【数学】新疆哈密市第十五中学2020届高三6月热身试题（解析版） 16页

新疆哈密市第十五中学2020届高三6月热身数学试题 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知集合,则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知是虚数单位，复数满足，则的虚部为（ ）‎ A． i B．–i C．1 D．–1‎ ‎3．命题“，”的否定为（ ）‎ A．， B．， ‎ C．， D．，‎ ‎4．已知A(0,1),B(2,3),C(4,-1),D(x,y)，若,则y=（ ）‎ A.6 B‎.7 C.9 D.12‎ ‎5．设，，，则、、的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知函数的部分图像如图所示，给出下列四个结论：‎ ‎①的最小正周期为； ②的最小值为；‎ ‎③是的一个对称中心； ④函数在区间上单调递增.‎ 其中正确结论的个数是（ ） ‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎7．已知函数，则y＝f（x）的图象大致为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎8．我国古代木匠精于钻研，技艺精湛，常常设计出巧夺天工的建筑．在一座宫殿中，有一件特别的“柱脚”的三视图如图所示，则其体积为（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎9．运行如图所示的程序框图，设输出的数据构成集合，从集合中任取一个元素，则函数在上是增函数的概率为（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知奇函数，当时单调递增，且，若，则的取值范围为（ ）‎ A．{x|02} B．{x|x<0或x>2} C．{x|x<0或x>3} D．{x|x<–1或x>1}‎ ‎11．函数在点处的切线斜率为4，则的最小值为（ ） ‎ A．10 B．‎9 C．8 D．‎ ‎12．设，是双曲线的左，右焦点，是坐标原点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ）‎ A．2 B． C．3 D．‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知△ABC是边长为1的等边三角形，D,E分别为AB，AC的中点，则______‎ ‎14．已知点在抛物线上，则______；点到抛物线的焦点的距离是______.‎ ‎15．在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，∠B=135°，，则AD=_____.‎ ‎16．三棱锥的个顶点在半径为的球面上，平面，是边长为的正三角形，则点到平面的距离为______．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知数列满足，，数列的前项和为，且．‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，在直三棱柱中，是等腰直角三角形且，，是的一点，且，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）(文科做)求三棱锥的体积．‎ ‎（理科做）求二面角A-BC-P的余弦值.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班名女同学，名男同学中随机抽取一个容量为的样本进行分析.‎ ‎（1）（文科理科都做）如果按照性别比例分层抽样，应抽取男生女生各多少人？‎ ‎（2）如果随机抽取名同学的数学、物理成绩（单位：分）对应如下表：‎ ‎（文科做）若规定分以上（包括分）为优秀，从这名同学中抽取2名同学只看其数学成绩，求至少一人数学优秀的概率。‎ ‎(理科做)若规定分以上（包括分）为优秀，从这名同学中抽取名同学，记名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为，求的分布列和数学期望；‎ ‎（3）（文科理科都做）根据上表数据，求物理成绩关于数学成绩的线性回归方程（系数精确到），若班上某位同学的数学成绩为分，预测该同学的物理成绩为多少分？‎ 附：线性回归方程，其中.‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 平面直角坐标系中，已知圆，线段的中点是坐标原点，设直线的斜率分别为，且.‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）设直线分别交圆于点，直线的斜率分别为，已知直线与轴交于点.问：是否存在常数，使得若存在，求出的值；若不存在，说明理由.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数 ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）设为函数的极小值点，证明：‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求和的直角坐标方程；‎ ‎（2）求直线被曲线所截的弦长.‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若，求证：.‎ 参考答案 ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B C A B D C A C D A B D ‎1．【答案】B【解析】因为集合，‎ 所以,故选B.‎ ‎2．【答案】A ‎【解析】，‎ 所以，虚部为1故本题选C ‎3．【答案】A ‎【解析】命题“，”为全称命题，否定为“，”，‎ 故选：A.‎ ‎4．【答案】B ‎5．【答案】D【解析】对数函数为上的增函数，则；‎ 对数函数为上的减函数，则；‎ 指数函数为上的增函数，则，即.因此，.故选：D.‎ ‎6．【答案】C【解析】由图象知函数的最小正周期为，则，即，又由，得，由可知，从而，又，可得，所以，从而，易判断①②正确，而，所以③错误，‎ 又由，得的增区间为 ‎，‎ 可知当时，是的一个增区间，④正确，故选：C ‎7．【答案】A【解析】令，则，再取，则，显然，故排除选项B、C；再取时，，又当时，，故排除选项D.故选：A.‎ ‎8．【答案】C【解析】根据“柱脚”的三视图可知，该“柱脚”是由半圆柱和一个三棱柱组合而成，半圆柱的底面半圆的直径为，高为，故半圆柱的体积为，三棱柱的底面三角形的一边长为，该边上的高为，该三棱柱的高为，故该三棱柱体积为，所以该“柱脚”的体积为．‎ 故选：C．‎ ‎9．【答案】D【解析】执行程序框图，可得，，满足条件，，，满足条件，，，满足条件，，，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为.故选D．‎ ‎10．【答案】A【解析】为奇函数，时，单调递增，时，也单调递增，由，得，，，的取值范围为或，故选A.‎ ‎11．【答案】B【解析】，，所以.‎ 则.‎ 当且仅当，时，等号成立.故选：B ‎12．【答案】D【解析】不妨设过点作的垂线，其方程为，‎ 由解得，，即，‎ 由，所以有，‎ 化简得，所以离心率．故选：D ‎13．【答案】 ‎ ‎14．2 2 ‎ ‎【解析】点代入抛物线方程得：，解得：；‎ 抛物线方程为：，准线方程为：，点M到焦点的距离等于点M到准线的距离：故答案为2,2‎ ‎15．【答案】2‎ ‎【解析】如图设，，‎ ‎∵在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，∠B=135°，，‎ 在△ABC中，由正弦定理可得：⇒sinα；‎ ‎∴；‎ ‎∴，∴AD=2‎ ‎.‎ 故答案为：2.‎ ‎16．‎ ‎【解析】△ABC是边长为的正三角形，可得外接圆的半径2r2，即r＝1．‎ ‎∵PA⊥平面ABC，PA＝h，球心到底面的距离d等于三棱锥的高PA的一半即，‎ 那么球的半径R,解得h=2,又 ，由 知 ，得 故点到平面的距离为，故答案为．‎ ‎17．【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】（1）因为，，所以为首项是1，公差为2的等差数列，所以．‎ 又当时，，所以，当时， ① ②‎ 由得，即（），‎ 所以是首项为1，公比为的等比数列，故．‎ ‎（2）由（1）得，所以 ‎．‎ ‎18．【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）在直三棱柱中，平面，‎ 又平面，∴，又∵∴平面，‎ 又平面，∴，‎ ‎∵、、，∴，故，‎ 即，又，∴平面．‎ ‎（2）∵，，‎ ‎， ∴，（用三角函数更好算长度）‎ ‎（文科）∴，∴.‎ ‎（理科）平面PBC的法向量n=（4，0，-3），平面ABC的法向量m=（0，0，1），二面角A-BC-P的余弦值为3/5‎ ‎19．【解析】（1）根据分层抽样的方法，名女同学中应抽取的人数为，‎ 名男同学中应抽取的人数为，‎ ‎（2）（文科）5/7‎ ‎（理科）∵名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为，‎ ‎∴的取值为.∴，，，.∴的分布列为 ‎∴.‎ ‎（3）∵‎ ‎∴线性回归方程为.‎ 当时，‎ 可预测该同学的物理成绩为分.‎ ‎20．【答案】（1）（2）存在；‎ ‎【解析】（1）设，则，又，‎ ‎.，又斜率存在，‎ ‎∴点的轨迹方程是. (4分)‎ ‎（2）联立得 解得：,. (6分)‎ 联立得.‎ 解得： (10分)‎ ‎ ， ‎ ‎∴存在常数，使得. (12分)‎ ‎21．【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】（1）函数定义域为因为，‎ 当时，恒成立，在上单调递减； (2分)‎ 当时，令得．‎ 当时，，当时， (4分)‎ 综上：当时单调递减区间为，无增区间； (5分)‎ 当时，增区间为，减区间为，‎ ‎（2）由（1）知当时，在时取得极小值，‎ 的极小值为． (7分)‎ 设函数 (9分)‎ 当的；单调递减；当时；单调递增；‎ 故,即,所以． (12分)‎ ‎22．【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）消去参数可得， (3分)‎ 因为，所以； (6分)‎ ‎（2）法一：∵直线经过拋物线焦点，又倾斜角是30°，‎ ‎∴可设直线的参数方程是（是参数）， (8分)‎ 代入抛物线方程得.‎ 设直线和抛物线交于两点且它们对应的参数分别为，则 (10分)‎ ‎； (12分)‎ 法二：抛物线的焦点是且在直线上，设交抛物线于 联立抛物线方程和直线方程，消得，所以，‎ 所以. (12分)‎ ‎23．【答案】（1）或.（2）证明见解析 ‎【解析】（1）当时，‎ ‎ (2分)‎ 当时， ‎ 当时，不成立，∴ ‎ 当时，. ‎ 综上得不等式的解集或. (6分)‎ ‎（2）‎ ‎，令，则，而在是单调增的 ‎∴当时，‎ ‎∴当时，. (12分)‎