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  • 2021-06-10 发布

数学卷·2018届浙江省杭州市七校联考高二上学期期中数学试卷 (解析版)

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‎2016-2017学年浙江省杭州市七校联考高二(上)期中数学试卷 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共18小题,每小题3分,共54分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.不等式x(x﹣1)>0的解集是(  )‎ A.(﹣∞,0) B.(0,1) C.(1,+∞) D.(﹣∞,0)∪(1,+∞)‎ ‎2.已知数列,…是这个数列的第(  )项.‎ A.10 B.11 C.12 D.21‎ ‎3.一个正方体的体积是8,则这个正方体的内切球的表面积是(  )‎ A.8π B.6π C.4π D.π ‎4.若关于x的不等式mx+2>0的解集是{x|x<2},则实数m等于(  )‎ A.﹣1 B.﹣2 C.1 D.2‎ ‎5.已知数列{an}为等差数列,首项a1=1,公差d=2,则a5=(  )‎ A.6 B.9 C.25 D.31‎ ‎6.已知a,b是异面直线,直线c∥a,那么c与b(  )‎ A.一定是异面 B.一定是相交直线 C.不可能是相交直线 D.不可能是平行直线 ‎7.下列结论成立的是(  )‎ A.若ac>bc,则a>b B.若a>b,则a2>b2‎ C.若a>b,c<d,则a+c>b+d D.若a>b,c>d,则a﹣d>b﹣c ‎8.下列结论中正确的是(  )‎ A.若a>0,则(a+1)(+1)≥2 B.若x>0,则lnx+≥2‎ C.若a+b=1,则a2+b2≥ D.若a+b=1,则a2+b2≤‎ ‎9.设α为平面,a、b为两条不同的直线,则下列叙述正确的是(  )‎ A.若a∥α,b∥α,则a∥b B.若a⊥α,a∥b,则b⊥α C.若α∥β,a⊂α,b⊂β则a∥b D.若a∥α,a⊥b,则b⊥α ‎10.在等比数列{an}中,已知a4=3a3,则+++…+=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1点E,F,G分别是DD1,AB,CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成的角是(  )‎ A.90° B.60° C.45° D.30°‎ ‎12.已知某锥体的正视图和侧视图如图,其体积为,则该锥体的俯视图可以是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎13.四面体的六条棱中,有五条棱长都等于a,则该四面体的体积的最大值为(  )‎ A. a3 B. a3 C. a3 D. a3‎ ‎14.已知正项等比数列{an}满足:a7=a6+2a5,若存在两项am,an,使得aman=16a12,则+的最小值为(  )‎ A. B. C. D.不存在 ‎15.如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,E,F是线段B1D上的两个动点,且EF=,则下列结论错误的是(  )‎ A.AC⊥BF B.直线AE、BF所成的角为定值 C.EF∥平面ABC D.三棱锥A﹣BEF的体积为定值 ‎16.设函数f(x)=x2﹣4x+3,若f(x)≥mx对任意的实数x≥2都成立,则实数m的取值范围是(  )‎ A.[﹣2﹣4,﹣2+4] B.(﹣∞,﹣2﹣4]∪[﹣2+4,+∞)‎ C.[﹣2+4,+∞) D.(﹣∞,﹣]‎ ‎17.已知数列{an}的通项公式为,则数列{an}(  )‎ A.有最大项,没有最小项 B.有最小项,没有最大项 C.既有最大项又有最小项 D.既没有最大项也没有最小项 ‎18.已知关于x的不等式x2+bx+c<0(ab>1)的解集为空集,则T=+的最小值为(  )‎ A. B.2 C. D.4‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4小题,共7空,每空4分,共28分.‎ ‎19.一个简单几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,俯视图是等腰直角三角形,则该几何体的体积为  ,表面积为  .‎ ‎20.已知数列{an}是公差不为零的等差数列,Sn为其前n项和,且a2=3,又a4、a5、a8成等比数列,则an  ,使Sn最大的序号n的值  .‎ ‎21.若x>0,y>0,且+=1,则x+3y的最小值为  ;则xy的最小值为  .‎ ‎22.如图,在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点E,F分别是棱BC,CC1的中点,P是侧面BCC1B1内一点,若A1P∥平面AEF,则线段A1P长度的取值范围是  .‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共3小题,共38分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎23.已知f(x)=ax2+x﹣a,a∈R ‎(1)若a=1,解不等式f(x)≥1;‎ ‎(2)若a<0,解不等式f(x)>1.‎ ‎24.如图,四棱锥S﹣ABCD中,△ABD是正三角形,CB=CD,SC⊥BD.‎ ‎(Ⅰ)求证:SB=SD;‎ ‎(Ⅱ)若∠BCD=120°,M为棱SA的中点,求证:DM∥平面SBC.‎ ‎25.各项均为正数的数列{an}中,a1=1,Sn是数列{an}的前n项和,对任意n∈N*,有2Sn=2pan2+pan﹣p(p∈R)‎ ‎(1)求常数p的值;‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(3)记bn=,求数列{bn}的前n项和T.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年浙江省杭州市七校联考高二(上)期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共18小题,每小题3分,共54分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.不等式x(x﹣1)>0的解集是(  )‎ A.(﹣∞,0) B.(0,1) C.(1,+∞) D.(﹣∞,0)∪(1,+∞)‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法.‎ ‎【分析】可以先求出方程x(x﹣1)=0的根,根据一元二次不等式的解法,进行求解;‎ ‎【解答】解:x(x﹣1)=0,可得x=1或0,‎ 不等式x(x﹣1)>0,‎ 解得{x|x>1或x<0},‎ 故选D ‎ ‎ ‎2.已知数列,…是这个数列的第(  )项.‎ A.10 B.11 C.12 D.21‎ ‎【考点】数列的概念及简单表示法.‎ ‎【分析】可根据数列前几项找规律,求出数列的通项公式,再让数列的第n项等于,即可求出.‎ ‎【解答】解:根据数列前几项,可判断数列的通项公式为an=,假设为数列的第n项,则,‎ 解得,n=11‎ 故选B ‎ ‎ ‎3.一个正方体的体积是8,则这个正方体的内切球的表面积是(  )‎ A.8π B.6π C.4π D.π ‎【考点】棱柱的结构特征;球的体积和表面积.‎ ‎【分析】求出正方体的棱长,然后求出内切球的半径,即可求出内切球的表面积.‎ ‎【解答】解:正方体的体积为8,故边长为2,内切球的半径为1,则表面积S=4πR2=4π,‎ 故选C ‎ ‎ ‎4.若关于x的不等式mx+2>0的解集是{x|x<2},则实数m等于(  )‎ A.﹣1 B.﹣2 C.1 D.2‎ ‎【考点】其他不等式的解法.‎ ‎【分析】根据题意、一元一次不等式与一元一次方程的关系,列出方程求出m的值.‎ ‎【解答】解:∵不等式mx+2>0的解集是{x|x<2},‎ ‎∴方程mx+2=0的解是2,‎ 则2m+2=0,解得m=﹣1,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎5.已知数列{an}为等差数列,首项a1=1,公差d=2,则a5=(  )‎ A.6 B.9 C.25 D.31‎ ‎【考点】等差数列的通项公式.‎ ‎【分析】直接利用等差数列的通项公式得答案.‎ ‎【解答】解:在等差数列{an}中,由首项a1=1,公差d=2,‎ 得a5=a1+4d=1+4×2=9.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎6.已知a,b是异面直线,直线c∥a,那么c与b(  )‎ A.一定是异面 B.一定是相交直线 C.不可能是相交直线 D.不可能是平行直线 ‎【考点】空间中直线与直线之间的位置关系.‎ ‎【分析】直线b和c有可能在同一平面上,则相交;也有可能不在同一平面上,则异面;如果b∥c,则a∥b与已知矛盾.‎ ‎【解答】解:∵直线a与b是异面直线,直线c∥a,‎ ‎∴直线b和c有可能在同一平面上,也有可能不在同一平面上,‎ 如果b和c在同一平面上的话,二者的位置关系为相交;‎ 如果b和c不在同一平面上,二者的位置关系为异面.‎ 如果b∥c,则a∥b与已知a,b是异面直线矛盾;‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎7.下列结论成立的是(  )‎ A.若ac>bc,则a>b B.若a>b,则a2>b2‎ C.若a>b,c<d,则a+c>b+d D.若a>b,c>d,则a﹣d>b﹣c ‎【考点】不等关系与不等式.‎ ‎【分析】A.当c<0时,不成立;‎ B.取a=﹣1,b=﹣2即可判断出;‎ C.由a>b,c<d,可得a﹣c>b﹣d;‎ D.利用不等式的基本性质即可判断出.‎ ‎【解答】解:对于A.当c<0时,不成立;‎ 对于B.取a=﹣1,b=﹣2,不成立;‎ 对于C.∵a>b,c<d,∴a﹣c>b﹣d,因此不成立;‎ 对于D.∵c>d,∴﹣d>﹣c,又a>b,∴a﹣d>b﹣c,因此成立.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎8.下列结论中正确的是(  )‎ A.若a>0,则(a+1)(+1)≥2 B.若x>0,则lnx+≥2‎ C.若a+b=1,则a2+b2≥ D.若a+b=1,则a2+b2≤‎ ‎【考点】简单线性规划.‎ ‎【分析】根据基本不等即可求出判断.‎ ‎【解答】解:对于A:(a+1)(+1)=1+1+a+≥2+2=4,故A不正确,‎ 对于B,当0<x<1时,lnx+<0,故B不正确,‎ ‎∵a+b=1,则a2+b2≥=,当且仅当a=b=,故C正确,D不正确,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎9.设α为平面,a、b为两条不同的直线,则下列叙述正确的是(  )‎ A.若a∥α,b∥α,则a∥b B.若a⊥α,a∥b,则b⊥α C.若α∥β,a⊂α,b⊂β则a∥b D.若a∥α,a⊥b,则b⊥α ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.‎ ‎【分析】在A中,a与b相交、平行或异面;在B中,由线面垂直的判定定理得b⊥α;在C中,a与b平行或异面;在D中,b与α相交、平行或b⊂α.‎ ‎【解答】解:由α为平面,a、b为两条不同的直线,知:‎ 在A中,若a∥α,b∥α,则a与b相交、平行或异面,故A错误;‎ 在B中,若a⊥α,a∥b,则由线面垂直的判定定理得b⊥α,故B正确;‎ 在C中,若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b平行或异面,故C错误;‎ 在D中,若a∥α,a⊥b,则b与α相交、平行或b⊂α,故D错误.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎10.在等比数列{an}中,已知a4=3a3,则+++…+=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】等比数列的性质.‎ ‎【分析】设等比数列{an}的公比为q,由a4=3a3,可得q=3,可得+++…+=q+q2+q3+…+qn,再利用等比数列的前n项和公式即可得出.‎ ‎【解答】解:设等比数列{an}的公比为q,‎ ‎∵a4=3a3,‎ ‎∴q=3,‎ ‎∴+++…+=q+q2+q3+…+qn===.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎11.如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1点E,F,G分别是DD1,AB,CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成的角是(  )‎ A.90° B.60° C.45° D.30°‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角.‎ ‎【分析】异面直线所成的角通过平移相交,找到平面角,转化为平面三角形的角求解,由题意:E,F,G分别是DD1,AB,CC1的中点,连接B1G,FB1,那么∠FGB1就是异面直线A1E与GF所成的角.‎ ‎【解答】解:由题意:ABCD﹣A1B1C1D1是长方体,E,F,G分别是DD1,AB,CC1的中点,连接B1G,‎ ‎∵A1E∥B1G,‎ ‎∴∠FGB1为异面直线A1E与GF所成的角.‎ 连接FB1,‎ 在三角形FB1G中,AA1=AB=2,AD=1,‎ B1F==‎ B1G==,‎ FG==,‎ B1F2=B1G2+FG2.‎ ‎∴∠FGB1=90°,‎ 即异面直线A1E与GF所成的角为90°.‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎12.已知某锥体的正视图和侧视图如图,其体积为,则该锥体的俯视图可以是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】简单空间图形的三视图.‎ ‎【分析】由已知中锥体的正视图和侧视图,可得锥体的高为,结合锥体的体积为,可得其底面积为2,进而可得答案.‎ ‎【解答】解:∵锥体的正视图和侧视图均为边长为2的等边三角形,‎ 故锥体的高为,‎ 又∵锥体的体积为,‎ 故锥体的底面面积为2,‎ A中图形的面积为4,不满足要求;‎ B中图形的面积为π,不满足要求;‎ C中图形的面积为2,满足要求;‎ D中图形的面积为,不满足要求;‎ 故选:C ‎ ‎ ‎13.四面体的六条棱中,有五条棱长都等于a,则该四面体的体积的最大值为(  )‎ A. a3 B. a3 C. a3 D. a3‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.‎ ‎【分析】由已知中一个四面体有五条棱长都等于2,我们易得该四面体必然有两个面为等边三角形,我们根据棱锥的几何特征,分析出当这两个平面垂直时,该四面体的体积最大,将相关几何量代入棱锥体积公式,即可得到答案.‎ ‎【解答】解:若一个四面体有五条棱长都等于a,‎ 则它必然有两个面为等边三角形,如下图 由图结合棱锥的体积公式,‎ 当这两个平面垂直时,底面积是定值,高最大,‎ 故该四面体的体积最大,‎ 此时棱锥的底面积S=×a2×sin60°=,‎ 棱锥的高h=,‎ 则该四面体的体积最大值为V=×a2×=.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎14.已知正项等比数列{an}满足:a7=a6+2a5,若存在两项am,an,使得aman=16a12,则+的最小值为(  )‎ A. B. C. D.不存在 ‎【考点】基本不等式;等比数列的通项公式.‎ ‎【分析】应先从等比数列入手,利用通项公式求出公比q,然后代入到aman=16a12中,可得到关于m,n的关系式,再利用基本不等式的知识解决问题.‎ ‎【解答】解:设正项等比数列{an}的公比为q,易知q≠1,由a7=a6+2a5,得到a6q=a6+2,解得q=﹣1或q=2,‎ 因为{an}是正项等比数列,所以q>0,因此,q=﹣1舍弃.‎ 所以,q=2‎ 因为aman=16a12,所以,所以m+n=6,(m>0,n>0),‎ 所以≥,‎ 当且仅当m+n=6,即m=2,n=4时等号成立.‎ 故选A ‎ ‎ ‎15.如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,E,F是线段B1D上的两个动点,且EF=,则下列结论错误的是(  )‎ A.AC⊥BF B.直线AE、BF所成的角为定值 C.EF∥平面ABC D.三棱锥A﹣BEF的体积为定值 ‎【考点】异面直线及其所成的角.‎ ‎【分析】通过直线AC垂直平面平面BB1D1D,判断A是正确的;通过直线EF垂直于直线AB1,AD1,判断A1C⊥平面AEF是正确的;计算三角形BEF 的面积和A到平面BEF的距离是定值,说明C是正确的;只需找出两个特殊位置,即可判断D是不正确的;综合可得答案.‎ ‎【解答】解:∵在正方体中,AC⊥BD,∴AC⊥平面B1D1DB,又BE⊂平面BB1D1D,∴AC⊥BE,故A正确;‎ ‎∵当点E在D1处,F为D1B1的中点时,异面直线AE,BF所成的角是∠OEB,当E在上底面的中心时,F在C1的位置,异面直线AE,BF所成的角是∠OE1B,显然两个角不相等,B不正确;‎ ‎∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1,EF⊂平面A1B1C1D1,∴EF∥平面ABCD,故C正确;‎ ‎∵由于点B到直线B1D1的距离不变,故△BEF的面积为定值.又点A到平面BEF的距离为,故VA﹣BEF为定值.D正确;‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎16.设函数f(x)=x2﹣4x+3,若f(x)≥mx对任意的实数x≥2都成立,则实数m的取值范围是(  )‎ A.[﹣2﹣4,﹣2+4] B.(﹣∞,﹣2﹣4]∪[﹣2+4,+∞)‎ C.[﹣2+4,+∞) D.(﹣∞,﹣]‎ ‎【考点】函数恒成立问题;二次函数的性质.‎ ‎【分析】若f(x)≥mx对任意的实数x≥2都成立,则m≤x+﹣4对任意的实数x≥2都成立,由对勾函数的图象和性质,可得答案.‎ ‎【解答】解:若f(x)≥mx对任意的实数x≥2都成立,‎ 则m≤x+﹣4对任意的实数x≥2都成立,‎ 由对勾函数的图象和性质,可得 y=x+,(x≥2)在x=2时,取最小值,‎ 故m≤﹣4=﹣,‎ 即实数m的取值范围是(﹣∞,﹣],‎ 故选:D ‎ ‎ ‎17.已知数列{an}的通项公式为,则数列{an}(  )‎ A.有最大项,没有最小项 B.有最小项,没有最大项 C.既有最大项又有最小项 D.既没有最大项也没有最小项 ‎【考点】数列的函数特性.‎ ‎【分析】把数列的通项公式看作函数解析式,令,换元后是二次函数解析式,内层是指数函数,由指数函数的性质可以求出t的大致范围,在求出的范围内分析二次函数的最值情况.‎ ‎【解答】解:‎ 令,则t是区间(0,1]内的值,而=,‎ 所以当n=1,即t=1时,an取最大值,使最接近的n的值为数列{an}中的最小项,‎ 所以该数列既有最大项又有最小项.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎18.已知关于x的不等式x2+bx+c<0(ab>1)的解集为空集,则T=+的最小值为(  )‎ A. B.2 C. D.4‎ ‎【考点】基本不等式;一元二次不等式的应用.‎ ‎【分析】由题意得:,,得.利用此式进行代换,将T化成,令ab﹣1=m,则m>0,利用基本不等式即可求出T的最小值.‎ ‎【解答】解:由题意得:,,‎ 得.‎ ‎∴,‎ 令ab﹣1=m,则m>0,‎ 所以.‎ 则的最小值为4.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4小题,共7空,每空4分,共28分.‎ ‎19.一个简单几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,俯视图是等腰直角三角形,则该几何体的体积为  ,表面积为  .‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积.‎ ‎【分析】由已知中的三视图,可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,求出底面面积,代入棱锥体积公式,可得几何体的体积,累加各个面的面积可得,几何体的表面积.‎ ‎【解答】解:由三视图知:几何体是三棱锥,且几何体的后侧面SAC与底面垂直,高SO为,‎ 如图:‎ 其中OA=OB=OC=1,SO⊥平面ABC,‎ AB=BC=,SA=SB=SC=2,‎ 底面△ABC的面积为:,‎ 后侧面△SAC的面积为:,‎ 左右两个侧面△SAB和△SBC的底面边长为,两腰长为2,‎ 故底边上的高为: =,‎ 故左右两个侧面△SAB和△SBC的面积为:,‎ 故几何体的表面积:,‎ 几何体的体积V==,‎ 故答案为:,‎ ‎ ‎ ‎20.已知数列{an}是公差不为零的等差数列,Sn为其前n项和,且a2=3,又a4、a5、a8成等比数列,则an =﹣2n+7 ,使Sn最大的序号n的值 3 .‎ ‎【考点】等差数列与等比数列的综合.‎ ‎【分析】设公差为d(d≠0),由条件、等差数列的通项公式、等比中项的性质列出方程组,求出首项和公差,再求出an;由等差数列的前n项和公式求出Sn,利用配方法化简后,由一元二次函数的性质求出取Sn最大值时对应的n.‎ ‎【解答】解:设等差数列{an}的公差为d,d≠0,‎ ‎∵a2=3,a4,a5,a8成等比数列,‎ ‎∴,‎ 又d≠0,解得a1=5,d=﹣2,‎ ‎∴an=5﹣2(n﹣1)=﹣2n+7;‎ ‎∴Sn==﹣n2+6n=﹣(n﹣3)2+9,‎ ‎∴当n=3时,Sn取到最大值为9,‎ 故答案为:=﹣2n+7;3.‎ ‎ ‎ ‎21.若x>0,y>0,且+=1,则x+3y的最小值为 16 ;则xy的最小值为 12 .‎ ‎【考点】基本不等式.‎ ‎【分析】利用基本不等式的性质和“乘1法”即可得出.‎ ‎【解答】解:∵x,y>0,且 +=1,‎ ‎∴x+3y=(x+3y)( +)=10++≥10+6=16,当且仅当=即x==y取等号.‎ 因此x+3y的最小值为16.‎ ‎∵x>0,y>0,且+=1,‎ ‎∴1≥2,化为xy≥12,当且仅当y=3x时取等号.‎ 则xy的最小值为12.‎ 故答案为:16,12‎ ‎ ‎ ‎22.如图,在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点E,F分别是棱BC,CC1的中点,P是侧面BCC1B1内一点,若A1P∥平面AEF,则线段A1P长度的取值范围是 []. .‎ ‎【考点】直线与平面平行的性质.‎ ‎【分析】分别取棱BB1、B1C1的中点M、N,连接MN,易证平面A1MN∥平面AEF,由题意知点P必在线段MN上,由此可判断P在M或N处时A1P最长,位于线段MN中点处时最短,通过解直角三角形即可求得.‎ ‎【解答】解:如下图所示:‎ 分别取棱BB1、B1C1的中点M、N,连接MN,连接BC1,‎ ‎∵M、N、E、F为所在棱的中点,∴MN∥BC1,EF∥BC1,‎ ‎∴MN∥EF,又MN⊄平面AEF,EF⊂平面AEF,‎ ‎∴MN∥平面AEF;‎ ‎∵AA1∥NE,AA1=NE,∴四边形AENA1为平行四边形,‎ ‎∴A1N∥AE,又A1N⊄平面AEF,AE⊂平面AEF,‎ ‎∴A1N∥平面AEF,‎ 又A1N∩MN=N,∴平面A1MN∥平面AEF,‎ ‎∵P是侧面BCC1B1内一点,且A1P∥平面AEF,‎ 则P必在线段MN上,‎ 在Rt△A1B1M中,A1M===,‎ 同理,在Rt△A1B1N中,求得A1N=,‎ ‎∴△A1MN为等腰三角形,‎ 当P在MN中点O时A1P⊥MN,此时A1P最短,P位于M、N处时A1P最长,‎ A1O===,‎ A1M=A1N=,‎ 所以线段A1P长度的取值范围是[].‎ 故答案为:[].‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共3小题,共38分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎23.已知f(x)=ax2+x﹣a,a∈R ‎(1)若a=1,解不等式f(x)≥1;‎ ‎(2)若a<0,解不等式f(x)>1.‎ ‎【考点】二次函数的性质.‎ ‎【分析】(1)若a=1,不等式f(x)≥1可化为:x2+x﹣1≥1,即x2+x﹣2≥0,解得答案;‎ ‎(2)若a<0,不等式f(x)≥1可化为:ax2+x﹣a﹣1>0,即(x﹣1)(x+)<0,分类讨论可得不同情况下不等式的解集.‎ ‎【解答】解:(1)若a=1,不等式f(x)≥1可化为:x2+x﹣1≥1,即x2+x﹣2≥0,‎ 解得:x∈(﹣∞,﹣2]∪[1,+∞),‎ ‎(2)若a<0,不等式f(x)≥1可化为:ax2+x﹣a﹣1>0,即(x﹣1)(x+)<0,‎ 当﹣<1,即a<﹣时,不等式的解集为(﹣,1);‎ 当﹣=1,即a=﹣时,不等式的解集为∅;‎ 当﹣>1,即﹣<a<0时,不等式的解集为(1,﹣).‎ ‎ ‎ ‎24.如图,四棱锥S﹣ABCD中,△ABD是正三角形,CB=CD,SC⊥BD.‎ ‎(Ⅰ)求证:SB=SD;‎ ‎(Ⅱ)若∠BCD=120°,M为棱SA的中点,求证:DM∥平面SBC.‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定;棱锥的结构特征.‎ ‎【分析】(Ⅰ)根据线面垂直以及线段的垂直平分线的性质证明即可;‎ ‎(Ⅱ)由线线平行面面平行从而推出线面平行即可.‎ ‎【解答】证明:如图示:‎ ‎(Ⅰ)设BD中点为O,连接OC,OE,则由BC=CD知,CO⊥BD,‎ 又已知SC⊥BD,SC⊥CO=C,所以BD⊥平面SOC,‎ 所以BD⊥SO,即SO是BD的垂直平分线,所以SB=SD,‎ ‎(Ⅱ)取AB中点N,连接DM,MN,DN,‎ ‎∵M是SA的中点,∴MN∥BE,‎ ‎∵△ABD是正三解形,∴DN⊥AB,‎ ‎∵∠BCD=120°得∠CBD=30°,∴∠ABC=90°,即BC⊥AB,‎ 所以ND∥BC,所以平面MND∥平面BSC,‎ 故DM∥平面SBC.‎ ‎ ‎ ‎25.各项均为正数的数列{an}中,a1=1,Sn是数列{an}的前n项和,对任意n∈N*,有2Sn=2pan2+pan﹣p(p∈R)‎ ‎(1)求常数p的值;‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(3)记bn=,求数列{bn}的前n项和T.‎ ‎【考点】数列递推式;数列的求和.‎ ‎【分析】(1)根据a1=1,对任意的n∈N*,有2Sn=2pan2+pan﹣p,令n=1,解方程即可求得结果;‎ ‎(2)由2Sn=2an2+an﹣1,知2Sn﹣1=2an﹣12+an﹣1﹣1,(n≥2),所以(an﹣an﹣1﹣1)(an+an﹣1)=0,由此能求出数列{an}的通项公式.‎ ‎(3)根据求出数列{bn}的通项公式,利用错位相减法即可求得结果.‎ ‎【解答】解:(1)∵a1=1,对任意的n∈N*,有2Sn=2pan2+pan﹣p ‎∴2a1=2pa12+pa1﹣p,即2=2p+p﹣p,解得p=1;‎ ‎(2)2Sn=2an2+an﹣1,①‎ ‎2Sn﹣1=2an﹣12+an﹣1﹣1,(n≥2),②‎ ‎①﹣②即得(an﹣an﹣1﹣)(an+an﹣1)=0,‎ 因为an+an﹣1≠0,所以an﹣an﹣1﹣=0,‎ ‎∴‎ ‎(3)2Sn=2an2+an﹣1=2×,‎ ‎∴Sn=,‎ ‎∴=n•2n Tn=1×21+2×22+…+n•2n③‎ 又2Tn=1×22+2×23+…+(n﹣1)•2n+n2n+1 ④‎ ‎④﹣③Tn=﹣1×21﹣(22+23+…+2n)+n2n+1=(n﹣1)2n+1+2‎ ‎∴Tn=(n﹣1)2n+1+2‎ ‎ ‎

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