【数学】2020届江苏一轮复习通用版13-1空间几何体作业 12页

专题十三　立体几何 ‎【真题典例】‎ ‎13.1　空间几何体 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 空间几何体的结构特征 ‎1.多面体的特征 ‎2.旋转体的特征 ‎★☆☆‎ 表面积 简单几何体表面积求解 ‎★☆☆‎ 体积 ‎1.简单几何体体积求解 ‎2.简单等积变换及体积比例关系 ‎2014江苏,8‎ 圆柱的体积 圆锥侧面积 ‎★★★‎ ‎2015江苏,9‎ 圆柱与圆锥的体积 ‎2017江苏,6‎ 圆柱、球的体积 ‎2018江苏,10‎ 多面体体积 正方体 分析解读　　江苏高考对于几何体的体积几乎是每年必考,一般以小题呈现,基础题居多.考查的方式如下:一是考查简单几何体的体积,以圆锥和圆柱为主;二是考查锥体或者柱体的等体积转换,利用底面积和高的比例关系,寻求体积的比例;三是考查以空间几何体为背景的应用题,结合不等式、导数、函数等有关知识,寻求体积或者表面积的最优解问题;四是考查简单组合体的体积.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　空间几何体的结构特征 ‎　(2019届江苏吴江期初)在正方体上任意选择4个顶点,它们可能是如下各种几何图形的四个顶点,这些几何图形是　　　　(写出所有正确结论的编号). ‎ ‎①矩形;②不是矩形的平行四边形;③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体;④每个面都是等边三角形的四面体;⑤每个面都是直角三角形的四面体.‎ 答案　①③④⑤‎ 考点二　表面积 ‎1.(2018江苏宿迁中学周考)在三棱锥S-ABC中,面SAB,面SBC,面SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形,且AB=BC=CA=2,则三棱锥S-ABC的表面积是　　　　. ‎ 答案　3+‎‎3‎ ‎2.(2019届江苏苏州中学检测)已知圆锥和圆柱的底面半径均为R,高均为3R,则圆锥和圆柱的表面积之比是　　　　. ‎ 答案　‎‎10‎‎+1‎‎8‎ 考点三　体积 ‎1.(2018江苏南师附中考前模拟)直三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长均为2,D为棱B1C1上任意一点,则三棱锥D-A1BC的体积是　　　　. ‎ 答案　‎‎2‎‎3‎‎3‎ ‎2.(2018江苏启东暑期检测)三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D-ABE的体积为V1,P-ABC的体积为V2,则V‎1‎V‎2‎=　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎4‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法一　空间几何体表面积的求解方法 ‎1.(2019届江苏盐城中学检测)已知圆锥的底面直径与高都是2,则该圆锥的侧面积为　　　　. ‎ 答案　‎5‎π ‎2.将半径为5的圆分割成面积之比为1∶2∶3的三个扇形作为三个圆锥的侧面,设这三个圆锥的底面半径依次为r1,r2,r3,则r1+r2+r3=　　　　. ‎ 答案　5‎ 方法二　空间几何体体积的求解方法 ‎1.(2018江苏启东汇龙中学检测)设M,N分别为三棱锥P-ABC的棱AB,PC的中点,三棱锥P-ABC的体积记为V1,三棱锥P-AMN的体积记为V2,则V‎2‎V‎1‎=　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎4‎ ‎2.(2019届江苏淮阴中学暑期检测)已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2,且∠ABC=60°的菱形,侧棱PA⊥底面ABCD,PA=3.若点M是BC的中点,则三棱锥M-PAD的体积为　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎ 方法三　与球有关的切、接问题的求解方法 ‎1.设P,A,B,C是球O表面上的四个点,PA,PB,PC两两垂直,且PA=PB=PC=1 m,则球的体积为　　　　. ‎ 答案　‎3‎π‎2‎ m3‎ ‎2.(2019届江苏海门中学检测)如图,半径为2的半球内有一个内接正六棱锥P-ABCDEF,则此正六棱锥的侧面积是　　　　. ‎ 答案　6‎‎7‎ ‎3.设球O内切于正三棱柱ABC-A1B1C1,则球O的体积与正三棱柱ABC-A1B1C1的体积的比值为　　　　. ‎ 答案　‎‎2‎3‎π‎27‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ A组　自主命题·江苏卷题组 ‎1.(2017江苏,6,5分)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则V‎1‎V‎2‎的值是　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎‎2‎ ‎2.(2014江苏,8,5分)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2,体积分别为V1、V2,若它们的侧面积相等,且S‎1‎S‎2‎=‎9‎‎4‎,则V‎1‎V‎2‎的值是　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎‎2‎ ‎3.(2015江苏,9,5分)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为　　　　. ‎ 答案　‎‎7‎ B组　统一命题、省(区、市)卷题组 考点一　表面积 ‎1.(2018课标全国Ⅱ理,16,5分)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为‎7‎‎8‎,SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为5‎15‎,则该圆锥的侧面积为　　　　. ‎ 答案　40‎2‎π ‎2.(2018课标全国Ⅰ文改编,5,5分)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为　　　　. ‎ 答案　12π ‎3.(2017课标全国Ⅱ文,15,5分)长方体的长,宽,高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为　　　　. ‎ 答案　14π ‎4.(2017课标全国Ⅰ文,16,5分)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为　　　　. ‎ 答案　36π ‎5.(2017课标全国Ⅰ文,18,12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.‎ ‎(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;‎ ‎(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,且四棱锥P-ABCD的体积为‎8‎‎3‎,求该四棱锥的侧面积.‎ 解析　本题考查立体几何中面面垂直的证明和几何体侧面积的计算.‎ ‎(1)证明:由已知∠BAP=∠CDP=90°,‎ 得AB⊥AP,CD⊥PD.‎ 由于AB∥CD,故AB⊥PD,‎ 从而AB⊥平面PAD.‎ 又AB⊂平面PAB,‎ 所以平面PAB⊥平面PAD.‎ ‎(2)在平面PAD内作PE⊥AD,垂足为E.‎ 由(1)知,AB⊥平面PAD,‎ 故AB⊥PE,可得PE⊥平面ABCD.‎ 设AB=x,则由已知可得AD=‎2‎x,PE=‎2‎‎2‎x.‎ 故四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD=‎1‎‎3‎AB·AD·PE=‎1‎‎3‎x3.‎ 由题设得‎1‎‎3‎x3=‎8‎‎3‎,故x=2.‎ 从而PA=PD=2,AD=BC=2‎2‎,PB=PC=2‎2‎.‎ 可得四棱锥P-ABCD的侧面积为‎1‎‎2‎PA·PD+‎1‎‎2‎PA·AB+‎1‎‎2‎PD·DC+‎1‎‎2‎BC2sin 60°=6+2‎3‎.‎ 方法总结　1.面面垂直的证明 证明两个平面互相垂直,可以在一个平面内找一条直线l,证明直线l垂直于另一个平面.‎ ‎2.几何体的表面积 直棱柱的侧面积S侧=C底·l,其他几何体一般要对各个侧面、底面逐个分析求解面积,最后求和.‎ 考点二　体积 ‎1.(2018课标全国Ⅰ文改编,10,5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,则该长方体的体积为　　　　. ‎ 答案　8‎‎2‎ ‎2.(2018课标全国Ⅲ理改编,10,5分)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为9‎3‎,则三棱锥D-ABC体积的最大值为　　　　. ‎ 答案　18‎‎3‎ ‎3.(2018天津理,11,5分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎12‎ ‎4.(2018天津文,11,5分)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1-BB1D1D的体积为　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎3‎ ‎5.(2017课标全国Ⅲ理改编,8,5分)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为　　　　. ‎ 答案　‎‎3π‎4‎ ‎6.(2017课标全国Ⅰ理,16,5分)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为　　　　. ‎ 答案　4‎‎15‎ ‎7.(2015课标Ⅱ文改编,9,5分)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为　　　　. ‎ 答案　144π ‎8.(2016课标全国Ⅲ理改编,11,5分)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是　　　　. ‎ 答案　‎‎9π‎2‎ ‎9.(2015山东改编,7,5分)在梯形ABCD中,∠ABC=π‎2‎,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为　　　　. ‎ 答案　‎‎5π‎3‎ ‎10.(2014陕西改编,5,5分)已知底面边长为1,侧棱长为‎2‎的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为　　　　. ‎ 答案　‎‎4π‎3‎ ‎11.(2016浙江,14,4分)如图,在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D,满足PD=DA,PB=BA,则四面体PBCD的体积的最大值是　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎2‎ ‎12.(2017课标全国Ⅲ文,19,12分)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.‎ ‎(1)证明:AC⊥BD;‎ ‎(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD.若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.‎ 解析　(1)证明:取AC的中点O,连接DO,BO.‎ 因为AD=CD,所以AC⊥DO.‎ 又由于△ABC是正三角形,所以AC⊥BO.‎ 又BO∩DO=O,从而AC⊥平面DOB,故AC⊥BD.‎ ‎(2)连接EO.‎ 由(1)及题设知∠ADC=90°,‎ 所以DO=AO.‎ 在Rt△AOB中,BO2+AO2=AB2.‎ 又AB=BD,‎ 所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,‎ 故∠DOB=90°.‎ 由题设知△AEC为直角三角形,‎ 所以EO=‎1‎‎2‎AC.‎ 又△ABC是正三角形,且AB=BD,‎ 所以EO=‎1‎‎2‎BD.‎ 故E为BD的中点,‎ 从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的‎1‎‎2‎,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的‎1‎‎2‎,‎ 即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1∶1.‎ C组　教师专用题组 ‎1.(2013江苏,8,5分)如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三棱锥F-ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2,则V1∶V2=　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎24‎ ‎2.(2012江苏,7,5分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=3 cm,AA1=2 cm,则四棱锥A-BB1D1D的体积为　　　　cm3. ‎ 答案　6‎ ‎3.(2016课标全国Ⅱ改编,4,5分)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为　　　　. ‎ 答案　12π ‎4.(2014山东,13,5分)一个六棱锥的体积为2‎3‎,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为　　　　. ‎ 答案　12‎ ‎5.(2014福建,19,12分)如图,三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD.‎ ‎(1)求证:CD⊥平面ABD;‎ ‎(2)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥A-MBC的体积.‎ 解析　(1)证明:∵AB⊥平面BCD,CD⊂平面BCD,‎ ‎∴AB⊥CD.‎ 又∵CD⊥BD,AB∩BD=B,AB⊂平面ABD,BD⊂平面ABD,‎ ‎∴CD⊥平面ABD.‎ ‎(2)解法一:由AB⊥平面BCD,得AB⊥BD.‎ ‎∵AB=BD=1,∴S△ABD=‎1‎‎2‎.‎ ‎∵M是AD的中点,∴S△ABM=‎1‎‎2‎S△ABD=‎1‎‎4‎.‎ 由(1)知,CD⊥平面ABD,‎ ‎∴三棱锥C-ABM的高h=CD=1,‎ 因此三棱锥A-MBC的体积VA-MBC=VC-ABM=‎1‎‎3‎S△ABM·h=‎1‎‎12‎.‎ 解法二:如图,过点M作MN⊥BD交BD于点N,‎ 由AB⊥平面BCD知,平面ABD⊥平面BCD,‎ 又平面ABD∩平面BCD=BD,‎ 所以MN⊥平面BCD,‎ 且MN=‎1‎‎2‎AB=‎1‎‎2‎,‎ 又CD⊥BD,BD=CD=1,‎ ‎∴S△BCD=‎1‎‎2‎.‎ ‎∴三棱锥A-MBC的体积VA-MBC=VA-BCD-VM-BCD ‎=‎1‎‎3‎AB·S△BCD-‎1‎‎3‎MN·S△BCD=‎1‎‎12‎.‎ 评析本题主要考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及几何体的体积等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想.‎ ‎6.(2014江西,19,12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥BC,A1B⊥BB1.‎ ‎(1)求证:A1C⊥CC1;‎ ‎(2)若AB=2,AC=‎3‎,BC=‎7‎,问AA1为何值时,三棱柱ABC-A1B1C1体积最大,并求此最大值.‎ 解析　(1)证明:由AA1⊥BC知BB1⊥BC,‎ 又BB1⊥A1B,‎ 故BB1⊥平面BCA1,‎ 则BB1⊥A1C,‎ 又BB1∥CC1,‎ 所以A1C⊥CC1.‎ ‎(2)解法一:设AA1=x,‎ 在Rt△A1BB1中,A1B=A‎1‎B‎1‎‎2‎‎-BB‎1‎‎2‎=‎4-‎x‎2‎.‎ 同理,A1C=A‎1‎C‎1‎‎2‎‎-CC‎1‎‎2‎=‎3-‎x‎2‎.‎ 在△A1BC中,cos∠BA1C=‎A‎1‎B‎2‎‎+A‎1‎C‎2‎-BC‎2‎‎2A‎1‎B·A‎1‎C ‎=-x‎2‎‎(4-x‎2‎)(3-x‎2‎)‎,sin∠BA1C=‎12-7‎x‎2‎‎(4-x‎2‎)(3-x‎2‎)‎,‎ 所以S‎△A‎1‎BC=‎1‎‎2‎A1B·A1C·sin∠BA1C=‎12-7‎x‎2‎‎2‎.‎ 从而三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S‎△A‎1‎BC·AA1=x‎12-7‎x‎2‎‎2‎.‎ 因为x‎12-7‎x‎2‎=‎12x‎2‎-7‎x‎4‎=‎-7x‎2‎‎-‎‎6‎‎7‎‎2‎+‎‎36‎‎7‎,‎ 故当x=‎6‎‎7‎=‎42‎‎7‎,即AA1=‎42‎‎7‎时,体积V取到最大值‎3‎‎7‎‎7‎.‎ 解法二:过A1作BC的垂线,垂足为D,连接AD.‎ 由于AA1⊥BC,A1D⊥BC,‎ 故BC⊥平面AA1D,BC⊥AD.‎ 又∠BAC=90°,‎ 所以S△ABC=‎1‎‎2‎AD·BC=‎1‎‎2‎AB·AC,得AD=‎2‎‎21‎‎7‎.‎ 设AA1=x,在Rt△AA1D中,‎ A1D=AD‎2‎-AA‎1‎‎2‎=‎12‎‎7‎‎-‎x‎2‎,‎ S‎△A‎1‎BC‎=‎1‎‎2‎A1D·BC=‎12-7‎x‎2‎‎2‎.‎ 从而三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S‎△A‎1‎BC·AA1=x‎12-7‎x‎2‎‎2‎.‎ 因为x‎12-7‎x‎2‎=‎12x‎2‎-7‎x‎4‎=‎-7x‎2‎‎-‎‎6‎‎7‎‎2‎+‎‎36‎‎7‎,‎ 故当x=‎6‎‎7‎=‎42‎‎7‎,‎ 即AA1=‎42‎‎7‎时,体积V取到最大值‎3‎‎7‎‎7‎.‎ 评析本题考查线线、线面垂直的判定,空间几何体的体积及其最值的求解,考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力,正确表示几何体的体积是解决本题的关键.‎ ‎【三年模拟】‎ 一、填空题(每小题5分,共50分)‎ ‎1.(2019届江苏启东期初)底面边长为2 m,高为1 m的正三棱锥的表面积为　　　　m2. ‎ 答案　3‎‎3‎ ‎2.(2018江苏南京学情调研)将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周,所得圆柱的体积为27π cm3,则该圆柱的侧面积为　　　　cm2. ‎ 答案　18π ‎3.(2018江苏苏州暑假测试)如图,正四棱锥P-ABCD的底面一边AB的长为2‎3‎ cm,侧面积为8‎3‎ cm2,则它的体积为　　　　cm3. ‎ 答案　4‎ ‎4.(2019届江苏海门实验学校周考)已知正四棱柱的底面边长为3 cm,侧面的对角线长是3‎5‎cm,则这个正四棱柱的体积是 cm3. ‎ 答案　54‎ ‎5.(2019届江苏海安中学月考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为　　　　. ‎ 答案　‎‎9π‎2‎ ‎6.(2018江苏无锡期末)直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB⊥BC,AB=3,BC=4,AA1=5,若三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积为　　　　. ‎ 答案　50π ‎7.(2018江苏苏锡常镇四市调研)若正四棱锥的底面边长为2 cm,侧面积为8 cm2,则它的体积为　　　　cm3. ‎ 答案　‎‎4‎‎3‎‎3‎ ‎8.(2018江苏盐城中学月考)如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=4,AA1=6.若E,F分别是棱BB1,CC1上的点,则三棱锥A-A1EF的体积是　　　　. ‎ 答案　8‎‎3‎ ‎9.(2019届江苏清江中学期初)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若四边形AA1C1C是边长为4的正方形,且AB=3,BC=5,M是AA1的中点,则三棱锥A1-MBC1的体积为　　　　. ‎ 答案　4‎ ‎10.(2019届江苏苏州实验中学月考)已知圆锥的高为6,体积为8.用平行于圆锥底面的平面截圆锥,得到的圆台的体积是7,则该圆台的高为　　　　. ‎ 答案　3‎ 二、解答题(共10分)‎ ‎11.(2018江苏南京、盐城高三二模)在边长为4的正方形ABCD内剪去四个全等的等腰三角形(如图1中阴影部分),将剩下的部分折叠成底面边长为‎2‎的正四棱锥S-EFGH(如图2),求正四棱锥S-EFGH的体积.‎ 解析　设题图1中△BEF的边EF上的高为h1,‎ 则BD=‎2‎+2h1,‎ 在四棱锥S-EFGH中,斜高为h1,设高为h2,‎ 由BD=4‎2‎=‎2‎+2h1,‎ 得h1=‎3‎‎2‎‎2‎,‎ ‎∴h2=h‎1‎‎2‎‎-‎‎2‎‎2‎‎2‎=‎9‎‎2‎‎-‎‎1‎‎2‎=2,‎ ‎∴VS-EFGH=‎1‎‎3‎S四边形EFGH×h2=‎1‎‎3‎×2×2=‎4‎‎3‎.‎