【数学】2020届一轮复习人教B版组合学案 12页

‎ 组 合 ‎ ‎ ‎【学习目标】‎ ‎1．理解组合的概念．‎ ‎ 2．能利用计数原理推导组合数公式．‎ ‎ 3．能解决简单的实际问题．‎ ‎ 4．理解组合与排列之间的联系与区别．‎ ‎【要点梳理】‎ 要点一：组合 ‎1.定义：‎ 一般地，从个不同元素中取出（）个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．‎ 要点诠释：‎ ① 从排列与组合的定义可知，一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关．‎ 排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它们的根本区别．‎ ‎② 如果两个组合中的元素相同，那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合.因此组合问题的本质是分组问题，它主要涉及元素被取到或未被取到.‎ 要点二：组合数及其公式 ‎1.组合数的定义：‎ 从个不同元素中取出（）个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．记作．‎ 要点诠释：‎ ‎“组合”与“组合数”是两个不同的概念：‎ 一个组合是指“从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指“从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数”，它是一个数．‎ ‎ 例如，从3个不同元素a，b，c中取出2个元素的组合为ab，ac，bc，其中每一种都叫做一个组合，而数字3就是组合数． ‎ ‎2．组合数的公式及推导 ‎ 求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以按以下两步来考虑：‎ ‎ 第一步，先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合数；‎ ‎ 第二步，求每一个组合中m个元素的全排列数．‎ ‎ 根据分步计数原理，得到．‎ ‎ 因此 ‎ ‎ 这里n，m∈N+，且m≤n，这个公式叫做组合数公式．因为，所以组合数公式还可表示为：．‎ ‎ 要点诠释：‎ 组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题。‎ ‎3. 组合数公式：‎ ‎(1)（ 、，且）‎ ‎(2) （ 、，且）‎ 要点诠释：‎ 上面第一个公式一般用于计算，但当数值、较大时，利用第二个式子计算组合数较为方便，在对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常用第二个公式．‎ 要点三：组合数的性质 性质1：（、，且）‎ 性质2：（、，且）‎ 要点诠释：‎ 规定：.‎ ‎ 要点四、纯组合问题常见题型 ‎（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：‎ ‎“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．‎ 如：现从5位男同学、4位女同学中选出5名代表，若男甲、女A都必须当选，有多少种不同的选法?由于男甲、女A必须当选，只需从剩下7人中任选3人即可满足题目的要求，故有种不同的选法．‎ ‎（2）“至少”或“最多”含有几个元素的题型：‎ 解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，但通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．‎ 如（1）中，将问题改为至少有一名女同学当选，有多少种不同的选法?则在全部的选法中，排除全部男生当选的情况即可，故有种不同的选法．‎ ‎（3）分堆问题 ‎ ①平均分堆，其分法数为：．‎ ‎ 例如 将6本不同的书平均分成三份，每份两本，求不同的分法数． ‎ ‎ 依据上述公式，其分法为（种）．‎ ‎ ②分堆但不平均，其分法数为．‎ ‎ 例如，将12本不同的书分成五份，分别为2本、2本、2本、3本、3本，求不同的分法数．‎ ‎ 依据上述公式，分到指定位置数为．‎ ‎ 其中两本的有三堆，故除以3！；3本的有两堆，要除以2！，故分法数为．‎ ‎ （4）定序问题．‎ ‎ 对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列．‎ ‎ 例：5人站成一排，如果甲必须站在乙的左边，则不同的排法有多少种？‎ ‎ 法一: 5人不加限制的排列方法有种，“甲在乙的左边”和“甲在乙的右边”的排法是相对的，所以甲必须在乙的左边的排法有（种）．‎ ‎ 法二: 第一步，在5个位置中选2个位置给甲、乙二人有种选法；‎ ‎ 第二步，剩下三个位置由剩下三人全排，有种排法，共有（种）；‎ ‎ 法三: 从5个位置选3个位置由除甲、乙两人之外的三人排列有种（剩下两个位置，甲、乙随之确定）．‎ ‎（5）指标问题用“隔板法”：‎ 如，将10个保送生预选指标分配给某重点中学高三年级六个班，每班至少一名，共有多少种分配方案？‎ ‎ 将10个名额并成一排，名额之间有9个空，用5块隔板插入9个空，就可将10个名额分为6部分，每一种插法就对应一种分配法，故有种方案．‎ ‎ 注意：隔板法与插空法是不同的，要予以“区分”．隔板法只适用于相同元素的分配问题．‎ 要点五、组合组合的综合应用 ‎ 处理排列、组合综合题时，应遵循四大原则：‎ （1） 先特殊后一般的原则 （1） 先取后排的原则 （2） 先分类后分步的原则 （3） 正难则反、等价转化原则．‎ ‎ 【典型例题】‎ 类型一、 组合概念及组合数公式 例1．下面的问题是排列问题？还是组合问题？并计算结果。‎ ‎（1）从1，3，5，9中任取两个数相加，可以得到多少个不同的和？‎ ‎（2）从1，3，5，9中任取两个数相除，可以得到多少个不同的商？‎ ‎（3）10个同学毕业后互相通了一次信，一共写了多少封信？‎ ‎（4）10个同学毕业后见面时，互相握了一次手，共握了多少次手？‎ ‎【思路点拨】 排列与顺序有关，组合与顺序无关．‎ ‎【解析】 ‎ ‎（1）组合问题，可以得到个不同的和；‎ ‎（2）排列问题，可以得到个不同的商；‎ ‎（3）排列问题，一共写了封信；‎ ‎（4）组合问题，共握了次手.‎ ‎【总结升华】 ‎ ‎ 区分排列与组合问题，关键是利用排列与组合的定义，组合是“只选不排、并成一组，与顺序无关”．‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】（1）从1，3，5，7中任取两个数相除，可以得到多少个不同的商？‎ ‎ （2）从1，3，5，7中任取两个数相乘，可以得到多少个不同的积？‎ 以上两个问题有何区别？‎ ‎【答案】问题（1）是排列问题，问题（2）是组合问题．‎ ‎【变式2】计算：（1）；（2）.‎ ‎【答案】（1）方法一：；‎ 方法二：；‎ ‎（2） 方法一：；‎ 方法二：.‎ 类型二、 组合应用题 例2. 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？‎ ‎ （1）只有一名女生当选；‎ ‎ （2）两队长当选；‎ ‎ （3）至少有一名队长当选：‎ ‎ （4）至多有两名女生当选；‎ ‎（5）既要有队长，又要有女生当选．‎ ‎ 【思路点拨】要正确理解题意中的关键性词语, 从“在”与“不在”“至少”中寻求解题思路.‎ ‎【解析】（1）一名女生，四名男生，故共有种．‎ ‎ （2）将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有种．‎ ‎ （3）至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两名队长．‎ ‎ 故共有种，或采用排除法：种．‎ ‎ （4）至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生．‎ ‎ 故共有种．‎ ‎ （5）分两类：第一类女队长当选：；‎ ‎ 第二类女队长不当选：．‎ ‎ 故共有种．‎ ‎【总结升华】 ‎ 本题属有限制条件的组合问题,“含”与“不含”,“最多”与“至少”是常见题型.“含有”一般先将这些元素取出,不足部分由另外的元素补充,“不含”可将这些元素剔除,再从剩下的元素中去取.解“最多”与“至少”问题,是用直接法还是排除法,要具体问题具体分析,一般是正难则反.‎ ‎ 举一反三：‎ ‎【变式】200件产品中有5件是次品，现从中任意抽取4件，‎ 按下列条件，各有多少种不同的抽法（只要求列式）？‎ ‎（1）都不是次品；（2）至少有1件次品；（3）不都是次品．‎ ‎【答案】（1）都不是次品，即全部为正品．共有抽法种．‎ ‎ （2）至少有1件次品，包括1件、2件、3件、4件次品的情况．‎ ‎ 共有抽法种[或种]．‎ ‎ （3）不都是次品，即至少有1件正品．‎ ‎ 共有抽法种[或种]．‎ ‎【高清课堂：组合370707 例题6】‎ 例3. 有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，按下列条件，各有多少种不同的分法？‎ ‎ （1）每人各得两本；‎ ‎ （2）甲得一本，乙得两本，丙得三本；‎ ‎ （3）一人一本，一人两本，一人三本；‎ ‎ （4）甲得四本，乙得一本，丙得一本；‎ ‎ （5）一人四本，另两人各一本．‎ ‎ 【思路点拨】本题是首先是要把六本不同的书分成3组，然后再分配到甲、乙、丙三人手中。‎ ‎【解析】 （1）共有分法（种）．‎ ‎ （2）共有分法（种）．‎ ‎ （3）由于没指明谁得几本，在（2）的基础上，对甲、乙、丙作全排．‎ ‎ ∴共有分法（种）．‎ ‎ （4）共有分法（种）．‎ ‎ （5）由于没指明谁得四本，在（4）的基础上，还有种分法．‎ ‎ ∴共有分法（种）．‎ ‎【总结升华】一般地，平均分成n堆（组），必须除以n!；如若部分平均分成m堆（组），必须除以m！。‎ 在（5）中，区别在谁得四本上，另外两人都得一本是没有区别的；而（3）中谁得一本、两本、三本都是有区别的．这就是乘以和的区别．本类题是分组后分配问题，要将分组和分配分得很清楚。‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内. 　（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？ 　（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？ 　（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？ 【答案】（1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，‎ ‎3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，‎ 然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另  外2个盒子内，由分步乘法 计数原理，共有 （2）“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即 另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”‎ 是同一件事，所以共有144种放法. 　 （3）确定2个空盒有种方法.4个球放进2个盒子可分成（3，1）、（2，2）两类，第一类 有序不均匀分组有种方法；第二类有序均匀分组有种方法.　故共有 种.‎ ‎【变式2】（1）4名乒乓球选手，分为两组举行双打比赛，共有多少种分组方法？‎ ‎ （2）10名篮球队员，分成两队各5人，有多少种分组方法？‎ ‎ （3）将1，2，3，4，5，6六个数字平分为3份，每份两个数字，共有多少种不同的分组方法？‎ ‎【答案】（1）看似简单，容易认为有种分法．具体排一下：1、2～3、4，1、3～2、4，1、‎ ‎4～2、3，2、3～1、4，2、4～1、3，3、4～1、2，即会发现各重复一次，总共 分组方法不是6种，而只有3种，一般规律是．‎ ‎（2）与（1）同理，共有种分组方法．种中含1，2，3，4，5，又含6，7，8，9，10．‎ 当取1，2，3，4，5时，相应的另一组是6，7，8，9，10．当取6，7，8，9，10时，相应的另一组是1，2，3，4，5．显然也是各重复一次．‎ ‎（3）此题易误认为有方法种．分析一下下面的6种分组方法：1、2，3、4，5、6；‎ ‎1、2，5、6，3、4；3、4，1、2，5、6；5、6，1、2，3、4；5、6，3、4，1、2．这实际上是同一种分组法，即这中间各有组是重复的同一种分组方法，所以，共有分组方法应是种．‎ ‎【变式3】把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（ ）‎ ‎ A．168 B．96 C．72 D．144‎ ‎【答案】D 本题是典型的分组搭配问题（不平均分组），注意对该类问题的两种处理方法—--“先分（分组）后给（分配）”和“边分（分组）边给（分配）”的把握．‎ 本题把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票分为4组的方法数为6种，每一种分组的分配方法均为，故本题的方法数为种．故选（D）．‎ ‎【变式4】（2019 太原校级模拟）某宾馆安排A、B、C、D、E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A、B不能住同一房间，则不同的安排方法有（ ）种。‎ A．24 B．48 C．95 D．114‎ ‎【答案】‎ ‎5个人住三个房间，每个房间至少住1人，则有（3，1，1）和（2，1，1）两种，‎ 当为（3，1，1）时，有种，A、B住同一房间有种，故有60―18=42种，‎ 当为（2，2，1）时，有种，A、B住同一房间有种，故有90―18=72种，‎ 根据分类计数原理共42+72=114种，故选D。‎ 例4. 在一个晚会上有相声、唱歌、诗歌朗诵、小品、小提琴独奏节目各一个，要求相声节目必须排在小提琴独奏前，小品排在小提琴独奏后，这台晚会的节目有多少种不同的排法？‎ ‎【思路点拨】本题是部分元素顺序一定排序问题，可以用定序法.‎ ‎【解析】先把这5个节目排成一排占5个位置，先在这5个位置中选3个位置按从前到后为相声、小提琴独奏、小品顺序安排这三个节目有种不同方法，再在其余2个位置上安排唱歌和诗歌朗诵有种不同方法，根据分步计数原理，符合要求的节目排法有=20种.‎ ‎【总结升华】‎ 对部分不同元素定序（或部分相同元素）排列的问题，常用方法还有定序法，先从所有位置中按“特殊元素”个数选出若干位置，并把这些特殊元素按指定顺序排上去，再将普通元素在其余位置上全排列.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】 甲乙丙丁戊站成一排照相，要求甲必须站在乙的左边，丙必须站在乙的右边，有多少种不同的排法？‎ ‎【答案】先把甲乙丙按指定顺序拍成一排只有1种排法，再在甲乙丙的两端和之间5个空档中选1个位置让丁站有种不同的方法， 再在这4人之间和两端5个空档中选1个位置让戊站有种不同 ‎【变式2】（2015·朝阳区模拟）各大学在高考录取时采取专业专愿优先的录取原则。一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生不同的填报专业志愿的方法有（ ）‎ A．210种 B．180种 C．120种 D．95种 ‎【答案】‎ 从7个专业选3个，有种选法，‎ 甲乙同时兼报的有种选法，‎ 则专业共有35－5=30种选法，‎ 则按照专业顺序进行报考的方法为，‎ 故选B ‎　例5. 某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，又有多少种不同分法？‎ ‎【思路点拨】把10相同的名额分配到6个不同的班级中，适合隔板法。‎ ‎【解析】将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，每班至少1个名额，可分以下两步完成。‎ 第一步：每班先给1个名额，仅有1种给法；‎ 第二步：将剩余的4个名额分到这6个班里，‎ 由隔板法知，此时，有C种不同分法。由分步计数原理知，共有C种不同分法。‎ ‎ C=C==126（种）。‎ ‎ 所以某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，有126种不同分法.‎ ‎ 【总结升华】 名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，故适合隔板法。‎ 举一反三：‎ ‎【变式】将20个相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，求放法总数。‎ ‎【答案】解法1：先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放0，1，2，3个球，剩下14个球，有1种方法；再把剩下的球分成4组，每组至少1个，放法有（种）。‎ 解法2：第一步先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放1，2，3，4个球，剩下10个球，有1种方法；第二步把剩下的10个相同的球放入编号为1，2，3，4的盒子里，放法有（种）。‎ 类型三、 排列组合的综合应用 例6. 某篮球队有12名队员，有6名打前锋，4名打后卫，甲、乙两人既能打前锋又能打后卫（出场阵容为3名前锋，2名后卫）共有多少种出场阵容？‎ ‎ 【思路点拨】 本题中的甲、乙两名队员为“多面手”，应优先考虑．甲、乙两人是否上场，且上场后是前锋还是后卫，以此为分类标准．‎ ‎ 【解析】 以2名既能打前锋又能打后卫的队员是否上场．且上场后是前锋还是后卫作分类标准：‎ ‎ ①甲、乙都不上场有（种）；‎ ‎ ②甲、乙有一名上场，作前锋有种，作后卫有种，共（种）；‎ ‎ ③甲、乙都上场，都作前锋有种，都作后卫有种，一个作前锋一个作后卫有种，共有（种）．‎ ‎ 据分类计数原理，共有120+340+176=636（种）．‎ ‎ 【总结升华】对于有关元素为“多面手”的问题,应该按照“多面手”有没有被选入,选中的“多面手”作何用,进行分类.‎ 举一反三：‎ ‎【高清课堂：组合370707 例题4】‎ ‎【变式】由12个人组成文娱小组，其中5个人只会跳舞，5个人只会唱歌，两个人既会跳舞又会唱歌。若从中选出4个会跳舞和4个会唱歌的人去排演节目，共有多少种不同的选法？‎ ‎【答案】‎ 依题意有 　　　　　　　 　　　　　按选出的8人中，会跳舞的四人中含几名全能的人分类 　　　　　‎ 例7． 已知M、N是两个平行平面，在N内取4个点，在M内取5个点：这9个点中再无其他4点共面，则 ‎ （1）这些点最多能确定几个平面？‎ ‎ （2）以这些点为顶点，能作多少个三棱锥，多少个四棱锥？‎ ‎ 【思路点拨】本题有直接发和排除法两种思路可选，但要注意直接法及排除法都容易将M、N这两个平面丢掉．另外，构成四棱锥底面的4个顶点必须共面，这点很容易忽视。‎ ‎ 【解析】‎ ‎ 直接法．‎ ‎ （1）在平面M内取2个点有种方法，在平面N内取1个点有种方法，这3个点肯定不共线，可构成个平面；在平面M内取1个点，在平面N内取2个点，可构成个平面，再有就是M、N这两个平面．‎ ‎ （2）在平面M内取3个点有种方法，在平面N内取1个点有种方法，这4个点可构成个三棱锥；在平面M内取2个点，在平面N内取2个点；还可在平面M内取1个点，在平面N内取3个点．‎ ‎ 要构成四棱锥，由于底面的4个顶点必须共面，因此只能从平面M内取4个点（平面N内取1个点）或在平面N内取4个点（平面M内取1个点）．‎ ‎ 排除法．‎ ‎ （1）从9个点中任取3个点的方法有种，其中从平面M内4个点中任取3个点，即种，从平面N内5个点中任取3个点，即种，这及表示的都仅仅是平面M及平面N．‎ ‎ （2）从9个点中任取4个点的方法中去掉从平面M内4个点取4个及从平面N内5个点任取4个点这两类构不成三棱锥（仅是平面M或平面N）的情况．‎ ‎ 从9个点中任取5个点的方法中去掉构不成四棱锥的三类情况：平面M中取3个点同时平面N中取2个点；平面M中取2个点同时平面N中取3个点；平面N中全取5个点．‎ ‎ 解法一：（1）共有个平面；‎ ‎ （2）可构成个三棱锥；‎ ‎ 可构成个四棱锥．‎ ‎ 解法二：（1）能构成个平面；‎ ‎ （2）能构成个三棱锥；‎ ‎ 能构成个四棱锥．‎ ‎ 【总结升华】 有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.‎ 举一反三：‎ ‎【变式】 已知正方体ABCD-A1B1C1D1. （1）以正方体顶点为顶点的四面体有多少个？（2）从8个顶点中取出3个顶点，使至少有两个顶点在同一棱上，其取法种数为多少？（3）过8个顶点中任两点的直线与直线A1B异面的有多少条？‎ 图2‎ A B C D B1‎ D1‎ C1‎ A1‎ ‎【答案】 （1）从所有四点的组合中去掉共面的组合，6个表面四点共面，6个对角面四点共面. 所以共有四面体-12＝58个. ‎ ‎（2）如图2， A1BD这样的三点不能满足题意，可以认为这个三点组合与顶点A对应，正方体有8个顶点，每个顶点对应一个不合题意的三点组合. 所以满足题意的三点取法共有－8＝48种. ‎ ‎（3）在8个顶点取2个的组合中，去掉侧面ABB1A1中的两点组合有个，再去掉过A1不在面ABB1A1内的四条直线与过B的4条直线，还要去掉与之平行的D1C. 所以共有＝13条. ‎ ‎ 例8.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法 ‎【思路点拨】两个球的编号与盒子的编号相同即三个不同，可采用列表法。‎ ‎【解析】从5个球中取出2个与盒子对号有种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有种 ‎ ‎3号盒 4号盒 5号盒 ‎ ‎【总结升华】‎ 对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果 举一反三：‎ ‎【变式】 同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4‎ 张贺年卡不同的分配方式有（）．‎ ‎（A）6种（B）9种（C）11种（D）23种 ‎【答案】列举法（具体排、填方格）‎ 设4人为A，B，C，D，他们自己所写的贺卡分别为a，b，c，d，满足条件的分配方式列举如下：‎ 因此，共有3×3=9种不同的分配方式，故选B．‎