2019届高考数学二轮复习第二篇通关攻略7解析几何考题预测;精准猜押2 6页

‎2.7.4 与椭圆、抛物线相关的定值、定点及存在性问题 考题预测·精准猜押 一、选择题 ‎1.在直线y=-2上任取一点Q,过Q作抛物线x2=4y的切线,切点分别为A,B,则直线AB恒过的点的坐标为 (　　)‎ A.(0,1)　 B.(0,2)‎ C.(2,0)　 D.(1,0)‎ ‎【解析】选B.设Q(t,-2),A(x1,y1),B(x2,y2),抛物线方程变为y=x2,则y′=x,则在点A处的切线方程为y-y1=x1(x-x1),化简得y=x1x-y1,‎ 同理,在点B处的切线方程为y=x2x-y2,‎ 又点Q(t,-2)的坐标适合这两个方程,‎ 代入得-2=x1t-y1,-2=x2t-y2,‎ 这说明A(x1,y1),B(x2,y2)都满足方程-2=xt-y,‎ 则直线AB的方程为y-2=tx,直线AB恒过点(0,2).‎ ‎2.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在C上且|AK|=|AF|,则△AFK的面积为 (　　)‎ A.4 B‎.8 ‎ C.16 D.32‎ ‎【解析】选B.因为抛物线C:y2=8x的焦点为F(2,0),准线为x=-2,所以K(-2,0),‎ 设A(x0,y0),过点A向准线作垂线AB,垂足为B,则B(-2,y0),‎ 因为|AK|=|AF|,又|AF|=|AB|=x0-(-2)=x0+2,‎ 所以由|BK|2=|AK|2-|AB|2,则=(x0+2)2,‎ 即8x0=(x0+2)2,解得A(2,±4),‎ 所以△AFK的面积为|KF|·y0=×4×4=8.‎ ‎3.已知F1,F2分别为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线C右支上一点P满足|PF1|=3|PF2|且·=a2,则双曲线C的离心率为 (　　)‎ A.3　　 B.　 C.2　 D.‎ ‎【解析】选D.设|PF2|=t,则|PF1|=3t,所以3t-t=‎2a,所以t=a,‎ 由余弦定理可得cos∠F1PF2==,因为·=a2,所以‎3a·a·=a2,所以c=a,所以e=.‎ ‎4.直线l:x-y+m=0与椭圆x2+=1交于A,B两点,若线段AB的中点在圆x2+y2=5上,则m为 (　　)‎ A.3　　 B.‎-3　‎ C.±3 　 D.不存在 ‎【解析】选D.设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0),‎ 联立直线y=x+m与椭圆的方程得,‎ ‎3x2+2mx+m2-2=0,‎ Δ=(‎2m)2-4×3×(m2-2)>0,即m2<3,x1+x2=-,‎ 所以x0==-,y0=x0+m=,‎ 即M.又因为M点在圆x2+y2=5上,‎ 可得+=5,‎ 解得m=±3与m2<3矛盾.‎ 故实数m不存在.‎ 二、填空题 ‎5.已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为________. ‎ ‎【解析】如图,由抛物线定义,抛物线上的点到准线的距离等于到焦点F的距离,‎ 则|PA|+d=|PA|+|PF|≥|AF|==,‎ 当且仅当点P为AF与抛物线的交点时取得等号.‎ 答案:‎ ‎6.椭圆C:+=1,P(m,0)为C的长轴上的一个动点,过P点斜率为的直线l交C于A,B两点.则|PA|2+|PB|2为__________.  ‎ ‎【解析】l的方程为x=y+m,代入+=1并整理得25y2+20my+8(m2-25)=0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则|PA|2=(x1-m)2+=,同理|PB|2=.‎ 则|PA|2+|PB|2=(+)=[(y1+y2)2-2y1y2]‎ ‎==41.‎ 所以|PA|2+|PB|2=41.‎ 答案:41‎ 三、解答题 ‎7.已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N. ‎ ‎(1)求直线l的斜率的取值范围.‎ ‎(2)设O为原点,=λ,=μ,求证:+为定值.‎ ‎【解析】将点P代入C的方程得4=2p,即p=2,‎ 所以抛物线C的方程为y2=4x,‎ ‎(1)显然l斜率存在,设为k,则l:y=kx+1,‎ 由消去y得k2x2+(2k-4)x+1=0,(*)‎ 由已知,方程(*)有两个不同的根,且1不是方程的根(因为PA,PB都与y轴有交点),‎ 所以Δ=-16k+16>0且k2+(2k-4)+1≠0,‎ 即k<1,且k≠-3,且k≠1,‎ 所以k<1,且k≠-3,‎ 即直线l斜率的取值范围是(-∞,-3)∪(-3,1).‎ ‎(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 直线PA方程为y-2=(x-1),‎ 令x=0得y=-+2,‎ 即点M为(0,-+2),‎ 所以=(0,-+1),又=(0,-1),=λ,‎ 所以(0,-+1)=λ(0,-1),‎ 所以λ=-1=,=,‎ 又点A(x1,y1)在直线l:y=kx+1上,‎ 所以===-,‎ 同理=-,‎ 由(1)中方程(*)及根与系数的关系得,x1+x2=-,x1x2=,‎ 所以+=-+-=-=‎ ‎-·=-·==2,即+为定值2.‎