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- 2021-06-10 发布
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北京市第十一中学2020届高三一模数学试卷
一、选择题
(本大题共10小题,每小题4分,共40分)
1. 已知集合 , ,且 、 都是全集 ( 为实数集)的子集,则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为( ).
A. B. 或 C. D.
2. 下列函数中,在定义域上单调递增,且值域为 的是( ).
A. B. C. D.
,则
C.
3. 已知双曲线 的一条渐近线倾斜角为
A. B.
( ).
D.
4. 下列不等式成立的是( ).
A. B. C. D.
5. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于 的偶数可以表示为两个素数(即质数)的和”,如 , .在不超过 的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于 的概率是( ).
A. B. C. D. 以上都不对
6. 设 、 是两条不同的直线, 、 是两个不同的平面,则下列命题正确的是( )
A. 若
,
, B. 若
,
, C. 若
,
,
D. 若
,
,
则
则
,则
,则
1. 数列 的通项公式为 .则“ ”“是 为递增数列”的( ) 条件.
A. 必要而不充分 B. 充 要
C. 充分而不必要 D. 即不充分也不必要
2. 设函数
A.
,则使得 成立的 的取值范围是( ).
B. C. D.
3. 已知函数 .下列命题:①函数 的图象关于原点对称;②函数 是周期函数;③当 时,函数 取最大值;④函数 的图象与函数 的图象没有公共点, 其中正确命题的序号是( ).
A. ①④ B. ②③ C. ①③④ D. ①②④
4. 空间点到平面的距离定义如下:过空间一点作平面的垂线,这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离.已知平面 , , 两两互相垂直,点 ,点 到 , 的距离都是 ,
点 是 上的动点,满足 到
的最小值是( ).
的距离与 到点 的距离相等,则点
的轨迹上的点到
的距离
A. B.
C.
D.
二、填空题
(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
5. 如图,在复平面内,复数 , 对应的向量分别是 , ,则 .
6. 某高中共有 人,其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列,现用分层抽样的方法从中抽取 人,那么高二年级被抽取的人数为 .
7. 角 的顶点在坐标原点,始边与 轴的非负半轴重合,终边经过点 ,则 的值是 .
1. 平面向量 , , ,且 与 的夹角等于 与 的夹角, 则 .
2. 以 , 为圆心的两圆均过 ,与 轴正半轴分别交于 , ,且满足
,则点 的轨迹方程为 .
3. 某校开展“我身边的榜样”评选活动,现对 名候选人甲、乙、丙进行不记名投票,投票要求详见选票.这 名候选人的得票数(不考虑是否有效)分别为总票数的 , , ,则本次投票的有效率(有效票数与总票数的比值)最高可能为百分之 .
“我身边的榜样”评选选票
候选人
符号
注:
.同意画“ ”,不同意画 .
.每. 张. 选. 票. “ ”的. 个. 数. 不. 超. 过. 时. 才. 为. 有. 效. 票. .
甲
乙
丙
三、解答题
(本大题共6小题,共80分)
4. 如图所示,已知 平面 , , 为等边三角形, 为 边上的中点, 且 .
( 1 )求证: 面 .
( 2 )求证:平面 平面 .
( 3 )求该几何体 的体积.
5. 在锐角 中, 、 、 分别是角 、 、 的对边, , ,且 .
( 1 )求角 的大小;
( 2 )求函数 的值域.
月收入(单位:百元) 频数
频率
赞成人数
1. 某市调研机构对该市工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查,抽调了 名市民,他们月收入频数分布表和对“楼市限购令”赞成人数如下表:
( 1 )若所抽调的 名市民中,收入在 的有 名,求 , , 的值,并完成频率分布直方图.
频率
组距
收入 百元
( 2 )若从收入(单位:百元)在 的被调查者中随机选取 人进行追踪调查,选中的 人中恰有 人赞成“楼市限购令”,求 的分布列与数学期望.
( 3 )从月收入频率分布表的 组市民中分别随机抽取 名市民,恰有一组的 名市民都不赞成“楼市限购令”,根据表格数据,判断这 名市民来自哪组的可能性最大?请直接写出你的判断结果.
20. 已知函数
( 1 ) 当
时,求
.
的单调区间.
( 2 )设直线
时切线
( 3 )已知
是 曲 线 的方程.
分别在
的切线,若 的斜率存在最小值 ,求
, ( )处取得极值,求证:
的值,并求取得最小斜率
.
21. 已知椭圆 的两个焦点分别为 , .点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.
( 1 )求椭圆 的方程;
( 2 )已知点 的坐标为 ,点 的坐标为 .过点 任作直线 与椭圆 相交于 , 两点,设直线 , , 的斜率分别为 , , ,若
,试求 满足的关系式.
21. 对于非负整数集合 (非空),若对任意 , ,或者 ,或者 ,则称为一个好集合.以下记 为 的元素个数.
( 1 )给出所有的元素均小于 的好集合.(给出结论即可)
( 2 )求出所有满足 的好集合.(同时说明理由)
( 3 )若好集合 满足 ,求证: 中存在元素 ,使得 中所有元素均为 的整数倍.
北京市第十一中学2020届高三一模数学试卷(答案)
一、选择题
1. C
【解析】
,
,
图中表示的是 ,
∵ ,
∴ .
故选 .
2. B
【解析】A 选项:
根据题意可画出函数 上不单调,故 错误; B 选项:
的图象草图,则函数
在定义域
根据题意可画出函数 的图象,由图象可知, 在定义域上单调递增,且值域为 ,故 正确;
C 选项:
根据题意可作出 的大致图象,由图象可知,此函数单调递增,但值域为,故 错误;
D 选项:
根据题意可作出错误;
故选 B .
的大致图象,由图象可知,此函数在定义域上不单调,故
1. D
【解析】题目中双曲线方程可知, ,且渐近线方程为 ,因为其中一条渐
近线倾斜角为 ,则切斜率 , ,则 , 故选 D.
2. D
【解析】对于 , 则 ,故 错误; 对于 , 是在 单调递增, ,
∴ ,故 错误;
对于 , , ,
,∴ .故 错误;
对于 , 在 单调递增,又 ,
∴ ,故 正确.
综上,不等式成立的是 ,故选 .
1. A
【解析】不超过 的 素 数 有 , , , , , , , 共 个 , 从这 个素数中任选 个,有 种可能,
其中选取的两个数,其和等于 的有 , 共 个,
故随机选出两个不同的数,其和等于 的概率是 . 故选 .
2. C
【解析】解:对于A,由 可知存在直线 ,故当 为 内与 垂直的直线时,显然
, ,故A错误;
对于B,设
,则当
为
内与
平行的直线时,
,
,故B错
误;
对于C, ,
,得到
,又
,所以
,故C正确;
对于D,设 ,则当 为 内与 平行的直线时, ,故D错误. 故选:C.
3. A
【解析】数列 的通项公式为 , , 若“ 是递增数列”,则
,
即 ,
化简的 ,
又 ,
∴ ,
∴ ,
∴“ ”是 为递增数列的必要不充分条件. 故选 .
4. B
【解析】
∵
的定义域为 ,
∴ 为偶函数, 时,
∴ 在
单调递减,
,
单调递增,
若 ,则
∴ 的取值范围是故 选 .
,即 或 ,
,
1. A
【解析】函数定义域为 ,且 ,即函数为奇函数,故①正确;
是周期函数,而 不是周期函数,故 不是周期函数,即②错
误;
, ,故 不是最值,即③错
误;
因为 ,当 时, , ,故
, ;当 时, , ,故
, .即函数 的图象与函数 的图象没有公共
点,④正确. 故选: .
2. D
【解析】
如图,原题等价于在直角坐标系 中,点 、 是第一象限内的动点,满足到 轴的距离等于点 到点 的距离,则点 的轨迹上的点到 轴的距离的最小值 是多少.设 ,则 ,化简得
,则 ,故 ,即点 的轨迹上的点到 的距离的最小值是 ,故选 .
二、填空题
1.
【解析】由图可知 , ,所以
.
2. 人
【解析】 设高一、高二、高三人数分别为 、 、 , 则 ,
且 ,
解得 ,
用分层抽样的方法抽取 人,那么高二年级被抽取的人数为 人.
3.
【解析】由于角 的顶点在坐标原点,始边与 轴的非负半轴重合,终边经过点 ,可得 ,∴ .
故答案为: .
4.
所以
,即
【解析】由已知可得 ,且 ,
,
即 ,解得 .
5.
【解析】∵ ,
∴ ,
和 的中点坐标为 ,
∵ 在线段 的垂直平分线上,
∴ ,
∴ ,
和 的中点坐标为 ,
∵ 在线段 的垂直平分线上,
∴ ,
∴
,
∵
,
∴
,
∴
,
∴点 的轨迹方程为 . 故答案为: .
1.
【解析】不妨设共有选票 张,投 票的有 , 票的 , 票的 ,则由题意可得:
,化简 得 ,即 ,
由题投票有效率越高, 越小,则 , ,
故本次投票的有效率(有效票数与总票数的比值)最高可能为 .
三、解答题
2. ( 1 )证明见解析.
( 2 )证明见解析.
( 3 ) .
【解析】( 1 )取 的中点 ,连接 , ,
则
,
,
∴ ,
( 2 )
∴四边形 为平行四边形,
∴ .
又 面 , 平面 ,
∴ 面 .
为等边三角形, 为 中点,
∴ .
又 ,
∵ ,
∴ 面 . 又 ,
∴ 面 ,
∴面 平面 .
( 3 )几何体 是四棱锥 ,
作 交 于点 ,即 面 ,
.
18. ( 1 ) ;
( 2 )
【解析】( 1 )由 ,得 , ,
,
在锐角 中, ,
,故有 ;
,
,
,
,
( 2 )在锐角 中, ,故 .
.
函数 的值域为 .
19. ( 1 )
( 2 )
( 3 )
, , ,画图见解析. 的分布列为:
∴
.
.
【解析】( 1 )由频率分布表得 ,
即 .
因为所抽调的 名市民中,收入(单位:百元)在 的有 名, 所以 ,
所以 , ,
所以 , , ,且频率分布直方图如下:
频率组距
收入 百元
( 2 )收入在 中赞成人数为 ,不赞成人数为 ,
;
,
∴ 可能取值为 , , ,
;
∴ 的分布列为:
∴
.
( 3 )来自 的可能性更大.
20. ( 1 )函数的单调递减区间为 .
( 2 ) , .
( 3 )证明见解析.
【解析】( 1 )因为函数的定义域为 ,
当 时, ,
,
所以由于 ,解得 , 即函数的单调递减区间为 .
( 2 )因为 ,所以 ,
因为
,所以
.
当 取得最小斜率时,因为 ,即切点为
从而切线方程 ,即:
.
.
) ,
因为 分别在 , ( )处取得极值,
所以 , ( )是方程
,
即 的两个不等正根.
则 解得 ,且
,
.
从而
当且仅当 时取等号.因为直线 的斜率存在最小值 , 所以 ,即 .
( 3
,
即不等式 成立.
20. ( 1 ) 椭圆 的方程为 .
( 2 ) 的关系式为 .
【解析】( 1 )依题意, , ,
所以 .
故椭圆 的方程为 .
( 2 )①当直线 的斜率不存在时,由 解得 . 不妨设 , ,
因为 ,又 ,所以 , 所以 的关系式为 ,即 .
②当直线 的斜率存在时,设直线 的方程为 . 将 代入 整理化简得, .
所以
所以
,所以
,所以
的关系式为
设 , ,则 , . 又 , .
.
综上所述, 的关系式为 .
22. ( 1 )
( 2 )
, , , . ;证明见解析.
( 3 )证明见解析.
【解析】( 1 ) , , , .
( 2 )设 ,其中 ,
则 由 题 意 : , 故 , 即 , 考 虑 , , 可知 ,
所以 或 , 若 ,则考虑 , , 由于 ,
所以 ,因此 ,
所以 ,但此时考虑 , ,但 , , 不满足题意.
若 ,此时 满足题意, 所以 ,其中 , 为相异正整数.
( 3 )记
首先, 其中
分别考虑
,则
,设
和其他任一元素
,
,
,
,由题意可得
也 在 中 ,
而 所以
所以
,
,
,
对 于 故其差
特别的,
,考虑
,
, ,其和大于
,
,
所以
由
,
,且
,
所以
,
通过归纳可得:
,
所以
,此时,
,
故 中存在元素 ,使得 中所有元素均为 的整数倍.