2019届二轮复习（理）第九章平面解析几何专题探究课五学案（江苏专用） 11页

热点一　最值问题 ‎【例1－1】 已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称.‎ ‎(1)求实数m的取值范围；‎ ‎(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).‎ 解　(1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为 y＝－x＋b.由 消去y，得x2－x＋b2－1＝0.‎ 因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋＞0，①‎ 将AB中点M代入直线方程y＝mx＋解得b＝－②‎ 由①②得m＜－或m＞.即实数m的取值范围是∪.‎ ‎(2)令t＝∈∪，则 AB＝·.‎ 且O到直线AB的距离为d＝.‎ 设△AOB的面积为S(t)，‎ 所以S(t)＝AB·d＝ ≤.‎ 当且仅当t2＝时，等号成立.‎ 故△AOB面积的最大值为.‎ ‎【例1－2】 设椭圆＋＝1(a＞)的右焦点为F，右顶点为A.已知＋＝，其中O为原点，e为椭圆的离心率.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围.‎ 解　(1)设F(c，0)，由＋＝，‎ 即＋＝，可得a2－c2＝3c2.‎ 又a2－c2＝b2＝3，所以c2＝1，因此a2＝4.‎ 所以椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎(2)设直线l的斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y＝k(x－2).‎ 设B(xB，yB)，由方程组消去y，整理得(4k2＋3)x2－16k2x＋16k2－12＝0.‎ 解得x＝2或x＝.‎ 由题意得xB＝，‎ 从而yB＝.‎ 由(1)知F(1，0)，设H(0，yH)，‎ 有＝(－1，yH)，＝.‎ 由BF⊥HF，得·＝0，‎ 所以＋＝0，‎ 解得yH＝.‎ 因为直线MH的方程为y＝－x＋.‎ 设M(xM，yM)，由方程组消去y，‎ 解得xM＝.‎ 在△MAO中，∠MOA≤∠MAO⇔|MA|≤|MO|，‎ 即(xM－2)2＋y≤x＋y，化简得xM≥1，即≥1，‎ 解得k≤－或k≥.‎ 所以直线l的斜率的取值范围为∪.‎ 热点二　定点、定直线、定值问题 ‎【例2】 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，四点P1(1，1)，P2(0，1)，P3，P4中恰有三点在椭圆C上.‎ ‎(1)求C的方程；‎ ‎(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点.‎ ‎(1)解　由于点P3，P4关于y轴对称，‎ 由题设知C必过P3，P4.‎ 又由＋>＋知，椭圆C不经过点P1，‎ 所以点P2在椭圆C上.‎ 因此解得 故C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)证明　设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.‎ 如果直线l的斜率不存在，l垂直于x轴.‎ 设l：x＝m，A(m，yA)，B(m，－yA)，‎ k1＋k2＝＋＝＝－1，得m＝2，‎ 此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足.‎ 从而可设l：y＝kx＋m(m≠1).‎ 将y＝kx＋m代入＋y2＝1得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.‎ 由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)>0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ 则k1＋k2＝＋ ‎＝＋ ‎＝.‎ 由题设k1＋k2＝－1，‎ 故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.‎ ‎∴(2k＋1)·＋(m－1)·＝0.‎ 解之得m＝－2k－1，此时Δ＝32(m＋1)>0有解，‎ ‎∴当且仅当m>－1时，Δ>0，‎ ‎∴直线l的方程为y＝kx－2k－1，‎ 即y＋1＝k(x－2).‎ 当x＝2时，y＝－1，所以l过定点(2，－1).‎ 热点三　探索性问题 ‎【例3】 (2018·常州一模)已知圆C：(x－t)2＋y2＝20(t＜0)与椭圆E：＋＝1(a>b>0)的一个公共点为B(0，－2)，F(c，0)为椭圆E的右焦点，直线BF与圆C相切于点B.‎ ‎(1)求t的值及椭圆E的方程；‎ ‎(2)过点F任作与坐标轴都不垂直的直线l与椭圆交于M，N两点，在x轴上是否存在一定点P，使PF恰为∠MPN的平分线？‎ 解　(1)由题意知，b＝2，‎ ‎∵C(t，0)，B(0，－2)，∴BC＝＝，则t＝±4，‎ ‎∵t＜0，∴t＝－4.‎ ‎∵BC⊥BF，∴c＝1，则a2＝b2＋c2＝5.‎ ‎∴椭圆E的方程为＋＝1.‎ ‎(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，‎ 设l：y＝k(x－1)(k≠0)，代入＋＝1，化简得 ‎(4＋5k2)x2－10k2x＋5k2－20＝0.‎ ‎∴x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 若点P存在，设P(m，0)，由题意，kPM＋kPN＝0.‎ ‎∴＋＝＋＝0.‎ ‎∴(x1－1)(x2－m)＋(x2－1)(x1－m)＝0.‎ 即2x1x2－(1＋m)(x1＋x2)＋2m＝2·－(1＋m)·＋2m＝0.‎ ‎∴8m－40＝0，得m＝5.‎ 即在x轴上存在一定点P(5，0)，使PF恰为∠MPN的角平分线.‎ 一、必做题 ‎1.(2014·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.‎ ‎(1)若点C的坐标为，且BF2＝，求椭圆的方程；‎ ‎(2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值.‎ 解　设椭圆的焦距为2c，则F1(－c，0)，F2(c，0).‎ ‎(1)因为B(0，b)，所以BF2＝＝a.‎ 又BF2＝，故a＝.‎ 因为点C在椭圆上，‎ 所以＋＝1.‎ 解得b2＝1.故所求椭圆的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)因为B(0，b)，F2(c，0)在直线AB上，‎ 所以直线AB的方程为＋＝1.‎ 解方程组得 所以点A的坐标为.‎ 又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为.‎ 因为直线F1C的斜率为＝，直线AB的斜率为－，且F1C⊥AB，‎ 所以·＝－1.‎ 又b2＝a2－c2，整理得a2＝5c2.‎ 故e2＝.因此e＝.‎ ‎2.(2018·苏州一模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，并且过点P(2，－1)‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设点Q在椭圆C上，且PQ与x轴平行，过P点作两条直线分别交椭圆C于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若直线PQ平分∠APB，求证：直线AB的斜率是定值，并求出这个定值.‎ ‎(1)解　由＝，得＝＝，即a2＝4b2，‎ ‎∴椭圆C的方程可化为x2＋4y2＝4b2.‎ 又椭圆C过点P(2，－1)，‎ ‎∴4＋4＝4b2，得b2＝2，则a2＝8.‎ ‎∴椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)证明　由题意知，直线PA的斜率存在，故设直线PA的方程为y＋1＝k(x－2)，‎ 联立得(1＋4k2)x2－8(2k2＋k)x＋16k2＋16k－4＝0.‎ ‎∴2x1＝，即x1＝.‎ ‎∵直线PQ平分∠APB，即直线PA与直线PB的斜率互为相反数，‎ 设直线PB的方程为y＋1＝－k(x－2)，同理求得x2＝.‎ 又 ‎∴y1－y2＝k(x1＋x2)－4k.‎ 即y1－y2＝k(x1＋x2)－4k＝－4k＝－，x1－x2＝.‎ ‎∴直线AB的斜率为kAB＝＝＝－.‎ ‎3.(2018·宿迁调研)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且右焦点F到左准线的距离为6.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)设A为椭圆C的左顶点，P为椭圆C上位于x轴上方的点，直线PA交y轴于点M，过点F作MF的垂线，交y轴于点N.‎ ‎①当直线PA的斜率为时，求△FMN的外接圆的方程；‎ ‎②设直线AN交椭圆C于另一点Q，求△APQ的面积的最大值.‎ 解　(1)由题意，得 解得则b＝2，‎ 所以椭圆C的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)由题可设直线PA的方程为y＝k(x＋4)，k>0，‎ 则M(0，4k)，可得MF的斜率为kMF＝－k，‎ 因为MF⊥FN，所以直线FN的斜率kFN＝－＝，‎ 所以直线FN的方程为y＝(x－2)，则N.‎ ‎①当直线PA的斜率为，‎ 即k＝时，M(0，2)，N(0，－4)，F(2，0)，‎ 因为MF⊥FN，所以圆心为(0，－1)，半径为3，‎ 所以△FMN的外接圆的方程为x2＋(y＋1)2＝9.‎ ‎②联立消去y并整理得 ‎(1＋2k2)x2＋16k2x＋32k2－16＝0，‎ 解得x1＝－4或x2＝，‎ 所以P，‎ 直线AN的方程为y＝－(x＋4)，‎ 同理可得Q，‎ 所以P，Q关于原点对称，即PQ过原点.‎ 所以△APQ的面积S＝OA·(yP－yQ)＝2× ‎＝≤8，当且仅当2k＝，即k＝时，取等号.‎ 所以△APQ的面积的最大值为8.‎ ‎4.(2017·苏、锡、常二模)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a>b ‎>0)的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A.‎ ‎(1)求该椭圆的方程；‎ ‎(2)过点D(，－)作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值.‎ 解　(1)由题意可知椭圆的焦点在x轴上，2c＝2，c＝1，‎ 椭圆的离心率e＝＝，则a＝，b2＝a2－c2＝1，‎ 则椭圆的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)证明　设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，A(，0)，‎ 由题意PQ的方程：y＝k(x－)－，‎ 则整理得(2k2＋1)x2－(4k2＋4k)x＋4k2＋8k＋2＝0，‎ 由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝，‎ 则y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k－2＝，‎ 则kAP＋kAQ＝＋ ‎＝，‎ 由y1x2＋y2x1＝[k(x1－)－]x2＋[k(x2－)－]x1‎ ‎＝2kx1x2－(k＋)(x1＋x2)＝－，‎ kAP＋kAQ＝ ‎＝＝1，‎ ‎∴直线AP，AQ的斜率之和为定值1.‎