2018-2019学年浙江省温州新力量联盟高二下学期期中考试数学试题（解析版） 18页

‎2018-2019学年浙江省温州新力量联盟高二下学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．已知复数（是虚数单位）．则复数的虚部是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先利用复数代数的乘除运算化简出复数的标准形式，从而得到答案．‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ ‎∴复数的虚部是，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．‎ ‎2．函数在上是减函数．则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，由一次函数的性质可得要使函数单调递减，则斜率为负数，从而可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：根据题意，函数在上是减函数，‎ 则有，‎ 解可得，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性的性质以及应用，涉及一次函数的性质，属于基础题．‎ ‎3．下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合解可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：根据题意，依次分析选项：‎ 选项A：，为指数函数，不是奇函数，不符合题意； ‎ 选项B：，为对数函数，不是奇函数，不符合题意；‎ 选项C：，定义域为R，‎ ‎，为奇函数，‎ ‎，故函数在R上单调递增，‎ 故既是奇函数，又是增函数，符合题意； ‎ 选项D：，为余弦函数，根据余弦函数图像可知，在其定义域上不是增函数，不符合题意； ‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性．‎ ‎4．已知集合，，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据交集定义，直接求解．‎ ‎【详解】‎ 解：集合， ‎ ‎.‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎5．设，则函数的零点所在的区间为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】有两种方法，方法一 ，图象法；方法二，应用零点存在定理.‎ ‎【详解】‎ 方法一　函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的区间．作图如下：‎ 可知f(x)的零点所在的区间为(1，2)．‎ 方法二　易知f(x)＝ln x＋x－2在(0，＋∞)上为增函数，‎ 且f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2>0.‎ 所以根据函数零点存在性定理可知在区间(1，2)内函数存在零点．‎ ‎【点睛】‎ 判断函数零点所在区间有三种方法：①解方程，直接求出零点；②利用零点存在定理，判断零点所在区间；③图象法，观察交点所在区间.‎ ‎6．已知函数，若，则实数的值为（　　）‎ A． B．或 C． D．或 ‎【答案】A ‎【解析】由分段函数求得，结合指数函数的值域和方程思想，可得的值．‎ ‎【详解】‎ 解：因为函数，‎ 所以，‎ 因为，‎ 可得，‎ 因为在R上函数值恒大于0，‎ 故，即．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数的运用：求函数值，考查方程思想和运算能力，属于基础题．‎ ‎7．已知函数，将函数的图象向右平移后得到函数的图象，则下列描述正确的是（　　）‎ A．是函数的一个对称中心 B．是函数的一条对称轴 C．是函数的一个对称中心 D．是函数的一条对称轴 ‎【答案】D ‎【解析】利用函数的图象变换规律得出的解析式，再将题中的自变量与代入函数，根据余弦函数的图象及性质，得出结论．‎ ‎【详解】‎ 解：对于函数，将函数的图象向右平移后，‎ 得到函数的图象，‎ 则令，求得，为最小值，‎ 可得函数的一条对称轴为，‎ 故不是函数的一个对称中心 故D正确、而A不正确；‎ 令 ，求得，‎ 故的值不为最值，且 故B、C错误，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的图象变换规律，余弦函数的图象及其性质，对余弦函数的充分认识是解题的关键，属于基础题．‎ ‎8．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（　　）（）‎ A．15平方米 B．12平方米 C．9平方米 D．6平方米 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：如图,根据题意可得:,在中,可得:，，,可得:矢,由,可得:弦,所以:弧田面积(弦矢矢)平方米.所以C选项是正确的.‎ ‎【考点】扇形面积公式.‎ ‎9．如图，函数（其中）与坐标轴的三个交点满足为的中点，，则的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意设出，用表示出点坐标以及点坐标，根据，利用距离公式求出坐标，通过五点法求出函数的解析式，即可求出A．‎ ‎【详解】‎ 解：设，‎ 函数（其中）与坐标轴的三个交点满足，‎ ‎，‎ 为的中点，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得，‎ ‎，又，‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得．‎ 函数经过，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得 ，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由的部分图象确定其解析式，求得点与点的坐标是关键，考查识图、运算与求解能力，属于中档题．‎ ‎10．已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“理想集合”.给出下列4个集合：‎ ‎①；‎ ‎②；‎ ‎③；‎ ‎④.‎ 其中所有“理想集合”的序号是（ ）‎ A.①③ B.②③ ‎ C.②④ D.③④‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由题意得,设,又可知,对于①项，是以轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为，所以当点，在同一支上时，,当点，不在同一支上时，，不存在，故①不正确；②项，通过对图象的分析发现，对于任意的点都能找到对应的点,使得成立，故正确；③项由图象可得，直角始终存在，故正确；④项，由图象可知，点在曲线上不存在另外一个点，使得成立，故错误；综合②③正确，所以选B.‎ ‎【考点】1.平面向量数量积的应用；2.元素与集合的关系；3.数形结合的思想；4.新定义问题的分析能力.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查的是平面向量数量积的应用，元素与集合的关系，数形结合的思想，推理分析与综合运算能力，属于难题，此类新定义问题最主要是弄明白问题的实质是什么，对于此题而言，通过可得出就是在函数的曲线上找任意一个点都能找到一个点,使得成立，找到新定义的含义了，剩余的选项中都是我们所熟知的基本初等函数，可通过数形结合分析即可求解，所以对新定义的转化能力是解这类问题的关键.‎ 二、填空题 ‎11．__________，_________．‎ ‎【答案】 - ‎ ‎【解析】利用特殊角的三角函数值，诱导公式，求得要求式子的值．‎ ‎【详解】‎ 解：；‎ ‎，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查特殊角的三角函数值，诱导公式的应用，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值与诱导公式，属于基础题．‎ ‎12．已知向量，若,则______;若,则__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】时，可得出 ，进行数量积的坐标运算即可求出时，可得出，解出即可．‎ ‎【详解】‎ 解：若 ，则： ；‎ ‎∴；‎ 若 ，则：；‎ 故答案为： ; ‎ ‎【点睛】‎ 考查向量垂直的充要条件，平行向量的坐标关系，以及向量数量积的坐标运算．‎ ‎13．已知，则______， ______．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】求出的值，再求，求出函数的导数，再将代入进行计算即可．‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ ‎， ‎ 则， ‎ ‎， ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的导数计算，结合函数的导数公式是解决本题的关键．比较基础．‎ ‎14．在边长等于1的正方形中，和分别是和的中点，则______，若，其中，则________________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】根据条件，可分别以边，所在的直线为轴，轴，建立平面直角坐标系，从而可求出的坐标，进而得出 ，从而可求的值，并根据 得出，解出，即可.‎ ‎【详解】‎ 解：如图，分别以边，所在的直线为，轴，建立平面直角坐标系， ‎ 则：；‎ ‎；‎ ‎；‎ 由得，‎ 解得，‎ ‎，‎ 故答案为： ; ‎ ‎【点睛】‎ 考查通过建立坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，向量加法、数乘和数量积的坐标运算，解题的关键是要有建系解决向量的思维意识。‎ ‎15．已知函数定义域为，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据函数的定义域为，转化为恒成立，利用指数函数的性质进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：函数的定义域为，‎ 则恒成立，‎ 即恒成立， ‎ ‎，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数定义域的应用，结合根式和指数函数的性质是解决本题的关键．‎ ‎16．设，若，则_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析： ‎ ‎．‎ ‎【考点】指数式与对数式的综合运算．‎ ‎17．设函数的定义域为，若，使得成立，则称函数为“美丽函数”.下列所给出的五个函数：‎ ‎①；②；③；④；⑤．‎ 其中是“美丽函数”的序号有 ．‎ ‎【答案】②③④‎ ‎【解析】试题分析：①函数，所以不可能是“美丽函数”，所以①错；②‎ 的值域为，关于原点对称，所以②正确；③，值域为，关于原点对称，所以③正确；④，令，则，在上单调递增，且值域为，值域关于原点对称，所以④正确；⑤，则，不关于原点对称，所以⑤错误．故答案为：②③④．‎ ‎【考点】命题真假判断。‎ 三、解答题 ‎18．已知函数．‎ ‎（1）求函数的极值点：‎ ‎（2）求函数在的最大值和最小值．‎ ‎【答案】（1）极大值点是，极小值点是；（2）最大值，最小值.‎ ‎【解析】（1）由题意得，令，得，列表可得函数的单调性，从而得出函数的极值点；‎ ‎（2）函数在上是增函数，在上是减函数，由此能求出函数在的最大值和最小值．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）∵函数，‎ 令，得，‎ 列表讨论，得：‎ 极大值 极小值 所以，函数的极大值点是，极小值点是．‎ ‎（2）函数在上是增函数，在上是减函数，‎ 所以极大值即为最大值是，‎ 端点值分别为，‎ 故最小值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的极值点、函数在闭区间上的最值的求法，考查导数性质、函数性质、最值等基础知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，是中档题．‎ ‎19．已知 ‎（1）求函数的最小正周期：‎ ‎（2）求函数的单调递增区间 ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）利用三角函数恒等变换可得函数解析式为，利用三角函数周期公式即可计算得解的最小正周期；‎ ‎（2）令，解得的范围，可求函数的单调递增区间．‎ ‎【详解】‎ 解：（1），‎ 可得：函数的最小正周期 ‎（2）令，‎ 解得：，，‎ 可得函数的单调递增区间为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题．‎ ‎20．已知 ‎（1）求与的夹角；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据，进行数量积的运算即可求出，从而求出，根据向量夹角的范围即可求出夹角；‎ ‎（2）对的两边平方即可得出，解出的范围即可.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）；‎ ‎；‎ ‎;‎ ‎;‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎（2），‎ 两边平方可得，‎ 即，‎ 解得 或；‎ 的取值范围为 ‎【点睛】‎ 考查向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，以及绝对值不等式的解法．‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（1）对任意恒成立，求实数的取值范围：‎ ‎（2）函数，设函数，若函数有且只有两个零点，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）对任意恒成立，即有 ‎ ‎ （2）函数有且只有两个零点.‎ 与的图象有两个交点．根据图象可得，实数的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）的定义域为R，‎ ‎，‎ 故函数关于y轴对称，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 对任意恒成立，即有，‎ 故实数的取值范围为．‎ ‎（2）显然不是函数的零点．‎ 故函数有且只有两个零点．‎ 与的图象有两个交点．‎ 当时，，‎ 恒成立，‎ 故函数在单调递增，在单调递增，‎ 且当时，时，函数，‎ 当时，时，函数，‎ 时，函数，‎ 当时，，‎ 令，因为，故解得，‎ 当时， ，故在单调递增，‎ 当时， ，故在单调递减，‎ 函数的图像如图所示，‎ 根据图象可得，实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的性质，二次函数的最值，解题的关键是要能将函数的零点问题转化为两个函数的交点问题，并且能准确地作出新函数的图像，然后数形结合地解决问题，属于中档题．‎ ‎22．已知函数．‎ ‎（1）当时，判断函数的单调性；‎ ‎（2）若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围，并证明．‎ ‎【答案】（1）在上单调递增；（2）详见解析.‎ ‎【解析】（1）对求导，根据的符号得出的单调性；‎ ‎（2）由题意可知有两解，求出的过原点的切线斜率即可得出的范围，设，根据分析法构造关于的不等式，利用函数单调性证明不等式恒成立即可．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）时，，‎ 故，‎ 在上单调递增．‎ ‎（2）由题意可知有两解，‎ 设直线与相切，切点坐标为，‎ 则，解得，‎ ‎，即．‎ ‎∴实数的取值范围是．‎ 不妨设，则，‎ 两式相加得：，‎ 两式相减得：，‎ ‎，故，‎ 要证，只需证，‎ 即证，‎ 令，故只需证在恒成立即可．‎ 令，‎ 则，‎ ‎∴在上单调递增，‎ ‎，‎ 即在恒成立．‎ ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数与函数单调性的关系，函数单调性与不等式的关系，构造关于的不等式是证明的难点，属于难题．‎