD．‎ 因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．‎ ‎(2)在平面PAD内作PF⊥AD，垂足为点F.‎ 由(1)可知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PF，可得PF⊥平面ABCD．‎ 以F为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长度建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.‎ 由(1)及已知可得A，P，‎ B，C，‎ 所以＝，＝(，0,0)，‎ ＝，＝(0,1,0)．‎ 设n＝(x1，y1，z1)是平面PCB的一个法向量，则 即 所以可取n＝(0，－1，－)．‎ 设m＝(x2，y2，z2)是平面PAB的一个法向量，则 即 所以可取m＝(1,0,1)，则cos〈n，m〉＝＝＝－.‎ 所以二面角APBC的余弦值为－.‎ ‎[规律方法]　利用向量计算二面角大小的常用方法 (1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐(钝)二面角.‎ (2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.‎ ‎[跟踪训练]　(2018·福州质检)如图7719①，在等腰梯形PDCB中，PB∥DC，PB＝3，DC＝1，∠DPB＝45°，DA⊥PB于点A，将△PAD沿AD折起，构成如图7719②所示的四棱锥PABCD，点M在棱PB上，且PM＝MB．‎ 图①　　　　图②‎ 图7719‎ ‎(1)求证：PD∥平面MAC；‎ ‎(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角MACB的余弦值．‎ ‎[解]　(1)证明：连接BD交AC于点N，连接MN，‎ 依题意知AB∥CD，∴△ABN∽△CDN，‎ ‎∴＝＝2.‎ ‎∵PM＝MB，∴＝＝2，‎ ‎∴在△BPD中，MN∥DP.‎ 又PD⊄平面MAC，MN⊂平面MAC，‎ ‎∴PD∥平面MAC．‎ ‎(2)∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PA⊥AD，PA⊂平面PAD，‎ ‎∴PA⊥平面ABCD．‎ 又AD⊥AB，∴PA，AD，AB两两垂直．‎ 以A为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.‎ 依题意AP＝AD＝1，AB＝2，又PM＝MB，‎ ‎∴A(0,0,0)，B(0,2,0)，P(0,0,1)，M，C(1,1,0)，‎ ‎∴＝(0,0,1)，＝，＝(1,1,0)．‎ ‎∵PA⊥平面ABCD．‎ ‎∴取n1＝＝(0,0,1)为平面BAC的一个法向量．‎ 设n2＝(x，y，z)为平面MAC的法向量，‎ 则即 令x＝1，则y＝－1，z＝1，‎ ‎∴n2＝(1，－1,1)为平面MAC的一个法向量，‎ ‎∴cos〈n1，n2〉＝＝＝，‎ ‎∴二面角MACB的余弦值为.‎