2019届二轮复习等比数列学案（全国通用） 6页

‎【情景激趣我爱读】‎ ‎（1）堤、木、枝、巢、禽、雏、毛、毛色的数量分别为9,92，93，94，95，96，97，98.‎ ‎（2）每一个数与前一个数的比是一个常数9.‎ ‎【学习目标我预览】‎ 学习目标 实现地点 ‎1.正确理解等比数列的概念，能用等比数列的定义判断一个数列是否为等比数列.‎ ‎“基础知识我填充”→1；“基础题型我先练”→1；“典型例题我剖析”→典例1；“变式思维我迁移”→1；“方法技巧我感悟”→1；“易错问题我纠错”→1；“课后巩固我做主”→1、6、11‎ ‎2.掌握等比数列的通项公式及其推导方法，能用通项公式解决简单的问题.‎ ‎“基础知识我填充”→2；“基础题型我先练”→2,3；“典型例题我剖析”→典例2；“变式思维我迁移”→2；“方法技巧我感悟”→3；“课后巩固我做主”→2、3、4、5、6、7、8、9、10、11‎ ‎【基础知识我填充】‎ ‎1.（1）第二项，同一个常数，等比 ‎ ‎（2），，没有.‎ ‎2.（1） ‎ ‎（2）‎ ‎【基础题型我先练】‎ ‎【典型例题我剖析】‎ 典例1：‎ 我的基本思路：判定一个数列是否为等比数列的基本方法是依据定义来判断，即看从第二项起是不是每一项与前一项的比是同一个常数.‎ 我的解题过程：（1）由得，，则有 ‎【变式思维我迁移】‎ 1. 我的基本思路：利用递推关系，将将的递推关系转化为与的递推关系即可得证.‎ 我的解题过程：（1）由可得，‎ ‎，故该数列是等比数列；‎ 我的感悟点评：等比数列的定义是判断数列是否为等比数列的依据，但要注意灵活它的两种语言体现形式（一般语言和符号语言）；特别要注意含有字母类型的数列，没有特别说明的或者具有隐含条件的，都是指字母可以取一切实数，需要考虑数列中是否有可能有等于零的项.‎ 典例2：‎ 我的基本思路：要求该等比数列的通项公式，只需利用已知条件求出和.‎ 我的解题过程：设等比数列的首项和公比分别为和，则 ‎ ①‎ ‎ ②‎ 由①②解得或 所以数列的通项公式为或.‎ 数列是以为首项，5为公比的等比数列.‎ ‎（2）由（1）可得，，‎ 所以 我的感悟点评：本例（1）的证明给我们一个启示：某些非等比数列可以通过变性构造的方法构造为一个等比数列，从而求出该数列的通项公式.一般地，形如的递推数列，都可以转化为公比为的等比数列，从而求出数列的通项公式. 学 学 ‎ 1. 我的基本思路：将题目中的已知条件直接转化为关于基本量的方程组，解出后再求其它元素是通法.‎ 我的解题过程：由题意可得方程组如下 ‎，‎ 即解之得，‎ 或 故或 ‎ ‎ 我的感悟点评：首项和是构成等比数列的基本量，从基本量入手是研究等比数列的基本方法，也是一个通法.这里的公比是正数，也可以是负数，故有有两个解，不要漏解.当然本例也可以将作为基本量，把都用它来表示.‎ 我的感悟点评：方程思想是解决数学问题的一个很重要的思想方法.在等差数列和等比数列求通项或者求其中某些项的题目中，更是深深地体现着方程思想.‎ ‎【易错问题我纠错】‎ 错解剖析：由推导出时，的取值变为，即结论中的最小值是2，因此不包括对的判断.即不符合等比数列的定义.‎ 正解：由已知条件可求得 则2、4、12不构成等比数列，所以数列不是等比数列 ‎【方法技巧我归纳】‎ 1. 等比数列的判定方法就本节知识而言主要有：‎ ‎（1）定义法：是等比数列；‎ ‎（2）通项法：是等比数列.‎ ‎2.根据等比数列的定义，等比数列各项中没有0，公比是也不能等于0.‎ （1） 等比数列通项公式成立的条件是；该公式可以通过归纳得出，（归纳法虽不是求通项公式的严格方法，但是却是求数列通项的一个很有用的通法）也可以通过累积法推出，‎ 即 ‎，这也是求数列通项的一种很重要的方法；等比数列通项公式中含有四个量，只要知道其中的三个就可以求出另一个量，另外在解题中经常会出现两个与数列项有关的式子，解方程组即可求解.‎ ‎【课后巩固我做主】‎ A级 1. 答案：A 解析：等比数列中没有等于0的项，所以 B级 ①、②不是；③中前两项相同，而后面的不同所以不符合等比数列的定义；只有④符合.‎ ‎2.答案：A解析：方法一：由a2010＝8a2007，可得 方法二：由a2010＝8a2007，可得学 ‎ ‎ 5.答案： 解析：由是公比为2的等比数列，得 .‎ ‎6.证：（1）由（常数）‎ 所以该数列成等比数列．‎ ‎ （2），即：．‎ ‎7.答案：B 解析： ，，而，‎ ‎，即，解得，而，故公比的取值范围为.‎ ‎10．解：由题意可以设这三个数分别为，得：‎ ‎∴，即得或，‎ ‎∴或， ‎ 故该三数为：1，3，9或-1，3，-9或9，3，1或-9，3，．‎ ‎【命题规律我总结】‎ 知识点 命题方式 我的应对策略 ‎（1）等比数列的判定方法 给出前一项或者给出递推关系 依据定义，即是根本，注意含字母的类型 ‎（2）等比数列通项公式及其应用 已知数列中的两项或者两项的关系求通项是最常见的命题形式 依据通项公式建立方程（组）求解 ‎（3）构造等比数列求通项 ‎ . ]‎ 形如 的递推数列是最热门的构造等比数列的类型 构造出公比为的等比数列 来求解.‎ ‎【疑难问题我存档】‎ 我的疑难问题 我的思维成果 ‎（1）常数列都是等差数列，也一定是等比数列吗？‎ 常数列都是等差数列，但不一定都是等比数列.若常数列的各项都是0，它就不是等比数列，除此之外的常数列一定是等比数列.‎ ‎（2）等差数列的通项公式可以看作是关于项数n的一次函数，那么等比数列呢？‎ 等比数列的通项公式可以变形为 ‎，设，则有 ‎ 是关于的指数型函数（注意不是指数函数）.‎ ‎ 学 ]‎ ‎【学习资源我积累】‎ 等比数列与“世界末日”问题 学, , ,X,X,K]‎ 传说在印度的佛教圣地贝拿勒斯圣庙里安放着个一个黄铜板，板上插着三根宝石针，在第一根宝石针上，从下到上穿着由大到小的64片中心有孔的金片.每天都有一个值班僧侣按下面规则移动金片：把金片从第一根宝石针移到其余的某根宝石针上.要求一次只能移动一片，而且小片永远要放在大片的上面.当时传说当64片金片都按上面的规则从第一根宝石针移到另一根宝石针上时，世界将在一声霹雳中毁灭.所以有人戏称这个问题叫“世界末日”问题（也称为“Hanoi塔”问题），当然，移金片和世界毁灭并无联系，这只是一个传说而已，但说明这是一个需要移动很多很多次才能办到的事情.我们关心的是：按上述规则移动完成64片金片需要移动多少次呢？‎ 解：设有n片金片，把从第一片金片至第k片金片按题目要求由第I根宝石针移到另一根宝石针共需移动ak次。先对4片金片的简单情形用下列的几组图来表示移动过程中的各种状态，并计数，归纳出递归关系式。学 ‎ 我们可以这样来想：为了移动第n片到第Ⅲ根宝石针上，我们必须先把它上面的n-1片按题目的规则采用某种程序移到第Ⅱ根宝石针上，这需要移动次.然后才能把最下面第n片（最大的）移到第Ⅲ根宝石针上.最后再经过次才能把第Ⅱ根宝石针上的n-1片金片按上面规则采用同样程序移到第Ⅲ根宝石针上.因此把n片金片按题中的规则全部移到另一根宝石针上共应移an=2+1（次）. 这类数列通项公式的求法我们都学习过，易得：∴a64＝264-1.a64是一个非常大的数.如果按每移动一片次需一秒钟算，把64片金片从一根宝石针移到另一根宝石针上大约需要5800亿年.‎