高考数学总复习经典测试题解析版-抽样方法+变量间的相关关系、统计案例+随机事件的概率+数学归纳法 32页

高考数学总复习经典测试题解析版-抽样方法 +变量间的相关关系、统计案例+随机事件的概率+数学归纳法 11.1 抽样方法(附参考答案) 一、选择题 1．为了了解所加工一批零件的长度，抽测了其中 200 个零件的长度，在这个问题中，200 个 零件的长度是( )． A．总体 B．个体是每一个零件 C．总体的一个样本 D．样本容量 解析 200 个零件的长度是总体的一个样本． 答案 C 2．用随机数表法从 100 名学生(其中男生 25 人)中抽取 20 人进行评教，某男学生被抽到的概 率是( )． A. 1 100 B. 1 25 C. 1 5 D. 1 4 解析 从容量N＝100的总体中抽取一个容量为n＝20的样本，每个个体被抽到的概率都是 n N ＝ 1 5 . 答案 C 3．甲校有 3 600 名学生，乙校有 5 400 名学生，丙校有 1 800 名学生．为统计三校学生某方 面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为 90 的样本，应该在这三校分别抽取的学生 人数是( )． A．30,30,30 B．30,45,15 C．20,30,10 D．30,50,10 解析 抽取比例是 90 3 600＋5 400＋1 800 ＝ 1 120 ，故三校分别抽取的学生人数为 3 600× 1 120 ＝30,5 400× 1 120 ＝45,1 800× 1 120 ＝15. 答案 B 4．某工厂生产 A，B，C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为 3∶4∶7，现在用分层 抽样的方法抽出容量为 n的样本，样本中 A型产品有 15 件，那么样本容量 n为( )． A．50 B．60 C．70 D．80 解析 n× 3 3＋4＋7 ＝15，解得 n＝70. 答案 C 5. (1)某学校为了了解 2010 年高考数学科的考试成绩，在高考后对 1 200 名学生进行抽样调 查，其中文科 400 名考生，理科 600 名考生，艺术和体育类考生共 200 名，从中抽取 120 名 考生作为样本．(2)从 10 名家长中抽取 3名参加座谈会．Ⅰ.简单随机抽样法；Ⅱ.系统抽样 法；Ⅲ.分层抽样法． 问题与方法配对正确的是( )． A．(1)Ⅲ，(2)Ⅰ B．(1)Ⅰ，(2)Ⅱ C．(1)Ⅱ，(2)Ⅲ D．(1)Ⅲ，(2)Ⅱ 解析 通过分析可知，对于(1)，应采用分层抽样法，对于(2)，应采用简单随机抽样法． 答案 A 6．某高中在校学生 2 000 人，高一年级与高二年级人数相同并都比高三年级多 1人．为了响 应“阳光体育运动”号召，学校举行了“元旦”跑步和登山比赛活动．每人都参加而且只参 与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如下表：[来源:学科网 ZXXK] 高一年级 高二年级 高三年级 跑步 a b c 登山 x y z 其中 a∶b∶c＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的 2 5 .为了了解学生对本次活动的满意 程度，从中抽取一个 200 人的样本进行调查，则高二年级参与跑步的学生中应抽取( ) A．36 人 B．60 人 C．24 人 D．30 人 解析 ∵登山的占总数的 2 5 ，故跑步的占总数的 3 5 ， 又跑步中高二年级占 3 2＋3＋5 ＝ 3 10 .∴高二年级跑步的占总人数的 3 5 × 3 10 ＝ 9 50 . 由 9 50 ＝ x 200 得 x＝36，故选 A. 答案 A 7．为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为 1到 50 的袋装奶粉中 抽取 5袋进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的 5袋奶粉的 编号可能是( )． A．5,10,15,20,25 B．2,4,8,16,32 C．1,2,3,4,5 D．7,17,27,37,47 解析 利用系统抽样，把编号分为 5 段，每段 10 个，每段抽取一个，号码间隔为 10，故选 D. 答案 D 二、填空题 8．体育彩票 000001～100000 编号中，凡彩票号码最后三位数为 345 的中一等奖，采用的抽 样方法是________． 解析 系统抽样的步骤可概括为：总体编号，确定间隔，总体分段，在第一段内确定起始个 体编号，每段内规则取样等几步．该抽样符合系统抽样的特点． 答案 系统抽样 9．课题组进行城市空气质量调查，按地域把 24 个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数 分别为 4,12,8，若用分层抽样抽取 6个城市，则丙组中应抽取的城市数为________． 解析 由已知得抽样比为 6 24 ＝ 1 4 ，∴丙组中应抽取的城市数为 8× 1 4 ＝2. 答案 2 10．某校有老师 200 人，男学生 1 200 人，女学生 1 000 人．现用分层抽样的方法从所有师 生中抽取一个容量为 n的样本；已知从女学生中抽取的人数为 80 人，则 n＝________. 解析 由题意知 80 1 000 ＝ n 200＋1 200＋1 000 ，解之得 n＝192. 答案 192 11．为了了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校高 一、高二、高三分别有学生 800 名、600 名、500 名，若高三学生共抽取 25 名，则高一年级 每一位学生被抽到的概率是________． 解析 无论高几，每一位学生被抽到的概率都相同，故高一年级每一位学生被抽到的概率为 25 500 ＝ 1 20 . 答案 1 20 12．某单位 200 名职工的年龄分布情况如右图，现要 从中抽取 40 名职工作样本．用系统抽样法，将全体职 工随机按 1～200 编号，并按编号顺序平均分为 40 组 (1～5 号，6～10 号，…，196～200 号)．若第 5 组抽出的号码为 22，则第 8组抽出的号码应 是________．若用分层抽样方法，则 40 岁以下年龄段应抽取________人． 解析 ∵间距为 5，第 5 组抽 22 号，∴第 8 组抽出的号码为 22＋5(8－5)＝37,40 岁以下职 工人数为 100 人，应抽取 40 200 ×100＝20(人)． 答案 37 20 三、解答题 13．某企业共有 3 200 名职工，其中中、青、老年职工的比例为 5∶3∶2，从所有职工中抽 取一个容量为 400 的样本，应采用哪种抽样方法更合理？中、青、老年职工应分别抽取多少 人？ 解析 由于中、青、老年职工有明显的差异，采用分层抽样更合理． 按照比例抽取中、青、老年职工的人数分别为： 5 10 ×400＝200， 3 10 ×400＝120， 2 10 ×400＝80， 因此应抽取的中、青、老年职工分别为 200 人、120 人、80 人． 14．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中 的一组．在参加活动的职工中，青年人占 42.5%，中年人占 47.5%，老年人占 10%.登山组的 职工占参加活动总人数的 1 4 ，且该组中，青年人占 50%，中年人占 40%，老年人占 10%.为了了 解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体 职工中抽取一个容量为 200 的样本． (1)在游泳组中，试确定青年人、中年人、老年人分别所占的比例； (2)在游泳组中，试确定青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数． 解析 (1)设登山组人数为 x，在游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为 a、b、c， 则有 x×40%＋3xb 4x ＝47.5%， x×10%＋3xc 4x ＝10%， 解得 b＝50%，c＝10%. 故 a＝100%－50%－10%＝40%，即在游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为 40%、 50%、10%. (2)在游泳组中，抽取的青年人人数为 200× 3 4 ×40%＝60(人)； 抽取的中年人人数为 200× 3 4 ×50%＝75(人)； 抽取的老年人人数为 200× 3 4 ×10%＝15(人)． 15．某公路设计院有工程师 6 人，技术员 12 人，技工 18 人，要从这些人中抽取 n个人参加 市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果 参会人数增加 1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除 1个个体，求 n. 解析 总体容量为 6＋12＋18＝36. 当样本容量是 n时，由题意知，系统抽样的间隔为 36 n ，分层抽样的比例是 n 36 ，抽取的工程师 人数为 n 36 ×6＝ n 6 ，技术员人数为 n 36 ×12＝ n 3 ，技工人数为 n 36 ×18＝ n 2 ，所以 n 应是 6的倍数， 36 的约数，即 n＝6,12,18. 当样本容量为(n＋1)时，总体容量是 35 人，系统抽样的间隔为 35 n＋1 ，因为 35 n＋1 必须是整数， 所以 n只能取 6.即样本容量 n＝6. 16．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了 100 名电视 观众，相关的数据如下表所示： 文艺节目 新闻节目 总计 20 至 40 岁 40 18 58 大于 40 岁 15 27 42 总计 55 45 100 (1)由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？ (2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？ (3)在上述抽取的 5名观众中任取 2名，求恰有 1名观众的年龄为 20 至 40 岁的概率． 解析 (1)因为在 20 至 40 岁的 58 名观众中有 18 名观众收看新闻节目，而大于 40 岁的 42 名 观众中有 27 名观众收看新闻节目，所以，经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的． (2)应抽取大于 40 岁的观众人数为 27 45 ×5＝ 3 5 ×5＝3(名)． (3)用分层抽样方法抽取的 5名观众中，20 至 40 岁有 2名(记为 Y1，Y2)，大于 40 岁有 3名(记 为 A1，A2，A3).5 名观众中任取 2名，共有 10 种不同取法：Y1Y2，Y1A1，Y1A2，Y1A3，Y2A1，Y2A2， Y2A3，A1A2，A1A3，A2A3. 设 A表示随机事件“5名观众中任取 2名，恰有 1名观众年龄为 20 至 40 岁”，则 A中的基本 事件有 6种： Y1A1，Y1A2，Y1A3，Y2A1，Y2A2，Y2A3， 故所求概率为 P(A)＝ 6 10 ＝ 3 5 . 11.3 变量间的相关关系、统计案例(附参考答案) 一、选择题 1．有五组变量： ①汽车的重量和汽车每消耗 1升汽油所行驶的平均路程； ②平均日学习时间和平均学习成绩； ③某人每日吸烟量和身体健康情况； ④圆的半径与面积； ⑤汽车的重量和每千米耗油量． 其中两个变量成正相关的是( ) A．①③ B．②④ C．②⑤ D．④⑤ 解析 由变量的相关关系的概念知，②⑤是正相关，①③是负相关，④为函数关系，故选 C. 答案 C 2.通过随机询问 110 名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由 2 2 2 2( ) 110 (40 30 20 30) 7.8 ( )( )( )( ) 60 50 60 50 n ad bcK K a b c d a c b d                算得, 附表： 2( )P K k 0．050 0．010 0．001 k 3．841 6．635 10．828 参照附表，得到的正确结论是（ ） A．有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B．有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C．在犯错误的概率不超过 0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D．在犯错误的概率不超过 0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 解析 由 2 7.8 6.635K   ，而 2( 6.635) 0.010P K   ， 故由独立性检验的意义可知选 A. 答案 A 3．在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的 结论，并且有 99%以上的把握认为这个结论是成立的，则下列说法中正确的是( )． A．100 个吸烟者中至少有 99 人患有肺癌 B．1个人吸烟，那么这人有 99%的概率患有肺癌 C．在 100 个吸烟者中一定有患肺癌的人 D．在 100 个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有 解析 统计的结果只是说明事件发生可能性的大小，具体到一个个体不一定发生． 答案 D 4．设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是变量 x和 y的 n个样本点，直线 l是由这些样本点 通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论正确的是( )． A．直线 l过点( x ， y ) B．x 和 y 的相关系数为直线 l的斜率 C．x和 y的相关系数在 0到 1之间 D．当 n为偶数时，分布在 l两侧的样本点的个数一定相同 解析 由样本的中心( x ， y )落在回归直线上可知 A正确；x和 y的相关系数表示为 x与 y 之间的线性相关程度，不表示直线 l的斜率，故 B错；x和 y的相关系数应在－1到 1之间， 故 C 错；分布在回归直线两侧的样本点的个数并不绝对平均，即无论样本点个数是奇数还是 偶数，故 D错． 答案 A 5．某产品的广告费用 x与销售额 y的统计数据如下表： 广告费用 x(万元) 4 2 3 5 销售额 y(万元) 49 26 39 54 根据上表可得回归方程ŷ＝b̂x＋â中的b̂为 9.4，据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为 ( )． A．63.6 万元 B．65.5 万元 C．67.7 万元 D．72.0 万元 解析 x ＝ 4＋2＋3＋5 4 ＝3.5(万元)， y ＝ 49＋26＋39＋54 4 ＝42(万元)， ∴â＝ y －b̂ x ＝42－9.4×3.5＝9.1， ∴回归方程为ŷ＝9.4x＋9.1， ∴当 x＝6(万元)时，ŷ＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)． 答案 B 6．已知数组(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)满足线性回归方程ŷ＝bx＋a，则“(x0，y0)满 足线性回归方程ŷ＝bx＋a”是“x0＝ x1＋x2＋…＋x10 10 ，y0＝ y1＋y2＋…＋y10 10 ”的( )． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析 x0，y0为这 10 组数据的平均值，又因为线性回归方程ŷ＝bx＋a 必过样本中心( x ，y )， 因此( x ， y )一定满足线性回归方程，但满足线性回归方程的除了( x ， y )外，可能还有 其他样本点． 答案 B 7．在第 29 届奥运会上，中国健儿取得了 51 金、21 银、28 铜的好成绩，稳居世界金牌榜榜 首，由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列，也有许多人持反对意见．有网友为此进 行了调查，在参加调查的 2 548 名男性公民中有 1 560 名持反对意见，2 452 名女性公民中 有 1 200 人持反对意见，在运用这些数据说明中国的奖牌数是否与中国进入体育强国有无关 系时，用什么方法最有说服力 ( )． A．平均数与方差 B．回归直线方程 C．独立性检验 D．概率 解析 由于参加讨论的公民按性别被分成了两组，而且每一组又被分成了两种情况：认为有 关与无关，故该资料取自完全随机统计，符合 2×2列联表的要求，故用独立性检验最有说服 力． 答案 C 二、填空题 8. 在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1,x2,…,xn不全相等）的散点 图中，若所有样本点（xi，yi）(i=1,2,…,n)都在直线 y= 1 2 x+1 上，则这组样本数据的样本相 关系数为________. 解析 根据样子相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数 为 1. 答案 18 9．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把 500 名使用血清的人与另外 500 名未 使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设 H0：“这种血清不能起到预防感冒的作 用”，利用 2×2列联表计算得 K2≈3.918，经查临界值表知 P(K2≥3.841)≈0.05.则下列结论 中，正确结论的序号是________． ①有 95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”； ②若某人未使用该血清，那么他在一年中有 95%的可能性得感冒； ③这种血清预防感冒的有效率为 95%； ④这种血清预防感冒的有效率为 5%. 解析 K2≈3.918>3.841，而 P(K2≥3.841)≈0.05，所以有 95%的把握认为“这种血清能起到 预防感冒的作用”；但检验的是假设是否成立和该血清预防感冒的有效率是没有关系的，不是 同一个问题，不要混淆，正确序号为①. 答案 ① 10．调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位：万元)和年饮食支出 y(单位：万元)，调查显示 年收入 x与年饮食支出 y具有线性相关关系，并由调查数据得到 y对 x的回归直线方程：ŷ＝ 0.254x＋0.321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加 1 万元，年饮食支出平均增加 ________万元． 解析 由题意，知其回归系数为 0.254，故家庭年收入每增加 1 万元，年饮食支出平均增加 0.254万元． 答案 0.254 11．某小卖部为了了解热茶销售量 y(杯)与气温 x(℃)之间的关系，随机统计了某 4天卖出的 热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表： 气温(℃) 18 13 10 －1 杯数 24 34 38 64 由表中数据算得线性回归方程ŷ＝bx＋a 中的 b≈－2，预测当气温为－5℃时，热茶销售量为 ________杯(已知回归系数 解析 根据表格中的数据可求得 x ＝ 1 4 ×(18＋13＋10－1)＝10， y ＝ 1 4 ×(24＋34＋38＋64) ＝40(杯)． ∴a＝ y －b x ＝40－(－2)×10＝60，∴ŷ＝－2x＋60，当 x＝－5时， ŷ＝－2×(－5)＋60＝70(杯)． 答案 70 12．某医疗研究所为了了解某种血清预防感冒的作用，把 500 名使用过血清的人与另外 500 名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设 H0：“这种血清不能起到预防感冒的 作用”，利用 2×2列联表计算得 K2≈3.918，经查临界值表知 P(K2≥3.841)≈0.05.则下列结 论中，正确结论的序号是________． ①有 95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”； ②若某人未使用该血清，那么他在一年中有 95%的可能性得感冒； ③这种血清预防感冒的有效率为 95%； ④这种血清预防感冒的有效率为 5%. 解析 因为 K2≈3.918≥3.841，而 P(K2≥3.814)≈0.05，所以有 95%的把握认为“这种血清 能起到预防感冒的作用”．要注意我们检验的是假设是否成立和该血清预防感冒的有效率是 没有关系的，不是同一个问题，不要混淆． 答案 ① 三、解答题 13．在某地区的 12～30 岁居民中随机抽取了 10 个人的身高和体重的统计资料如表： 身高(cm) 143 156 159 172 165 171 177 161 164 160 体重(kg) 41 49 61 79 68 69 74 69 68 54 根据上述数据，画出散点图并判断居民的身高和体重之间是否有相关关系． 解析 以 x轴表示身高，y轴表示体重，可得到相应的散点图如图所示： 由散点图可知，两者之间具有相关关系，且为正相关． 14.某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据： 年份 2002 2004 2006 2008 2010 需求量（万吨） 236 246 257 276 286 （Ⅰ）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程 y bx a  ; （Ⅱ）利用（Ⅰ）中所求出的直线方程预测该地 2012 年的粮食需求量。 15．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于 85 分为优秀，85 分以下为非优秀统计 成绩后，得到如下的列联表. 优秀 非优秀 总计 甲班 10 乙班 30 合计 105 已知从全部 105 人中随机抽取 1人为优秀的概率为 2 7 . (1)请完成上面的列联表； (2)根据列联表的数据，若按 95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”； (3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的 10 名学生从 2到 11 进行编 号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到 6号或 10 号的概率． 附 K2＝ n ad－bc 2 a＋b c＋d a＋c b＋d ， 解析 (1) 优秀 非优秀 总计 甲班 10 45 55 乙班 20 30 50 合计 30 75 105 (2)根据列联表中的数据，得到 k＝ 105× 10×30－20×45 2 55×50×30×75 ≈6.109＞3.841， 因此有 95%的把握认为“成绩与班级有关系”． (3)设“抽到 6号或 10 号”为事件 A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为(x，y)， 则所有的基本事件有(1,1)、(1,2)、(1,3)、…、(6,6)，共 36 个． 事件 A包含的基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，共 8个，∴P(A)＝ 8 36 ＝ 2 9 . 16．地震、海啸、洪水、森林大火等自然灾害频繁出现，紧急避险常识越来越引起人们的重 视．某校为了了解学生对紧急避险常识的了解情况，从七年级和八年级各选取 100 名同学进 行紧急避险常识知识竞赛．图 K55－2(1)和图 K55－2(2)分别是对七年级和八年级参加竞赛的 学生成绩按[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]分组，得到的频率分布直方图． 图 K55－2 (1)分别计算参加这次知识竞赛的两个年级学生的平均成绩；(注：统计方法中，同一组数据 常用该组区间的中点值作为代表) (2)完成下面 2×2 列联表，并回答是否有 99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识的 了解有差异”？ 成绩小于 60 分人 数 成绩不小于 60 分人 数 合计 七年级 八年级 合计 附：K2＝ n ad－bc 2 a＋b c＋d a＋c b＋d .临界值表： P(K2≥k) 0.10 0.05 0.010 k 2.706 3.841 6.635 解析 (1)七年级学生竞赛平均成绩为 (45×30＋55×40＋65×20＋75×10)÷100＝56(分)， 八年级学生竞赛平均成绩为 (45×15＋55×35＋65×35＋75×15)÷100＝60(分)． (2)2×2 列联表如下： 成绩小于 60 分人 数 成绩不小于 60 分人数 合计 七年级 70 30 100 八年级 50 50 100 合计 120 80 200 ∴K2＝ 200× 50×30－50×70 2 100×100×120×80 ≈8.333>6.635， ∴有 99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识的了解有差异”． 12.1 随机事件的概率(附参考答案) 一、选择题 1．把 12 人平均分成两组，再从每组里任意指定正、副组长各一人，其中甲被指定为正组长 的概率是( ) A. 1 12 B. 1 6 C. 1 4 D. 1 3 解析 甲所在的小组有 6人，则甲被指定正组长的概率为 1 6 . 答案 B 2．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为 1 70 、 1 69 、 1 68 ，且各道工序 互不影响，则加工出来的零件的次品率为( ) A. 3 68 B. 3 69 C. 3 70 D. 1 70 解析 加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品，由对立事件公式得 加工出来的零件的次品率 69 68 67 31 70 69 68 70 p      . 答案 C 3．某种饮料每箱装 6听，其中有 4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取 2听进行 检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是( ) A. 1 15 B. 3 5 C. 8 15 D. 14 15 解析 记 4听合格的饮料分别为 A1、A2、A3、A4,2 听不合格的饮料分别为 B1、B2，则从中随机抽 取 2听有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)， (A2，B2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共 15 种不同取法， 而至少有一听不合格饮料有(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4， B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共 9种，故所求概率为 P＝ 9 15 ＝ 3 5 . 答案 B 4．某射手在一次射击中，射中 10 环，9环，8环的概率分别是 0.20,0.30,0.10.则此射手在 一次射击中不够 8环的概率为( )． A．0.40 B．0.30 C．0.60 D．0.90 解析 依题意，射中 8 环及以上的概率为 0.20＋0.30＋0.10＝0.60，故不够 8 环的概率为 1 －0.60＝0.40. 答案 A 5．从装有 3个红球、2个白球的袋中任取 3个球，则所取的 3个球中至少有 1个白球的概率 是( )． A. 1 10 B. 3 10 C. 3 5 D. 9 10 解析 法一 (直接法)：所取 3个球中至少有 1 个白球的取法可分为互斥的两类：两红一白 有 6种取法；一红两白有 3种取法，而从 5个球中任取 3个球的取法共有 10 种，所以所求概 率为 9 10 ，故选 D. 法二 (间接法)：至少一个白球的对立事件为所取 3 个球中没有白球，即只有 3 个红球共 1 种取法，故所求概率为 1－ 1 10 ＝ 9 10 ，故选 D. 答案 D 6．掷一枚均匀的硬币两次，事件 M：一次正面朝上，一次反面朝上；事件 N：至少一次正面 朝上，则下列结果正确的是( )． A．P(M)＝ 1 3 ，P(N)＝ 1 2 B．P(M)＝ 1 2 ，P(N)＝ 1 2 C．P(M)＝ 1 3 ，P(N)＝ 3 4 D．P(M)＝ 1 2 ，P(N)＝ 3 4 解析 Ω＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，M＝{(正，反)，(反，正)}，N＝{(正， 正)，(正，反)，(反，正)}，故 P(M)＝ 1 2 ，P(N)＝ 3 4 . 答案 D 7．从 1,2,3,4 这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 ( )． A. 1 6 B. 1 3 C. 1 9 D. 1 2 解析 采用枚举法：从 1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数，基本事件为：{1,2}，{1,3}， {1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共 6个，符合“一个数是另一个数的两倍”的基本事件有{1,2}， {2,4}，共 2个，所以所求的概率为 1 3 . 答案 B 二、填空题 8. 甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局 才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为_______． 答案 3 4 9．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件 A为出现奇数点，事件 B为出现 2点，已知 P(A) ＝ 1 2 ，P(B)＝ 1 6 ，则出现奇数点或 2点的概率为________． 解析 因为事件 A与事件 B是互斥事件，所以 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝ 1 2 ＋ 1 6 ＝ 2 3 . 答案 2 3 10．从装有大小相同的 4个红球，3个白球，3个黄球的袋中，任意取出 2个球，则取出的 2 个颜色相同的概率是________． 解析 概率 P＝ C2 4 C2 10 ＋ C2 3 C2 10 ＋ C2 3 C2 10 ＝ 4 15 . 答案 4 15 11．在△ABC 中，角 A、B、C所对的边分别是 a、b、c，A＝30°，若将一枚质地均匀的正方 体骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为 a、b，则满足条件的三角形有两个解的概率是 _______． 解析 要使△ABC 有两个解，需满足的条件是 a＞bsinA， b＞a 因为 A＝30°，所以 b＜2a， b＞a 满 足此条件的 a，b的值有 b＝3，a＝2；b＝4，a＝3；b＝5，a＝3；b＝5，a＝4；b＝6，a＝4； b＝6，a＝5，共 6种情况，所以满足条件的三角形有两个解的概率是 6 36 ＝ 1 6 . 答案 1 6 12．甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别 为 0.8 和 0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为________． 解析 由对立事件的性质知在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为 1－(1－0.8)(1－ 0.75)＝0.95. 答案 0.95 三、解答题 13．已知 7件产品中有 2件次品，现逐一不放回地进行检验，直到 2件次品都能被确认为止． (1)求检验次数为 3的概率； (2)求检验次数为 5的概率． 解析 (1)设“在 3次检验中，前 2次检验中有 1次检到次品，第 3次检验到次品”为事件 A， 则检验次数为 3的概率为 P(A)＝ C 1 2C 1 5 C2 7 · 1 C1 5 ＝ 2 21 . (2)记“在 5次检验中，前 4次检验中有 1次检到次品，第 5次检验到次品”为事件 B，记“在 5次检验中，没有检到次品”为事件 C，则检验次数为 5的概率为 P＝P(B)＋P(C)＝ C 1 2C 3 5 C4 7 · 1 C1 3 ＋ C 5 5 C5 7 ＝ 5 21 . 14．由经验得知，在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下： 排队人数 0 1 2 3 4 5 人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 求：(1)至多 2人排队的概率； (2)至少 2人排队的概率． 解析 记“没有人排队”为事件 A，“1人排队”为事件 B，“2人排队”为事件 C，A、B、C 彼皮互斥． (1)记“至多 2人排队”为事件 E， 则 P(E)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56. (2)记“至少 2人排队”为事件 D.“少于 2人排队”为事件 A＋B，那么事件 D与事件 A＋B是 对立事件， 则 P(D)＝1－P(A＋B)＝1－[P(A)＋P(B)]＝1－(0.1＋0.16)＝0.74. 15．袋中有 12 个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为 1 4 ，得到黑球或黄球的概率是 5 12 ，得到黄球或绿球的概率是 1 2 ，试求得到黑球、黄球、绿球的 概率各是多少？ 解析 分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件 A、B、C、D.由于 A、B、C、D为互斥事件， 根据已知得到 1 4 ＋P B ＋P C ＋P D ＝1， P B ＋P C ＝ 5 12 ， P C ＋P D ＝ 1 2 ， 解得 P B ＝ 1 4 ， P C ＝ 1 6 ， P D ＝ 1 3 . ∴得到黑球、黄球、绿球的概率各是 1 4 ， 1 6 ， 1 3 . 16．甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设 在一局中，甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4，各局比赛结果相互独立．已知前 2局 中，甲、乙各胜 1局． (1)求再赛 2局结束这次比赛的概率；(2)求甲获得这次比赛胜利的概率． 解析 记 Ai表示事件：第 i局甲获胜，i＝3,4,5，Bj表示事件：第 j局乙获胜，j＝3,4. (1)记 A 表示事件：再赛 2局结束比赛．A＝A3A4＋B3B4. 由于各局比赛结果相互独立，故 P(A)＝P(A3A4＋B3B4)＝P(A3A4)＋P(B3B4)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4) ＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52. (2)记 B 表示事件：甲获得这次比赛的胜利． 因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜 2局，从而 B＝A3A4＋B3A4A5＋A3B4A5， 由于各局比赛结果相互独立，故 P(B)＝P(A3A4)＋P(B3A4A5)＋P(A3B4A5) ＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A5) ＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648. 模拟方法---概率的应用 (附参考答案) 一、选择题 1．取一根长度为 4 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于 1 m 的概率 是( )． A. 1 4 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 解析 把绳子 4等分，当剪断点位于中间两部分时，两段绳子都不少于 1 m，故所求概率为 P ＝ 2 4 ＝ 1 2 . 答案 C 2．在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 M，并以线段 AM 为边作正方形，则这个正方形的面积 介于 36 cm2与 81 cm2之间的概率为( )． A. 1 4 B. 1 3 C. 4 27 D. 4 15 解析 面积为 36 cm 2 时，边长 AM＝6， 面积为 81 cm2时，边长 AM＝9，∴P＝ 9－6 12 ＝ 3 12 ＝ 1 4 . 答案 A 13.4 数学归纳法(附参考答案) 一、选择题 1．用数学归纳法证明命题“当 n是正奇数时，xn＋yn能被 x＋y整除”，在第二步时，正确的 证法是( )． A．假设 n＝k(k∈N＋)，证明 n＝k＋1命题成立 B．假设 n＝k(k 是正奇数)，证明 n＝k＋1命题成立 C．假设 n＝2k＋1(k∈N＋)，证明 n＝k＋1命题成立 D．假设 n＝k(k 是正奇数)，证明 n＝k＋2命题成立 解析 A、B、C中，k＋1不一定表示奇数，只有 D中 k为奇数，k＋2为奇数． 答案 D 2．用数学归纳法证明“2 n ＞n2 ＋1 对于 n≥n0 的正整数 n 都成立”时，第一步证明中的起始 值 n0 应取( ) A．2 B．3 C．5 D．6 解析 分别令 n0＝2,3,5, 依次验证即可． 答案 C 3．对于不等式 n2＋n