数学卷·2018届安徽省蚌埠市怀远三中高二上学期第二次月考数学试卷（理科） （解析版） 17页

‎2016-2017学年安徽省蚌埠市怀远三中高二（上）第二次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一．选择题：‎ ‎1．在△ABC中，a=10，B=60°，C=45°，则c等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知命题p，q，若命题“￢p”与命题“p∨q”都是真命题，则（　　）‎ A．p为真命题，q为假命题 B．p，q均为假命题 C．p，q均为真命题 D．p为假命题，q为真命题 ‎3．命题“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是（　　）‎ A．∀x∈R，x2+1＜1 B．∃x∈R，x2+1≤1 C．∃x∈R，x2+1＜1 D．∃x∈R，x2+1≥1‎ ‎4．设a，b，c∈R，且a＞b，则（　　）‎ A．ac＞bc B． C．a2＞b2 D．a3＞b3‎ ‎5．已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z=x﹣y的最小值是（　　）‎ A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2‎ ‎6．已知不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则不等式2x2+bx+a＜0的解集为（　　）‎ A． B．‎ C．{x|﹣2＜x＜1} D．{x|x＜﹣2，或x＞1}‎ ‎7．如果等差数列{an}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（　　）‎ A．14 B．21 C．28 D．35‎ ‎8．边长为1，，的三角形，它的最大角与最小角的和是（　　）‎ A．60° B．120° C．135° D．150°‎ ‎9．下列函数中，最小值为2的是（　　）‎ A．y=x+ B．y=sinx+，x∈（0，）‎ C．y=4x+2x，x∈[0，+∞） D．y=‎ ‎10．设a，b，c是三角形ABC的边长，对任意实数x，f（x）=b2x2+（b2+c2﹣a2）x+c2有（　　）‎ A．f（x）=0 B．f（x）＞0 C．f（x）≥0 D．f（x）＜0‎ ‎11．已知数列{an}满足log3an+1=log3an+1（n∈N*），且a2+a4+a6=9，则log（a5+a7+a9）的值是（　　）‎ A．﹣ B．﹣5 C．5 D．‎ ‎12．已知命题p：m＞2，命题q：x2+2x﹣m＞0对x∈[1，2]恒成立．若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．2＜m＜3 B．m＞2 C．m＜﹣1或m＞2 D．m＜﹣1‎ ‎　‎ 二．填空题：‎ ‎13．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=40米，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB=　　米．‎ ‎14．设x∈R，则“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的　　条件．‎ ‎15．若a＞0，b＞0，且a+b=2，则的最小值为　　．‎ ‎16．已知数列{an}的前n项和Sn=﹣n2+kn（k∈NΦ），且Sn的最大值为8，则a2=　　．‎ ‎　‎ 三．解答题：‎ ‎17．解不等式组．‎ ‎18．在△ABC中，sin（C﹣A）=1，sinB=．‎ ‎（Ⅰ）求sinA的值；‎ ‎（Ⅱ）设AC=，求△ABC的面积．‎ ‎19．已知单调递增的等比数列{an}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项 ‎①求数列{an}的通项公式；‎ ‎②设bn=anlog2an，求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎20．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元．对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润．该公司如何正确规划投资，才能在这两个项目上共获得的利润最大，最大利润是多少？‎ ‎21．已知p：∀x∈R，mx2+4mx﹣4＜0为真命题．‎ ‎（1）求实数m取值的集合M．‎ ‎（2 ） 设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要不充分条件，求a的取值范围．‎ ‎22．已知数列{an}是等比数列，a1=2，a3=18．数列{bn}是等差数列，b1=2，b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3＞20．‎ ‎（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎（2）设Pn=b1+b4+b7+…+b3n﹣2，Qn=b10+b12+b14+…+b2n+8，其中n=1，2，3，…．试比较Pn与Qn的大小，并证明你的结论．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年安徽省蚌埠市怀远三中高二（上）第二次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题：‎ ‎1．在△ABC中，a=10，B=60°，C=45°，则c等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】先求A，再利用正弦定理可求．‎ ‎【解答】解：由题意，A=75°根据正弦定理得：，即，‎ 故选B ‎　‎ ‎2．已知命题p，q，若命题“￢p”与命题“p∨q”都是真命题，则（　　）‎ A．p为真命题，q为假命题 B．p，q均为假命题 C．p，q均为真命题 D．p为假命题，q为真命题 ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】：由命题“￢p”与命题“p∨q”都是真命题，可知命题p为假命题，q为真命题 ‎【解答】解：∵命题“￢p”与命题“p∨q”都是真命题，‎ ‎∴命题p为假命题，q为真命题 故选D ‎　‎ ‎3．命题“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是（　　）‎ A．∀x∈R，x2+1＜1 B．∃x∈R，x2+1≤1 C．∃x∈R，x2+1＜1 D．∃x∈R，x2+1≥1‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】全称命题：“∀x∈A，P（x）”的否定是特称命题：“∃x∈‎ A，非P（x）”，结合已知中原命题“∀x∈R，都有有x2+1≥1”，易得到答案．‎ ‎【解答】解：∵原命题“∀x∈R，有x2+1≥1”‎ ‎∴命题“∀x∈R，有x2+1≥1”的否定是：‎ ‎∃x∈R，使x2+1＜1．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎4．设a，b，c∈R，且a＞b，则（　　）‎ A．ac＞bc B． C．a2＞b2 D．a3＞b3‎ ‎【考点】不等关系与不等式．‎ ‎【分析】对于A、B、C可举出反例，对于D利用不等式的基本性质即可判断出．‎ ‎【解答】解：A、3＞2，但是3×（﹣1）＜2×（﹣1），故A不正确；‎ B、1＞﹣2，但是，故B不正确；‎ C、﹣1＞﹣2，但是（﹣1）2＜（﹣2）2，故C不正确；‎ D、∵a＞b，∴a3＞b3，成立，故D正确．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z=x﹣y的最小值是（　　）‎ A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】已知可行域画可行域不等式组，根据z为目标函数纵截距，画直线0=x﹣y．平移可得直线，可得z的最值．‎ ‎【解答】解：∵不等式组 画可行域如图，画直线0=x﹣y，‎ ‎∵z=x﹣y 平移直线0=x﹣y过点A（0，1）时z有最小值zmin=0﹣1=﹣1；‎ 则z=x﹣y的最小值为﹣1，‎ 故选A；‎ ‎　‎ ‎6．已知不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则不等式2x2+bx+a＜0的解集为（　　）‎ A． B．‎ C．{x|﹣2＜x＜1} D．{x|x＜﹣2，或x＞1}‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，ax2+bx+2=0的两根为﹣1，2，且a＜0，根据韦达定理，我们易得a，b的值，代入不等式2x2+bx+a＜0 易解出其解集．‎ ‎【解答】解：∵不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，‎ ‎∴ax2+bx+2=0的两根为﹣1，2，且a＜0‎ 即﹣1+2=﹣‎ ‎（﹣1）×2=‎ 解得a=﹣1，b=1则不等式可化为2x2+x﹣1＜0 ‎ 解得 ‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎7．如果等差数列{an}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（　　）‎ A．14 B．21 C．28 D．35‎ ‎【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】由等差数列的性质求解．‎ ‎【解答】解：a3+a4+a5=3a4=12，a4=4，‎ ‎∴a1+a2+…+a7==7a4=28‎ 故选C ‎　‎ ‎8．边长为1，，的三角形，它的最大角与最小角的和是（　　）‎ A．60° B．120° C．135° D．150°‎ ‎【考点】余弦定理的应用．‎ ‎【分析】由题意可得，边长为的边对的角不是最大角、也不是最小角，设此角为θ，则由余弦定理可得cosθ 的值，即可求出θ的大小，则180°﹣θ即为所求．‎ ‎【解答】解：由题意可得，边长为的边对的角不是最大角、也不是最小角，设此角为θ，‎ 则由余弦定理可得cosθ==，∴θ=45°，‎ 故三角形的最大角与最小角的和是180°﹣45°=135°，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．下列函数中，最小值为2的是（　　）‎ A．y=x+ B．y=sinx+，x∈（0，）‎ C．y=4x+2x，x∈[0，+∞） D．y=‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】在A中，当x＞0时，y=x+≥2；当x＜0时，y=x+≤‎ ‎﹣2；在B中，由sinx＜1，知y=sinx+的最小值不为2；在C中，当x=0时，y=4x+2x取最小值为2；在D中，由，得y=的最小值不是2．‎ ‎【解答】解：在A中，当x＞0时，y=x+≥2=2，‎ 当且仅当x=时，取等号；‎ 当x＜0时，y=x+≤﹣2=﹣2，‎ 当且仅当x=时，取等号．故A错误；‎ 在B中，∵x∈（0，），∴sinx∈（0，1），‎ ‎∴y=sinx+≥=2，‎ 当且仅当sinx=，即sinx=1时，取等号，‎ 由sinx＜1，知y=sinx+的最小值不为2．故B错误；‎ 在C中，∵x∈[0，+∞），∴4x∈[1，+∞），2x∈[1，+∞），‎ ‎∴当x=0时，y=4x+2x取最小值为2，故C正确；‎ 在D中，y===2，‎ 当且仅当，即时取等号，‎ ‎∵，∴y=的最小值不是2，故D错误．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．设a，b，c是三角形ABC的边长，对任意实数x，f（x）=b2x2+（b2+c2﹣a2）x+c2有（　　）‎ A．f（x）=0 B．f（x）＞0 C．f（x）≥0 D．f（x）＜0‎ ‎【考点】余弦定理；二次函数的性质．‎ ‎【分析】根据余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA的式子，将函数化简为f（x）=b2x2+（2bccosA）x+c2，再根据二次函数的图象与性质加以计算，可得函数图象对应的抛物线开口向上且与x轴没有公共点，可得本题的答案．‎ ‎【解答】解：在△ABC中，根据余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，‎ ‎∴b2+c2﹣a2=2bccosA，‎ 因此函数可化为：f（x）=b2x2+（2bccosA）x+c2，‎ ‎∵，‎ ‎∴函数y=f（x）的图象是开口向上的抛物线，且与x轴没有公共点．‎ 由此可得：对任意实数x，f（x）＞0恒成立．‎ 故选：B ‎　‎ ‎11．已知数列{an}满足log3an+1=log3an+1（n∈N*），且a2+a4+a6=9，则log（a5+a7+a9）的值是（　　）‎ A．﹣ B．﹣5 C．5 D．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】数列{an}满足log3an+1=log3an+1（n∈N*），可得an+1=3an＞0，数列{an}是等比数列，公比q=3．又a2+a4+a6=9，a5+a7+a9=33×9，再利用对数的运算性质即可得出．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}满足log3an+1=log3an+1（n∈N*），‎ ‎∴an+1=3an＞0，‎ ‎∴数列{an}是等比数列，公比q=3．‎ 又a2+a4+a6=9，‎ ‎∴=a5+a7+a9=33×9=35，‎ 则log（a5+a7+a9）==﹣5．‎ 故选；B．‎ ‎　‎ ‎12．已知命题p：m＞2，命题q：x2+2x﹣m＞0对x∈[1，2]恒成立．若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．2＜m＜3 B．m＞2 C．m＜﹣1或m＞2 D．m＜﹣1‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用；函数恒成立问题．‎ ‎【分析】x2+2x﹣m＞0对x∈[1，2]恒成立，即m＜x2+2x，x∈[1，2]的最小值；进而求两个m范围的交集，可得答案．‎ ‎【解答】解：若x2+2x﹣m＞0对x∈[1，2]恒成立．‎ 则m＜x2+2x对x∈[1，2]恒成立．‎ 当x=1时，x2+2x取最小值3，‎ 故m＜3，‎ 即命题q：m＜3，‎ 若p∧q为真命题，则，‎ 解得：2＜m＜3，‎ 故选：A ‎　‎ 二．填空题：‎ ‎13．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=40米，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB=　20　米．‎ ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【分析】先根据三角形的内角和求出∠CBD，再根据正弦定理求得BC，进而在直角三角形ACB中根据∠ACB及BC，进而求得AB．‎ ‎【解答】解：∠CBD=180°﹣∠BCD﹣∠BDC=135°，‎ 根据正弦定理得BC==20，‎ ‎∴AB=tan∠ACB•CB==20，‎ 故答案为20．‎ ‎　‎ ‎14．设x∈R，则“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的　充分而不必要　条件．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】由2x2+x﹣1＞0，解得，或x＜﹣1．即可判断出．‎ ‎【解答】解：由2x2+x﹣1＞0，解得，或x＜﹣1．‎ ‎∴“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的充分而不必要条件．‎ 故答案为：充分而不必要．‎ ‎　‎ ‎15．若a＞0，b＞0，且a+b=2，则的最小值为　8　．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：∵a＞0，b＞0，且a+b=2，‎ 则====8，当且仅当b=3a=时取等号．‎ 故答案为：8．‎ ‎　‎ ‎16．已知数列{an}的前n项和Sn=﹣n2+kn（k∈NΦ），且Sn的最大值为8，则a2=　　．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】利用二次函数的单调性可得k，再利用递推式即可得出a2．‎ ‎【解答】解：前n项和Sn=﹣n2+kn=（n﹣k）2+，‎ 当n=k时，Sn取得最大值=8，k∈N*，解得k=4．‎ ‎∴Sn=+4n，‎ ‎∴a2=S2﹣S1=﹣=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三．解答题：‎ ‎17．解不等式组．‎ ‎【考点】其他不等式的解法；二元一次不等式组．‎ ‎【分析】分别求解分式不等式、二次不等式即可求解原不等式组 ‎【解答】解：由可得 解可得，﹣2≤x＜6 …‎ 由2x2﹣x﹣1＞0可得（2x+1）（x﹣1）＞0‎ 解可得，x或x＞1 …‎ 所以，原不等式组的解为[﹣2，）∪（1，6）…‎ ‎　‎ ‎18．在△ABC中，sin（C﹣A）=1，sinB=．‎ ‎（Ⅰ）求sinA的值；‎ ‎（Ⅱ）设AC=，求△ABC的面积．‎ ‎【考点】解三角形．‎ ‎【分析】（I）利用sin（C﹣A）=1，求出A，C关系，通过三角形内角和结合sinB=，求出sinA的值；‎ ‎（II）通过正弦定理，利用（I）及AC=，求出BC，求出sinC，然后求△‎ ABC的面积．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）因为sin（C﹣A）=1，所以，且C+A=π﹣B，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又sinA＞0，∴‎ ‎（Ⅱ）如图，由正弦定理得 ‎∴，‎ 又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=‎ ‎∴‎ ‎　‎ ‎19．已知单调递增的等比数列{an}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项 ‎①求数列{an}的通项公式；‎ ‎②设bn=anlog2an，求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】①根据条件，建立方程组即可求出数列{an}的通项公式；‎ ‎②利用错位相减法求出数列的前n项和Sn ‎【解答】解：①∵a3+2是a2，a4的等差中项，‎ ‎∴2（a3+2）=a2+a4，‎ 即，‎ 又a2+a3+a4=28，‎ 即，‎ ‎∴q=（舍去）或q=2，‎ ‎∴a1=2，‎ ‎∴an=2n．‎ ‎②由①知an=2n．‎ ‎∴bn=anlog2an=n•2n，‎ ‎∴，‎ ‎∴两式相减得，，‎ 即．‎ ‎　‎ ‎20．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元．对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润．该公司如何正确规划投资，才能在这两个项目上共获得的利润最大，最大利润是多少？‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】这是一个简单的投资分析，因为对乙项目投资获利较大，故在投资规划要求内（对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍），尽可能多地安排资金投资于乙项目，即对项目甲的投资等于对项目乙投资的 倍可获最大利润．这是最优解法．‎ ‎【解答】解：因为对乙项目投资获利较大，‎ 故在投资规划要求内（对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍）‎ 尽可能多地安排资金投资于乙项目，‎ 即对项目甲的投资等于对项目乙投资的倍可获最大利润．这是最优解法．‎ 即对甲项目投资24万元，对乙项目投资36万元，可获最大利润31.2万元．‎ ‎　‎ ‎21．已知p：∀x∈R，mx2+4mx﹣4＜0为真命题．‎ ‎（1）求实数m取值的集合M．‎ ‎（2 ） 设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要不充分条件，求a的取值范围．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】（1）根据一元二次不等式的性质进行转化求解即可．‎ ‎（2）根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）命题p为真命题，即不等式m{x^2}+4mx﹣4＜0在R上恒成立．当m=0时，不等式为﹣4＜0，恒成立，所以m=0符合题意．‎ 当m≠0时，不等式恒成立应有．‎ 解得﹣1＜m＜0，‎ 综上﹣1＜m≤0，‎ 故实数m的取值的范围是M=（﹣1，0]，‎ ‎（2）因为x∈N是x∈M的必要不充分条件．‎ 所以M⊊N．‎ 当a＞2﹣a即a＞1时，不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N=（2﹣a，a），‎ 则．，得a≥3；‎ 当a＜2﹣a即a＜1时，不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N=（a，2﹣a}，‎ 有：．，得a≤﹣1；‎ 当a=2﹣a即a=1时，不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N=∅，不满足条件．‎ 综上a∈（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．‎ ‎　‎ ‎22．已知数列{an}是等比数列，a1=2，a3=18．数列{bn}是等差数列，b1=2，b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3＞20．‎ ‎（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎（2）设Pn=b1+b4+b7+…+b3n﹣2，Qn=b10+b12+b14+…+b2n+8，其中n=1，2，3，…．试比较Pn与Qn的大小，并证明你的结论．‎ ‎【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和．‎ ‎【分析】（1）由等比数列通项公式，结合题意算出数列{an}的公比q=±3．讨论可得当q=﹣3时与题意矛盾，故q=3可得an=2×3n﹣1．由此得到{bn}的前4项和等于a1+a2+a3=26，利用等差数列的通项公式算出公差d=3，得bn=3n﹣1；‎ ‎（2）根据等差数列的性质，可得b1，b4，b7，…，b3n﹣2和b10，b12，b14，…，b2n+8分别组成以3d、2d为公差的等差数列，由等差数列求和公式算出Pn=n2﹣n、Qn=3n2+26n．作差后，因式分解得Pn﹣Qn=n（n﹣19），结合n为正整数加以讨论，即可得到Pn与Qn的大小关系，从而使本题得到解决．‎ ‎【解答】解：（1）设{an}的公比为q，由a3=a1q2得q2==9，q=±3．‎ ‎①当q=﹣3时，a1+a2+a3=2﹣6+18=14＜20，‎ 这与a1+a2+a3＞20矛盾，故舍去．‎ ‎②当q=3时，a1+a2+a3=2+6+18=26＞20，故符合题意．‎ ‎∴an=a1qn﹣1=2×3n﹣1‎ 设数列{bn}的公差为d，由b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3=26，‎ 得4b1+d=26，结合b1=2，解之得d=3，‎ 所以bn=bn+（n﹣1）d=2+3（n﹣1）=3n﹣1‎ 综上所述，数列{an}，{bn}的通项公式分别为an=2×3n﹣1、bn=3n﹣1；‎ ‎（2）∵b1，b4，b7，…，b3n﹣2组成以3d为公差的等差数列，‎ ‎∴Pn=nb1+•3d=n2﹣n；‎ 同理可得：b10，b12，b14，…，b2n+8组成以2d为公差的等差数列，且b10=29，‎ ‎∴Qn=nb10+•2d=3n2+26n．‎ 因此，Pn﹣Qn=（n2﹣n）﹣（3n2+26n）=n（n﹣19）．‎ 所以对于正整数n，当n≥20时，Pn＞Qn；当n=19时，Pn=Qn；当n≤18时，Pn＜Qn．‎ ‎　‎