贵州省遵义市南白中学2020届高三第六次联考数学（文）试题 15页

‎2020年普通高等学校招生全国统一模拟考试（课标全国Ⅲ卷）‎ 文 科 数 学 注意事项：‎ 1. 本卷满分150分，考试时间120分钟。答题前，现将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ 2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ 3. 非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.设集合，，则 A. B. C. D.‎ ‎2.在复平面内，已知复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则 A. B. C. D.‎ ‎3.双曲线的焦点到渐近线的距离是 A.1 B. C. D.2‎ ‎4.已知，则 A. B. C. D.‎ ‎5.把函数图象上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一个对称中心为 A． B． C． D．‎ ‎6.已知函数,若，则的取值范是 A． B． C． D． ‎ ‎7.在中，，则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎8.一个几何体的三视图及尺寸如下所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是 A. B. C. D.‎ ‎9.设，，为锐角内角，，的对边，且满足，若，则的面积的最大值为 A. B. C. D.‎ ‎10.圆周率是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数，它既常用又神秘，古今中外很多数学家曾研究它的计算方法.下面做一个游戏：让大家各自随意写下两个小于1的正数然后请他们各自检查一下，所得的两数与1是否能构成一个锐角三角形的三边，最后把结论告诉你，只需将每个人的结论记录下来就能算出圆周率的近似值.假设有个人说“能”，而有个人说“不能”，那么应用你学过的知识可算得圆周率的近似值为 A． B． C． D．‎ ‎11.设抛物线（为参数）的焦点为，准线为.过抛物线上一点作的垂线，垂足为.设，与相交于点.若，且的面积为，则的值为 A． B． C． D．‎ ‎12.已知函数（，）在区间内有唯一零点，则的最大为 A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.已知圆：，直线斜率存在过定点．若与圆相切，则的方程_________.‎ ‎14.设为等比数列的前项和，，则_________．‎ ‎15．若定义在上的函数满足，是奇函数，现给出下列个论断：‎ ‎①是周期为的周期函数；‎ ‎②的图象关于点对称；‎ ‎③是偶函数；‎ ‎④的图象经过点；其中正确论断的个数是______________.‎ ‎16．金刚石是碳原子的一种结构晶体，属于面心立方晶胞（晶胞是构成晶体的最基本的几何单元），即碳原子处在立方体的个顶点，个面的中心，此外在立方体的对角线的处也有个碳原子，如图所示（），碳原子都以共价键结合，原子排列的基本规律是每一个碳原子的周围都有个按照正四面体分布的碳原子．设金刚石晶胞的棱长为，则正四面体的棱长为__________；正四面体的外接球的体积是__________.（第一空2分，第二空3分）‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 已知等差数列的前项和为，且满足：，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记数列的前项和为，求取得最大值时的值.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 如图，正方形的边长为，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若是的中点，设，且三棱锥的体积为，求的值.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ ‎（12分）已知在上任意一点处的切线为 ‎，若过右焦点的直线交椭圆于、两点，在点处切线相交于．‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）若过点且与直线垂直的直线（斜率存在且不为零）交椭圆于两点，证明为定值．‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数字，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准.对于高中男体育特长生而言，当数值大于或等于20.5时，我们说体重较重，当数值小于20.5时，我们说体重较轻，身高大于或等于我们说身高较高，身高小于170cm我们说身高较矮.‎ ‎（Ⅰ）已知某高中共有32名男体育特长生，其身高与指数的数据如散点图，请根据所得信息，完成下述列联表，并判断是否有的把握认为男生的身高对指数有影响.‎ 身高较矮 身高较高 合计 体重较轻 体重较重 合计 ‎（Ⅱ）①从上述32名男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如表所示：‎ 编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 身高 ‎166‎ ‎167‎ ‎160‎ ‎173‎ ‎178‎ ‎169‎ ‎158‎ ‎173‎ 体重 ‎57‎ ‎58‎ ‎53‎ ‎61‎ ‎66‎ ‎57‎ ‎50‎ ‎66‎ 根据最小二乘法的思想与公式求得线性回归方程为.利用已经求得的线性回归方程，请完善下列残差表，并求（解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值）（保留两位有效数字）；‎ 编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 体重（）‎ ‎57‎ ‎58‎ ‎53‎ ‎61‎ ‎66‎ ‎57‎ ‎50‎ ‎66‎ 残差 ‎②通过残差分析，对于残差的最大（绝对值）的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误，已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为.小明重新根据最最小二乘法的思想与公式，已算出，请在小明所算的基础上求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程.‎ 参考数据：‎ ‎，，，，‎ 参考公式：，，，‎ ‎，.‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎0.005‎ ‎2.706‎ ‎3.811‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎21.已知函数（，）.‎ ‎（Ⅰ）若，试讨论函数的单调性；[来源:学。科。网]‎ ‎（Ⅱ）若，且有三个不同零点，问是否存在实数使得这三个零点成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题号涂黑．‎ ‎22.选修4-4：坐标累与参数方程 平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与曲线、曲线在第一象限交于、两点，且，点的坐标为，求的面积.‎ ‎23.选修4—5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若，，，求证：.‎ ‎2020年普通高等学校招生全国统一模拟考试（课标全国Ⅲ卷）答案 文 科 数 学 ‎ 一、选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C B A D D C A B A C A D 二、 填空题 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 第一空；第二空：‎ ‎（第一空2分，第二空3分）‎ 三、 解答题 ‎17.解：‎ ‎（Ⅰ）设等差数列公差为，依题意，解之得.‎ ‎......4分 则.‎ 故数列的通项公式为（）. ‎ ‎......6分 ‎（Ⅱ）由得.数列为等差数列.‎ ‎......8分 由，所以，即，由于，故.‎ 故取得最大值时的值为. ‎ ‎ ......12分 ‎18.解：‎ ‎（Ⅰ）取中点，连结.‎ 因为，所以.‎ ‎......1分 在中，，，‎ 则，‎ 所以，‎ ‎......3分 又，且面，‎ 所以面，‎ ‎......5分 又面，所以面面.‎ ‎......6分 ‎（Ⅱ）因为面面，‎ 又面面，且，‎ 所以面，‎ ‎......8分[来源:Zxxk.Com]‎ 所以.‎ 又因为，，‎ 所以.‎ 因为，所以.‎ 又，‎ 所以，得.‎ ‎......12分 ‎19.解：‎ ‎（Ⅰ）设直线为，，易得在点处切线为，在点处切线为，由得又可得，‎ 点的轨迹方程；‎ ‎......6分 ‎（Ⅱ）①设点、，设直线的方程为.‎ 将直线的方程与椭圆的方程联立，消去得.‎ 由韦达定理得，.‎ ‎......8分 所以=；‎ ‎......9分 由题意可得.‎ ‎......10分 ‎.‎ ‎......12分 ‎20.解：‎ ‎（Ⅰ）‎ 身高较矮 身高较高 合计 体重较轻 ‎6‎ ‎15‎ ‎21‎ 体重较重 ‎6‎ ‎5‎ ‎11‎ 合计 ‎12‎ ‎20‎ ‎32‎ 由于，‎ 因此没有的把握认为男生的身高对指数有影响. ‎ ‎......4分 ‎（Ⅱ）①对编号为8的数据，完成残差表如下所示：‎ 编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 体重 ‎57‎ ‎58‎ ‎53‎ ‎61‎ ‎66‎ ‎57‎ ‎50‎ ‎66‎ 残差[来源:学#科#网Z#X#X#K]‎ ‎0.1‎ ‎0.3‎ ‎0.9‎ ‎3.5‎ ‎.‎ 所以解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值约为0.91. ‎ ‎......8分 ‎②由①可知，第八组数据的体重应为58.此时，易知，，，‎ ‎，‎ 所以重新采集数据后，男体育特长生的身高与体重的线性回归方程为.‎ ‎......12分 ‎21.解：‎ ‎（Ⅰ）若，则，.‎ ‎......2分 若，则函数在上单调递增,‎ ‎......3分 若，令，得，.‎ 在上，，单调递减，‎ 在上，，单调递增.‎ ‎......6分 ‎（Ⅱ）因为，则，若有三个不同零点，且成等差数列，‎ 可设,‎ 故，则，故，，.此时，，，故存在三个不同的零点，故符合题意的的值为.[来源:Zxxk.Com]‎ ‎......12分 ‎22.解：‎ ‎（Ⅰ）依题意，曲线：，即，故.‎ ‎......2分 由得，即，即 ‎......4分 ‎（Ⅱ）设直线的极坐标方程为，分别代入曲线、的极坐标方程得，.‎ ‎......6分 由得，解得，则 ‎......8分 又，所以.‎ 故 ‎......10分 ‎23.解：‎ ‎（Ⅰ）.‎ ‎......3分 当时，解得；当时，无解；当时，解得.‎ 综上所述，不等式的解集为.‎ ‎......5分 ‎（Ⅱ）要证，即证，‎ 因为，，所以，，‎ ‎.‎ 所以，.故所证不等式成立.‎ ‎......10分