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- 2021-06-10 发布
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数学(满分160分，考试时间120分钟)
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1. 已知集合A＝{x|10)的一个交点．若抛物线的焦点为F，且FA＝5，则双曲线的渐近线方程为____________________．
8. 若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图象经过点(，2)，且相邻两条对称轴间的距离为，则f()的值为________．
9. 已知正四棱锥PABCD的所有棱长都相等，高为，则该正四棱锥的表面积为________．
10. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－5x，则不等式f(x－1)>f(x)的解集为________．
11. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，0)，B(5，0)．若在圆M：(x－4)2
＋(y－m)2＝4上存在唯一一点P，使得直线PA，PB在y轴上的截距之积为5，则实数m的值为________．
12. 已知AD是直角三角形ABC的斜边BC上的高，点P在DA的延长线上，且满足(＋)·＝4 .若AD＝，则·的值为________．
13. 已知函数f(x)＝设g(x)＝kx＋1，且函数y＝f(x)－g(x)的图象经过四个象限，则实数k的取值范围是________．
14. 在△ABC中，若sin C＝2cos Acos B，则cos2A＋cos2B的最大值为________．
二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
设向量a＝(cos α，λsin α)，b＝(cos β，sin β)，其中λ>0，0<α<β<，且a＋b与a－b互相垂直．
(1) 求实数λ的值；
(2) 若a·b＝，且tan β＝2，求tan α的值．
16. (本小题满分14分)
如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC，A1C⊥BC1，AB1⊥BC1，D，E分别是AB1和BC的中点．求证：
(1) DE∥平面ACC1A1；
(2) AE⊥平面BCC1B1.
17. (本小题满分14分)
某公园内有一块以O为圆心，半径为20米的圆形区域．为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB区域，其中两个端点A，B分别在圆周上；观众席为梯形ABQP内且在圆O外的区域，其中AP＝AB＝BQ，∠PAB＝∠QBA＝120°，且AB，PQ在点O的同侧．为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超过60米．设∠OAB＝α，α∈(0，)．问：对于任意α，上述设计方案是否均能符合要求？
18. (本小题满分16分)
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆C短轴的一个顶点到一个焦点的距离等于.
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 设经过点P(2，0)的直线l交椭圆C于A，B两点，点Q(m，0)．
①若对任意直线l总存在点Q，使得QA＝QB，求实数m的取值范围；
②设F为椭圆C的左焦点，若点Q为△FAB的外心，求实数m的值．
19. (本小题满分16分)
已知函数f(x)＝ln x－，a>0.
(1) 当a＝2时，求函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程；
(2) 若对任意x∈[1，＋∞)，不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；
(3) 若函数f(x)存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求实数a的取值范围．
20. (本小题满分16分)
已知数列{an}各项均为正数，且对任意n∈N*，都有(a1a2…an)2＝aa.
(1) 若a1，2a2，3a3成等差数列，求的值；
(2) ① 求证：数列{an}为等比数列；
② 若对任意n∈N*，都有a1＋a2＋…＋an≤2n－1，求数列{an}的公比q的取值范围．
2019届高三年级第二次模拟考试(十)
数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】 本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A. [选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分)
已知矩阵A＝，B＝，AB＝.
(1) 求a，b的值；
(2) 求A的逆矩阵A－1.
B. [选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)，P是曲线C上的任意一点．求点P到直线l的距离的最大值．
C. [选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分)
解不等式：|2x－1|－x≥2.
【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22. (本小题满分10分)
如图是一旅游景区供游客行走的路线图，假设从进口A开始到出口B，每遇到一个岔路口，每位游客选择其中一条道路行进是等可能的．现有甲、乙、丙、丁共4名游客结伴到旅游景区游玩，他们从进口A的岔路口就开始选择道路自行游玩，并按箭头所指路线行走，最后到出口B集中，设C是其中的一个交叉路口点．
(1) 求甲经过点C的概率；
(2) 设这4名游客中恰有X名游客都是经过点C，求随机变量X的概率分布和数学期望．
23. (本小题满分10分)
平面上有2n(n≥3，n∈N*)个点，将每一个点染上红色或蓝色．从这2n个点中，任取3个点，记3个点颜色相同的所有不同取法的总数为T.
(1) 若n＝3，求T的最小值；
(2) 若n≥4，求证：T≥2C.
数学参考答案
1. {x|10，所以λ＝1.(6分)
(2) 由(1)知a＝(cos α，sin α)．
由a·b＝，得cos αcos β＋sin αsin β＝，
即cos(α－β)＝.(8分)
因为0<α<β<，所以－<α－β<0，
所以sin(α－β)＝－＝－.(10分)
所以tan(α－β)＝＝－，(12分)
因此tan α＝tan(α－β＋β)＝＝.(14分)
16. (1) 连结A1B，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1∥BB1且AA1＝BB1，
所以四边形AA1B1B是平行四边形．
又因为D是AB1的中点，
所以D也是BA1的中点．(2分)
在△BA1C中，D和E分别是BA1和BC的中点，所以DE∥A1C.
又因为DE平面ACC1A1，A1C平面ACC1A1，
所以DE∥平面ACC1A1.(6分)
(2) 由(1)知DE∥A1C，因为A1C⊥BC1，
所以BC1⊥DE.(8分)
又因为BC1⊥AB1，AB1∩DE＝D，AB1，DE平面ADE，所以BC1⊥平面ADE.
又因为AE平面ADE，所以AE⊥BC1.(10分)
在△ABC中，AB＝AC，E是BC的中点，
所以AE⊥BC.(12分)
因为AE⊥BC1，AE⊥BC，BC1∩BC＝B，
BC1，BC平面BCC1B1，
所以AE⊥平面BCC1B1.(14分)
17. 过点O作OH垂直于AB，垂足为H.
在直角三角形OHA中，OA＝20，∠OAH＝α，
所以AH＝20cos α，因此AB＝2AH＝40cos α.(4分)
由图可知，点P处的观众离点O最远．(5分)
在三角形OAP中，由余弦定理可知
OP2＝OA2＋AP2－2OA·AP·cos(7分)
＝400＋(40cos α)2－2×20×40cos α·(－cos α－sin α)
＝400(6cos2α＋2sin αcos α＋1)
＝400(3cos 2α＋sin 2α＋4)
＝800sin＋1 600.(10分)
因为α∈，所以当2α＝，即α＝时，
(OP2)max＝800＋1 600，
即OPmax＝20＋20.(12分)
因为20＋20<60，所以观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超过60米．(13分)
故对于任意α，上述设计方案均能符合要求．(14分)
18. (1) 依题意得解得
所以b2＝a2－c2＝1，
所以椭圆C的方程为 ＋y2＝1.(2分)
(2) 解法一：设直线的方程为y＝k(x－2)，
代入椭圆C的方程，消去y，得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0.
因为直线l交椭圆C于两点，
所以Δ＝(－8k2)2－4(1＋2k2)(8k2－2)>0，
解得－0，所以1－2a<1.
①当4a2－4a≥0，即a≥1时，
因为f′(x)>0在区间(1，＋∞)上恒成立，
所以函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．
当x∈[1，＋∞)时，f(x)≥f(1)＝0，
所以a≥1满足条件．(6分)
②当4a2－4a<0，即01－2a.
列表如下：
所以函数f(x)存在极大值f(x1)和极小值f(x2)，(14分)
此时f(x1)－f(x2)＝ln x1－－ln x2＋＝ln－.
因为00，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)2时，
由a1＋a2＋…＋an≤2n－1，得≤2n－1，
整理得a1qn≤(q－1)2n＋a1－q＋1.(14分)
因为q>2，01，因此n2不满足条件．
综上，公比q的取值范围为(0，2]．(16分)
21. A. (1) 因为A＝，B＝，AB＝，
所以即(4分)
(2) 因为|A|＝2×3－1×4＝2，(6分)
所以A－1＝＝.(10分)
B. 直线l的参数方程为(t为参数)，化为普通方程为x－y＋2＝0.(2分)
设点P(cos θ，sin θ)，
则点P到直线l的距离d＝＝，(6分)
取θ＝－时，cos＝1，此时d取最大值，
所以距离d的最大值为.(10分)
C. 当x≥时，由2x－1－x≥2，得x≥3.(4分)
当x<时，由1－2x－x≥2，得x≤－.(4分)
综上，原不等式的解集为{x|x≥3或x≤－}．(10分)
22. (1) 设“甲从进口A开始到出口B经过点C”为事件M，
甲选中间的路的概率为，在前面从岔路到达点C的概率为，这两个事件相互独立，所以选择从中间一条路走到点C的概率为P1＝×＝.(2分)
同理，选择从最右边的道路走到点C的概率为P2＝×＝.
因为选择中间道路和最右边道路行走的两个事件彼此互斥，
所以P(M)＝P1＋P2＝＋＝.
故甲从进口A开始到出口B经过点C的概率.(4分)
(2) 随机变量可能的取值X＝0，1，2，3，4，(5分)
则P(X＝0)＝C××＝，
P(X＝1)＝C××＝，
P(X＝2)＝C××＝，
P(X＝3)＝C××＝，
P(X＝4)＝C××＝，(8分)
概率分布为：
X
0
1
2
3
4
P
数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.(10分)
23. (1) 当n＝3时，共有6个点，
若染红色的点的个数为0或6，
则T＝C＝20；
若染红色的点的个数为1或5，
则T＝C＝10；
若染红色的点的个数为2或4，
则T＝C＝4；
若染红色的点的个数为3，则T＝C＋C＝2；
因此T的最小值为2.(3分)
(2) 首先证明：任意n，k∈N*，n≥k，有C>C.
证明：因为C－C＝C>0，所以C>C.
设这2n个点中含有p(p∈N，p≤2n)个染红色的点，
①当p∈{0，1，2}时，
T＝C≥C＝
＝4×.
因为n≥4，所以2n－3>n，
所以T>4×＝4C>2C.(5分)
②当p∈{2n－2，2n－1，2n}时，
T＝C≥C，
同理可得T>2C.(6分)
③当3≤p≤2n－3时，
T＝C＋C，
设f(p)＝C＋C，3≤p≤2n－3，
当3≤p≤2n－4时，
f(p＋1)－f(p)＝C＋C－C－C＝C－C，
显然p≠2n－p－1，
当p>2n－p－1即n≤p≤2n－4时，f(p＋1)>f(p)，
当p<2n－p－1即3≤p≤n－1时，f(p＋1)f(4)>…>f(n)；
因此f(p)≥f(n)＝2C，即T≥2C.
综上，当n≥4时，T≥2C.(10分)
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