河南省开封市五县联考2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题 19页

开封五县联考高二期中考试 数学（理科）‎ 考生注意：‎ ‎1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分l50分，考试时间120分钟.‎ ‎2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫来黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.‎ ‎3.本卷命题范围：必修5第二、三章，21第二章双曲线结束.‎ 第I卷（选择题共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.下列命题是真命题的是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据基本初等函数的值域来对各选项中的特称或全称命题的真假进行判断.‎ ‎【详解】对于选项A，，，A选项错误；‎ 对于B选项，，，所以，不存在，使得，B选项错误；‎ 对于C选项，，，所以，，，C选项正确；‎ 对于D选项，，，D选项错误.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查全称命题和特称命题真假的判断，常用逻辑推证法或特例法来进行判断，考查推理能力，属于基础题.‎ ‎2.双曲线的焦点坐标为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断双曲线的焦点位置，计算出双曲线的半焦距，即可得出双曲线的焦点坐标.‎ ‎【详解】由题意知，双曲线的焦点在轴上，半焦距为，‎ 因此，双曲线的焦点坐标为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线焦点坐标的求解，要判断出双曲线焦点的位置，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎3.在等比数列中，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等比中项的性质可求出的值.‎ ‎【详解】由等比中项的性质得，因此，.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查等比中项的计算，在解题时还要注意所求项的符号，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎4.“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式，利用集合的包含关系可对两条件之间的关系进行判断.‎ ‎【详解】由得，故“”是“”的必要不充分条件.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，一般转化为两集合的包含关系，同时也可以逻辑关系来进行判断，考查推理能力，属于基础题.‎ ‎5.已知椭圆的上顶点为，左、右两焦点分别为、，若为等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得出，可得出，从而可求出椭圆的离心率.‎ ‎【详解】设椭圆的焦距为，由于为等边三角形，则，‎ ‎，由题意可得，因此，椭圆的离心率为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，同时也考查了椭圆定义的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎6.若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的渐近线方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设双曲线的焦距为，由题意得出关于、、的关系式，求出、的等量关系，即可求出双曲线的渐近线方程.‎ ‎【详解】设双曲线的焦距为，根据实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，得，‎ 则，即，即，，则，‎ ‎.‎ 因此，双曲线的渐近线方程为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求解，解题的关键就是根据题中条件得出、的等量关系，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎7.已知，，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将代数式展开，然后利用基本不等式可求出该代数式的最小值.‎ ‎【详解】，，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立.‎ 因此，的最小值为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，在利用基本不等式时要注意“一正、二定、三相等”条件的成立，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎8.已知椭圆两焦点间的距离为，且过点，则椭圆的标准方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用椭圆的定义求出，再结合半焦距求出的值，从而可得出椭圆的标准方程.‎ ‎【详解】由题意知，椭圆的焦点坐标为，‎ 由椭圆的定义得，，.‎ 因此，椭圆的标准方程为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆标准方程求解，在涉及椭圆的焦点时，可以充分利用椭圆的定义来求解，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎9.已知等差数列的前项和为，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的前项和公式以及等差中项的性质可得出的值.‎ ‎【详解】由等差数列的前项和公式得，解得.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查利用等差数列前项和公式以及等差中项性质的应用，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎10.设命题若函数是减函数，则，命题若函数在上是单调递增，则.那么下列命题为真命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断出命题、的真假，然后利用复合命题的真假判断出各选项中命题的真假.‎ ‎【详解】若函数是减函数，则，解得，命题为真命题；‎ 若函数在上是单调递增，其对称轴为直线，则，解得，命题为假命题.‎ 因此，为假，为假，为假，为真.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查复合命题真假的判断，同时也考查了指数函数与二次函数的单调性，解题的关键就是判断出各简单命题的真假，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎11.设、分别为双曲线的左、右顶点，、是双曲线上关于轴对称的不同两点，设直线、的斜率分别为、，若，则双曲线的离心率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设点，则点，由点在双曲线上得出，然后利用斜率公式得出，由此可计算出双曲线的离心率.‎ ‎【详解】设点.则，，，‎ 则，又，即，，‎ 由有，，因此，双曲线的离心率为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，同时也考查双曲线方程的应用，解题的关键在将点横坐标与纵坐标通过点的坐标满足双曲线方程建立等式求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎12.已知椭圆，点为椭圆上位于第一象限一点，为坐标原点，过椭圆左顶点作直线，交椭圆于另一点，若，则直线的斜率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设点，，由题意得出，可得出，然后将点、‎ 的坐标代入椭圆方程，得出、，即可求出直线的斜率.‎ ‎【详解】由题知，设，.‎ 则，可得，，，‎ 点、都在椭圆上，，解得，，因此，直线的斜率为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查直线斜率的求解，同时也考查了直线与椭圆的综合问题，在涉及平行线截椭圆所得弦长的比例关系时，可转化为共线向量比的问题求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.命题“”否定为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】因为特称命题的否定是全称命题，先改变量词，再否定结论，‎ 所以命题“”的否定为，‎ 故答案为.‎ ‎14.已知实数、满足约束条件，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式组所表示的可行域，平移直线，观察该直线在 轴上的截距最小时对应的最优解，代入目标函数即可得出结果.‎ ‎【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：‎ 联立，解得，得点，‎ 平移直线，当直线经过可行域的顶点时，该直线在轴上的截距取最小值，此时，目标函数取得最小值.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般要作出可行域，利用数形结合思想来求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.‎ ‎15.在数列中，，，若对于任意的，恒成立，则实数的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用待定系数法得出，然后由参变量分离法得出，并利用单调性的定义分析数列，求出该数列的最大项的值，从而可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】由有，‎ 故数列为首项为，公比为的等比数列，可得.‎ 不等式可化为，‎ 令，当时；当时，.‎ 故当时，，故，‎ ‎，因此，实数最小值是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用待定系数法求数列通项，同时也考查了数列不等式的解法，在解题时一般利用参变量分离法转化为数列的最值来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎16.已知点、为椭圆的左、右顶点，点为轴上一点，过作轴的垂线交椭圆于、两点，过作的垂线交于点，则_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设点，则，，写出直线和方程，联立这两条直线的方程，求出点的坐标，即可得出的值.‎ ‎【详解】如下图所示，设，则，，‎ 由题设知且，直线的斜率，直线斜率.‎ 直线的方程为，直线的方程为.‎ 联立，解得.‎ 又点在椭圆上，得，.‎ 又，，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆中三角形的面积比的计算，解题的关键就是要求出点的坐标，同时也要注意点的坐标满足椭圆方程，结合等式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.设命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解出命题、中的不等式，由题意得出，由此可得出关于实数的不等式组，解出即可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】解不等式，即，解得.‎ 解不等式，解得.‎ 所以，，，‎ 由于是的必要不充分条件，则，，解得.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查利用必要不充分条件关系求参数的取值范围，一般转化为集合的包含关系，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.‎ ‎18.在平面直角坐标中，，，点是平面上一点，使周长为.‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）求的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意得出，由椭圆的定义可知点的轨迹是以点、为焦点的椭圆（去掉左右端点），设点的轨迹方程为，求出、的值，可得出点的轨迹方程；‎ ‎（2）利用，并利用基本不等式可求出的最大值.‎ ‎【详解】（1）由题知，，，‎ 由椭圆的定义可知，动点的轨迹是以点、为焦点的椭圆（去掉左右端点），‎ 设动点的轨迹方程为，则，，‎ ‎，得，因此，动点的轨迹方程为；‎ ‎（2）由（1）可知，由基本不等式得，‎ 当且仅当时等号成立，因此，的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查利用椭圆的定义求轨迹方程，同时也考查了利用椭圆的定义和基本不等式求最值，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎19.已知等差数列的前项和为，有，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，记数列的前项和为，证明：.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设等差数列的公差为，根据题意列出关于和的方程组，解出这两个量，再利用等差数列的通项公式可求出数列的通项公式；‎ ‎（2）由（1）得知，然后利用裂项法求出数列的前项和，即可证明出.‎ ‎【详解】（1）设数列的公差为，有，解得，有，因此，数列的通项公式为；‎ ‎（2）由（1）知，‎ 有，‎ 由，有，故有，由上知.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了裂项求和法的应用，在求解等差数列的通项公式时，一般要建立首项和公差的方程组，利用方程思想求解，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎20.双曲线的左、右焦点分别为、，点，在双曲线上.‎ ‎（1）求双曲线的标准方程；‎ ‎（2）直线过点且与双曲线交于、两点，且的中点的横坐标为，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将点、的坐标代入双曲线的方程，求出、的值，即可得出双曲线的标准方程；‎ ‎（2）由题意知，直线的斜率存在，设点、，并设直线的方程为，将直线的方程与双曲线的方程联立，结合韦达定理求出的值，即可得出直线的方程.‎ ‎【详解】（1）由题意有，解得，‎ 因此，双曲线的标准方程为；‎ ‎（2）由题意知，直线的斜率存在，设点、.‎ 并设直线的方程为， 联立方程，‎ 消去整理得，，‎ 得，满足直线与双曲线相交，因此，直线的方程为.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线方程的求解，同时也考查了中点弦问题，可以利用点差法，也可以将直线方程与双曲线方程联立，结合韦达定理求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎21.已知数列的前项和为，，.‎ ‎（1）证明：数列为等差数列；‎ ‎（2）求；‎ ‎（3）对任意将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用等差数列的定义结合递推公式，可证明出数列是等差数列；‎ ‎（2）求出数列的通项公式为，然后利用错位相减法求出数列的前项和；‎ ‎（3）令，得出，可得出，然后利用分组求和法求出数列的前项和.‎ ‎【详解】（1）由，且，‎ 故数列是首项为，公差为的等差数列；‎ ‎（2）由（1）知，有，‎ 由，‎ 有，‎ 作差有，‎ 得 有，‎ 因此，；‎ ‎（3）对任意，若，得，得，‎ 故，‎ 有.‎ ‎【点睛】本题考查利用定义证明等差数列，同时与考查了错位相减法与分组求和法，要熟悉这些数列求和法对数列通项的要求，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎22.已知椭圆的右焦点为，是椭圆上一点，轴，.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆交于、两点，线段的中点为，为坐标原点，且，求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设椭圆的焦距为，可得出点在椭圆上，将这个点的坐标代入椭圆的方程可得出，结合可求出的值，从而可得出椭圆的标准方程；‎ ‎（2）分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，在轴时，可得出，从而求出的面积；在直线斜率存在时，设直线的方程为，设点、‎ ‎，将直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理结合，得出，计算出与的高，可得出面积的表达式，然后可利用二次函数的基本性质求出面积的最大值.‎ ‎【详解】（1）设椭圆的焦距为，由题知，点，，‎ 则有，，又，，，‎ 因此，椭圆的标准方程为；‎ ‎（2）当轴时，位于轴上，且，‎ 由可得，此时；‎ 当不垂直轴时，设直线的方程为，与椭圆交于，，‎ 由，得.‎ ‎，，从而 已知，可得.‎ ‎.‎ 设到直线的距离为，则，‎ ‎.‎ 将代入化简得.‎ 令，‎ 则.‎ 当且仅当时取等号，此时的面积最大，最大值为.‎ 综上：的面积最大，最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，同时也考查了直线与椭圆中三角形面积最值的计算，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法来求解，同时在计算最值时，常用函数的基本性质以及基本不等式进行求解，考查运算求解能力，属于难题.‎ ‎ ‎