2019届二轮复习（文）第九章平面解析几何第7节课件（35张）（全国通用） 35页

第 7 节　抛物线 最新考纲　 1. 了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； 2. 掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质 . 1 . 抛物线的定义 (1) 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l ( F ∉ l ) 的 距离 的 点的轨迹叫做抛物线 . 点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线 的 . (2) 其数学表达式： { M || MF | ＝ d }( d 为点 M 到准线 l 的距离 ) . 知 识 梳 理 相等 准线 2 . 抛物线的标准方程与几何性质 图形 标准 方程 y 2 ＝ 2 px ( p >0) y 2 ＝－ 2 px ( p >0) x 2 ＝ 2 py ( p >0) x 2 ＝－ 2 py ( p >0) p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离 1 . 思考辨析 ( 在括号内打 “√” 或 “×”) 诊 断 自 测 解析 　 (1) 当定点在定直线上时，轨迹为过定点 F 与定直线 l 垂直的一条直线，而非抛物线 . (3) 抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形 . 答案　 (1)× 　 (2)× 　 (3)× 　 (4)√ 2 . 以 x ＝ 1 为准线的抛物线的标准方程为 ( 　　 ) A . y 2 ＝ 2 x B . y 2 ＝－ 2 x C . y 2 ＝ 4 x D . y 2 ＝－ 4 x ∴ 抛物线的方程为 y 2 ＝－ 4 x . 答案 　 D 3 . (2018· 黄冈联考 ) 已知方程 y 2 ＝ 4 x 表示抛物线，且该抛物线的焦点到直线 x ＝ m 的距离为 4 ，则 m 的值为 ( 　　 ) A . 5 B . － 3 或 5 C . － 2 或 6 D . 6 解析 　抛物线 y 2 ＝ 4 x 的焦点为 F (1 ， 0) ，它与直线 x ＝ m 的距离为 d ＝ | m － 1| ＝ 4 ， ∴ m ＝－ 3 或 5 ，故选 B. 答案 　 B 4 . ( 选修 1 － 1P64A4(2) 改编 ) 已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点 P ( － 2 ，－ 4) ，则该抛物线的标准方程为 ________ . 解析 　很明显点 P 在第三象限，所以抛物线的焦点可能在 x 轴负半轴上或 y 轴负半轴上 . 当焦点在 x 轴负半轴上时，设方程为 y 2 ＝－ 2 px ( p ＞ 0) ， 把 点 P ( － 2 ，－ 4) 的坐标代入得 ( － 4) 2 ＝－ 2 p × ( － 2) ， 解得 p ＝ 4 ，此时抛物线的标准方程为 y 2 ＝－ 8 x ； 当焦点在 y 轴负半轴上时，设方程为 x 2 ＝－ 2 py ( p ＞ 0) ， 此时抛物线的标准方程为 x 2 ＝－ y . 综上可知，抛物线的标准方程为 y 2 ＝－ 8 x 或 x 2 ＝－ y . 答案 　 y 2 ＝－ 8 x 或 x 2 ＝－ y 5 . 已知抛物线方程为 y 2 ＝ 8 x ，若过点 Q ( － 2 ， 0) 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l 的 斜率的取值范围是 ________ . 解析 　 设直线 l 的方程为 y ＝ k ( x ＋ 2) ，代入抛物线方程，消去 y 整理得 k 2 x 2 ＋ (4 k 2 － 8) x ＋ 4 k 2 ＝ 0 ，当 k ＝ 0 时，显然满足题意；当 k ≠0 时， Δ ＝ (4 k 2 － 8) 2 － 4 k 2 ·4 k 2 ＝ 64(1 － k 2 ) ≥ 0 ，解得－ 1 ≤ k ＜ 0 或 0 ＜ k ≤ 1 ，因此 k 的取值范围是 [ － 1 ， 1] . 答案 　 [ － 1 ， 1] 考点一　抛物线的定义及应用 答案 　 (1)C 　 (2)(2 ， 2) 【训练 1 】 (1) 动圆过点 (1 ， 0) ，且与直线 x ＝－ 1 相切，则动圆的圆心的轨迹方程为 __________ . ( 2) (2017· 全国 Ⅱ 卷 ) 已知 F 是抛物线 C ： y 2 ＝ 8 x 的焦点， M 是 C 上一点， FM 的延长线交 y 轴于点 N . 若 M 为 FN 的中点，则 | FN | ＝ ________ . 解析 　 (1) 设动圆的圆心坐标为 ( x ， y ) ，则圆心到点 (1 ， 0) 的距离与到直线 x ＝－ 1 的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为 y 2 ＝ 4 x . (2 ) 如 图，不妨设点 M 位于第一象限内，抛物线 C 的准线交 x 轴于点 A ，过点 M 作准线的垂线，垂足为点 B ，交 y 轴于点 P ， ∴ PM ∥ OF . ∴ | MB | ＝ | MP | ＋ | BP | ＝ 3. 由抛物线的定义知 | MF | ＝ | MB | ＝ 3 ，故 | FN | ＝ 2| MF | ＝ 6. 答案 　 (1) y 2 ＝ 4 x 　 (2)6 由题意知， F (2 ， 0) ， | FO | ＝ | AO | ＝ 2. ∵ 点 M 为 FN 的中点， PM ∥ OF ， 考点二　抛物线的标准方程及其性质 (2) 不妨设抛物线 C ： y 2 ＝ 2 px ( p >0) ，圆的方程为 x 2 ＋ y 2 ＝ r 2 ( r >0) ， 故 C 的焦点到准线的距离为 4. 答案 　 (1)D 　 (2)B 规律方法 　 1. 求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数 p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程 . 2 . 在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此 . 【训练 2 】 (1) 如图，过抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p >0) 的焦点 F 的直线交抛物线于点 A ， B ，交其准线 l 于点 C ，若 | BC | ＝ 2| BF | ，且 | AF | ＝ 3 ，则此抛物线的方程为 ________ . (2) 过抛物线 y 2 ＝ 4 x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A ， B 两点， O 为坐标原点 . 若 | AF | ＝ 3 ，则 △ AOB 的面积为 ________ . 解析 　 (1) 设 A ， B 在准线上的射影分别为 A 1 ， B 1 ， 故 | AC | ＝ 2| AA 1 | ＝ 6 ，从而 | BF | ＝ 1 ， | AB | ＝ 4 ， (2) 如图，由题意知，抛物线的焦点 F 的坐标为 (1 ， 0) ，又 | AF | ＝ 3 ，由抛物线定义知，点 A 到准线 x ＝－ 1 的距离为 3 ，所以点 A 的横坐标为 2 ，将 x ＝ 2 代入 y 2 ＝ 4 x 得 y 2 ＝ 8 ， 考点三　直线与抛物线的位置关系 ( 多维探究 ) 命题角度 1 　直线与抛物线的公共点 ( 交点 ) 问题 将其代入 y 2 ＝ 2 px 整理得 px 2 － 2 t 2 x ＝ 0 ， (2) 直线 MH 与 C 除 H 以外没有其它公共点，理由如下： 代入 y 2 ＝ 2 px 得 y 2 － 4 ty ＋ 4 t 2 ＝ 0 ， 解得 y 1 ＝ y 2 ＝ 2 t ， 即直线 MH 与 C 只有一个公共点， 所以除 H 以外，直线 MH 与 C 没有其它公共点 . 命题角度 2 　与抛物线弦长 ( 中点 ) 有关的问题 所以抛物线 C 的方程为 y 2 ＝ x ， (2) 证明 　当直线 MN 斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线 MN ( 也就是直线 l ) 斜率存在且不为零 . 因为点 P 的坐标为 (1 ， 1) ，所以直线 OP 的方程为 y ＝ x ，点 A 的坐标为 ( x 1 ， x 1 ) . 规律方法　 1. 直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系 . 2 . 有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点 . 若过抛物线的焦点，可直接使用公式 | AB | ＝ x 1 ＋ x 2 ＋ p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式 . 3 . 涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用 “ 设而不求 ” 、 “ 整体代入 ” 等解法 . 提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用 “ 点差法 ” 求解 . 【训练 3 】 (2017· 全国 Ⅰ 卷 ) 已知 F 为抛物线 C ： y 2 ＝ 4 x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l 1 ， l 2 ，直线 l 1 与 C 交于 A ， B 两点，直线 l 2 与 C 交于 D ， E 两点，则 | AB | ＋ | DE | 的最小值为 ( 　　 ) A . 16 B . 14 C . 12 D . 10 故 | AB | ＋ | DE | 的最小值为 16. 答案 　 A