数学理卷·2018届广东省清远市高二上学期期末教学质量检测（2017-01） 195页

广东省清远市 2016—2017 学年度第一学期期末教学质量检测 高二理科数学试卷 本试卷共 4 页，共 22 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。 第一卷（选择题，共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题,每小题 5 分。共 60 分。每小题只有一个选项是符合题目要 求的，请把正确答案的代号填入答题卡中。） 1．命题 P:2016≤2017，则下列关于命题 P 说法正确的是. A．命题 P 使用了逻辑联结词“或”，是假命题 B．命题 P 使用了逻辑联结词“且”，是假命题 C．命题 P 使用了逻辑联结词“非”，是假命题 D．命题 P 使用了逻辑联结词“或”，是真命题 2．已知 ，且 ，则下列不等式一定成立的是 A． B． C． D． 3．某学校高二年级共有编号为 1 班,2 班,3 班, ,10 班等 10 个班,每个班均有 50 个学生,现 在需要用系统抽样的方法从每个班中抽取 1 人,得到一个容量为 10 的样本.首先,在给全 体学生编号时,规定从 1 班到 10 班,各个学生的编号从小到大,即按 1 班从 001 到 050,2 班从 051 到 100,3 班从 101 到 150, ,以此类推,一直到 10 班的 50 个学生编号为 451 到 500.若用简单随机抽样的方法从 1 班抽到的编号为 6 号,则 在 6 班中应抽取学生的编号为 A．12 B．56 C．256 D．306 4．执行如右图所示的程序框图，输出的 S 值为 A．16 B．8 C．4 D．2 5．如图是 2016 年某校在元旦文艺晚会上，七位评委为某同学舞蹈打 出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数 据的平均数和方差分别为 A． ， B． ， C． ， D． ， 6．设 ,则满足 的概率为 A． B． C． D． 7 ． 已 知 （ ） ， 且 ,则 A． B． C． D． 8．已知命题 是 的充分不必要条件;命题 若数列 的前 项和 , Rcba ∈,, 0a b> > 1 1 a b > 2 1a b− < 11 22 +>+ c b c a lg( ) 0a b− >   84 4.84 84 1.6 85 1.6 85 4 [ ]1,0, ∈yx 21 xy −> 41 π− 2 1 4 π 8 π 01 >>>>> knem ……7.2为自然数e eznymx k e log,ln, 1 === zyx >> yzx >> zxy >> xzy >> :p xx >2 1>x :q { }na n 2nSn = 那么数列 是等差数列.则下列命题是真命题的是 A． B． C． D． 9．如图，OABC 是四面体，G 是△ABC 的重心，G1是OG 上一点，且OG=3OG1，则 A． B． C． D． 10．已知直线 l: ,双曲线 ,抛物线 ,直线 l 与 相交于 A,B 两点,与 交于 C,D 两点,若线段 AB 与 CD 的中点相同,则双曲线 的离心率为 A． B． C． D． 11．已知四面体 ABCD 各棱长都等于 1，点 E，F 分别是 AB，CD 的中点，则异面直线 AF 与 CE 所成角的余弦值为 A． B． C． D． 12．下列四个关于圆锥曲线的命题，正确的是 ①从双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于它的虚半轴长； ②已知 M(-2，0)、N(2，0)，|PM|+|PN|=3，则动点 P 的轨迹是一条线段； ③关于 的方程 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心 率； ④双曲线 与椭圆有共同的焦点. A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 第二卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡的横线上） 13．甲，乙，丙，丁 4 名学生按任意次序站成一排，则事件“甲站在两端”的概率是 ______ . 14．已知抛物线 y2＝2px(p>0)的过焦点的弦为 AB，且|AB|＝6， 是点 A 的横 坐标， { }na ( )qp ¬∨ qp ∨ qp ∧ ( ) ( )qp ¬∧¬ OCOBOAOG ++=1 OCOBOAOG 3 1 3 1 3 1 1 ++= OCOBOAOG 4 3 4 3 4 3 1 ++= OCOBOAOG 9 1 9 1 9 1 1 ++= 1−= xy 1: 2 2 2 2 1 =− b y a xc xyc 2: 2 2 = 1c 2c 1c 2 6 2 3 15 3 3 2− 3 2 3 1− 3 1 x 2 1 0x mx− + = ( )20 ≠> 且m A B C O ·G G1 · O 是 B 点的横坐标，又 ＝2，则 p＝ . 15．设变量 满足约束条件： ,则目标函数的最小值为 时实数的取值范围是______________. 16．函数 的最小值是 . 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 17．（本小题满分 10 分） 设 命 题 , 命 题 ,若是真命题,求实数的取值范围. 18．（本小题满分 12 分） 设函数 ，其中， ． （1）求函数的单调增区间； （ 2 ） 在 中 ， 、 、 分别是角、、的对边，，，，求 的面积． 19．（本小题满分 12 分） 某航运公司有 6 艘可运载 30 吨货物的 A 型货船与 5 艘可运载 50 吨货物的 B 型货船，现 有每天至少运载 900 吨货物的任务，已知每艘货船每天往返的次数为 A 型货船 4 次和 B 型货 船 3 次，每艘货船每天往返的成本费为 A 型货船 160 元，B 型货船 252 元，那么，每天派出 A 型 货 船 和 B 型 货 船 各 多 少 艘 ， 公 司 所 花 的 成 本 费 最 低 ？ 20．（本小题满分 12 分） 某校从高二年级学生中随机抽取 名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分 （分数）0 40 50 60 70 80 90 100 频率 组距 0.010 0.005 0.020 0.025 a 100 分，成绩均为不低于分的整数）分成六段：，，…，后得到如下图的频率分布直方图． （ 1 ） 求 图 中 实 数 的值； （ 2 ） 若 该 校 高 二 年 级 共 有 学 生 人 ， 试 估 计 该 校 高 二 年 级 期 中 考 试 数 学 成 绩 不 低 于 分的人数； （ 3 ） 若 从 样 本 中 随 机 选 取 数 学 成 绩 在 与 两 个 分 数 段 内 的 两 名 学 生 ， 求 这 两 名 学 生 的 数 学 成 绩 之 差 的 绝 对 值 大 于 的概率． 21．（本小题满分 12 分） 如 图 ， 斜 三 棱 柱 的 底 面 是 直 角 三 角 形 ， ， M 是 的 中 点 ， 且 , 平 面 ⊥ 平 面 ， ． （1）求证：平面平面 ； M B 1 C1 A 1 C B A （2）求二面角 的余弦值. 22．（本小题满分 12 分） 如图，椭圆 ,动圆 .点 A1,A2 分别为 C0 的左，右顶点，C1 与 C0 相交于 A，B，C，D 四点. （ 1 ） 若 C1 经 过 C0 的 焦 点 , 且 C0 离 心 率 为 ,求DOC 的大小; （2）设动圆 与 C0 相交于 四点，其中 . 若 ,证明：矩形 ABCD 与矩形的面积相等. 清远市 2016—2017 学年度第一学期期末教学质量检测 高二理科数学参考答案 二、选择题：DCCBC AABDA BB 三、填空题: 13. 14. 4 15. 16. 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 17.（本题满分 10 分） 设命题 ,命题 ,若 是真命题,求 实数的取值范围. 【 解 】 若 真 , 则 有 , …………2 分 即 . ………3 分 ∴ : ………4 分 若真,由, ……………5 分 得 . ……………6 分 解法一： 由 是真命题,得以下三种情况: (1)与 都是真命题,这时符合条件的实数 ; ……………7 分 (2)是 真 命 题 , 是假命题,这时有; ……………8 分 (3)是 假 命 题 , 是真命题,这时不存在符合条件的实数. ……………9 分 综 上 所 述 , 实 数 的 取 值 范 围 是 . ……………10 分 解法二： 由是真命题,即 ……………7 分 由 和 取并集 ……………8 分 得 实 数 的 取 值 范 围 是 ……………10 分 注：其他解法请参照给分。 18.（本小题满分 12 分） 设函数，其中， ． ⑴求函数的单调增区间； ⑵ 在 中 ， 、 、 分别是角、、的对边，，，，求 的面积． ⑴ ……2 分， ……3 分， ……4 分， 当 即时， 单调增加……………………………………………………5 分 所 以 的 单 调 增 区 间 是 （包含或不包含区间端点均可，但要前后一致）． ……6 分 ⑵， ………………………7 分 得 ， …………………………8 分 由余弦定理得 …10 分 解…10 分， 得 ……………………11 分 所 以 的 面 积 为 ………………12 分 19.（本题满分 12 分） 某航运公司有 6 艘可运载 30 吨货物的 A 型货船与 5 艘可载 50 吨货物的 B 型货船，现有 每天至少运载 900 吨货物的任务，已知每艘货船每天往返的次数为 A 型货船 4 次和 B 型货船 3 次，每艘货船每天往返的成本费为 A 型货船 160 元，B 型货船 252 元，那么，每天派出 A 型货船和 B 型货船各多少艘，公司所花的成本费最低？ 【 解 】 设 每 天 派 出 A 型 货 船 和 B 型 货 船 分 别 为 艘 和 艘，成本为元，则 … ………4 分 目标函数为。…………6 分 满足的可行域如图所示△CDE……8 分 把 变 为 则 得 到 是 斜 率 为 ， 在 轴 上 的 截 距 为 ，随 变化的一族平行直线。…9 分 在可行域的整点中，点 E（5，2）使得取得最小值。 ………11 分 所以，每天派出 A 型货船 5 艘，B 型货船 2 艘，公司所花的成本费最小，最低成本为 1304 元。 …………12 分 （分数）0 40 50 60 70 80 90 100 频率 组距 0.010 0.005 0.020 0.025 a 20．（满分 12 分）某校从高二年级学生中随机 抽取名学生，将他们的期中考试数学成绩（满 分 100 分，成绩均为不低于分的整数）分成六段：，，…，后得到如下图的频率分布直方 图． （ 1 ） 求 图 中 实 数 的值； （ 2 ） 若 该 校 高 二 年 级 共 有 学 生 人 ， 试 估 计 该 校 高 二 年 级 期 中 考 试 数 学 成 绩 不 低 于 分的人数； （ 3 ） 若 从 数 学 成 绩 在 与两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值大于 的概率． 解：（1）由于图中所有小矩形的面积之和等于 1， 所以 ． …………2 分 解 得 ． …………………………………………………………3 分 （2）根据频率分布直方图，成绩不低于 60 分的频率为 =0.85． ………4 分 由于该校高二年级共有学生 640 人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高二年级数 学成绩不低于 60 分的人数约为 640×0.85=544 人． ……………………6 分 （如果没有：“利用样本估计总体的思想，可估计”则扣 1 分） （3）成绩在分数段内的人数为人， ……………… 7 分 成 绩 在 分 数 段 内 的 人 数 为 人， …………………8 分 若 从 这 6 名 学 生 中 随 机 抽 取 2 人 ， 则 总 的 取 法 有 ………… 9 分 如 果 两 名 学 生 的 数 学 成 绩 都 在 分数段内或都在分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于 10.如果一 个 成 绩 在 分数段内，另一个成绩在分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于 10．………… 10 分 则 所 取 两 名 学 生 的 数 学 成 绩 之 差 的 绝 对 值 大 于 10 分 的 取 法 数 为 ……11 分 所以所求概率为． ………………………………………………12 分 21. （本小题共 12 分）如图，斜三棱柱的底面 是 直 角 三 角 形 ， ， M 是 的 中 点 ， 且 M B 1 C1 A 1 C B A , 平 面 ⊥ 平 面 ， ． （1）求证：平面平面 ； （2）求二面角 的余弦值. （ 1 ） 证 ∵ , 平 面 ⊥ 平 面 于 ， ∴ . ……………………1 分 平面， . ……………………2 分 ，∴.……………3 分 ， ∴平面. ……………4 分 平 面 ， 平面平面 . ………………5 分 （ 2 ） 解 法 一 ： 有 （ 1 ） 知 平 面 ABC ， 以 为 原 点 ， 过 平 行 于 的 直 线 为 轴 ， 所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设 ，由题意可知， . 设 M ， 由 ， 得 设 平 面 的 法 向 量 为 . 则 ∴ . 设 平 面 的 法 向 量 为 .则 ∴ . ………………………………………10 分 . ………………………………………11 分 二面角的余弦值为 ………………………12 分 解法二：连接， 平面， 是 M H B 1 C1 A 1 C B A 直 线 在平面 上的射影. ， 四 边 形 是菱形. . . …………………6 分 过 点 作 交 于 点 ，连接 . ， 平 面 . . 是 二 面 角 的平面角. ………………………7 分 设 ， 则 ， . . . . ………………………8 分 平 面， 平面 ， . . 在 中，可求. ………………………9 分 ∵ ， ∴ . ∴ . ………………………10 分 . ………………………11 分 ∴ 二 面 角 的 余 弦 值 为 . ………………………12 分 22. （本小题满分 12 分） 如 图 ， 椭 圆 , 动 圆 ， .点 A1,A2 分别为 C0 的左，右顶点，C1 与 C0 相交于 A，B，C，D 四点. (1) 若 C1 经 过 C0 的 焦 点 , 且 C0 离 心 率 为 ,求DOC 的大小; (2) 设 动 圆 与 C0 相 交 于 四 点 ， 其 中 。 若 ，证明：矩形 ABCD 与矩形的面积相等. 【解析】(1)设 ，则 …………1 分 …………2 分 即 …………3 分 依题意,,得 …………4 分 故 DOC= . …………5 分 （ 2 ） 设 ,矩形 ABCD 与矩形的面积分别为 则, …………6 分 , …………7 分 又, …………8 分 即 , 即 …………9 分 …………10 分 …………11 分 , 即 矩 形 ABCD 与 矩 形 的面积相等. …………12 分