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  • 2021-06-10 发布

北京十一中学2020届高三下学期第一次模拟数学试题

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北京市第十一中学2020届高三一模数学试卷 一、选择题 ‎(本大题共10小题,每小题4分,共40分)‎ 1. 已知集合 , ,且 、 都是全集 ( 为实数集)的子集,则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为( ).‎ A. B. 或 C. D. ‎ 2. 下列函数中,在定义域上单调递增,且值域为 的是( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎,则 C.‎ 3. 已知双曲线 的一条渐近线倾斜角为 A. B.‎ ‎( ).‎ D.‎ 4. 下列不等式成立的是( ).‎ A. B. C. D.‎ 5. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于 的偶数可以表示为两个素数(即质数)的和”,如 , .在不超过 的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于 的概率是( ).‎ A. B. C. D. 以上都不对 6. 设 、 是两条不同的直线, 、 是两个不同的平面,则下列命题正确的是( )‎ A. 若 ‎,‎ ‎, B. 若 ‎,‎ ‎, C. 若 ‎,‎ ‎,‎ D. 若 ‎,‎ ‎,‎ 则 则 ‎,则 ‎,则 1. 数列 的通项公式为 .则“ ”“是 为递增数列”的( ) 条件.‎ A. 必要而不充分 B. 充 要 C. 充分而不必要 D. 即不充分也不必要 2. 设函数 A. ‎ ‎,则使得 成立的 的取值范围是( ).‎ B. C. D. ‎ 3. 已知函数 .下列命题:①函数 的图象关于原点对称;②函数 是周期函数;③当 时,函数 取最大值;④函数 的图象与函数 的图象没有公共点, 其中正确命题的序号是( ).‎ A. ①④ B. ②③ C. ①③④ D. ①②④‎ 4. 空间点到平面的距离定义如下:过空间一点作平面的垂线,这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离.已知平面 , , 两两互相垂直,点 ,点 到 , 的距离都是 ,‎ 点 是 上的动点,满足 到 的最小值是( ).‎ 的距离与 到点 的距离相等,则点 的轨迹上的点到 的距离 A. B.‎ C.‎ D.‎ 二、填空题 ‎(本大题共6小题,每小题5分,共30分)‎ 5. 如图,在复平面内,复数 , 对应的向量分别是 , ,则 .‎ 6. 某高中共有 人,其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列,现用分层抽样的方法从中抽取 人,那么高二年级被抽取的人数为 .‎ 7. 角 的顶点在坐标原点,始边与 轴的非负半轴重合,终边经过点 ,则 的值是 .‎ 1. 平面向量 , , ,且 与 的夹角等于 与 的夹角, 则 .‎ 2. 以 , 为圆心的两圆均过 ,与 轴正半轴分别交于 , ,且满足 ‎,则点 的轨迹方程为 .‎ 3. 某校开展“我身边的榜样”评选活动,现对 名候选人甲、乙、丙进行不记名投票,投票要求详见选票.这 名候选人的得票数(不考虑是否有效)分别为总票数的 , , ,则本次投票的有效率(有效票数与总票数的比值)最高可能为百分之 .‎ ‎“我身边的榜样”评选选票 候选人 符号 注:‎ ‎.同意画“ ”,不同意画 .‎ ‎.每. 张. 选. 票. “ ”的. 个. 数. 不. 超. 过. 时. 才. 为. 有. 效. 票. .‎ 甲 乙 丙 三、解答题 ‎(本大题共6小题,共80分)‎ 4. 如图所示,已知 平面 , , 为等边三角形, 为 边上的中点, 且 .‎ ‎( 1 )求证: 面 .‎ ‎( 2 )求证:平面 平面 .‎ ‎( 3 )求该几何体 的体积.‎ 5. 在锐角 中, 、 、 分别是角 、 、 的对边, , ,且 .‎ ‎( 1 )求角 的大小;‎ ‎( 2 )求函数 的值域.‎ 月收入(单位:百元) 频数 频率 赞成人数 1. 某市调研机构对该市工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查,抽调了 名市民,他们月收入频数分布表和对“楼市限购令”赞成人数如下表:‎ ‎( 1 )若所抽调的 名市民中,收入在 的有 名,求 , , 的值,并完成频率分布直方图.‎ 频率 组距 收入 百元 ‎( 2 )若从收入(单位:百元)在 的被调查者中随机选取 人进行追踪调查,选中的 人中恰有 人赞成“楼市限购令”,求 的分布列与数学期望.‎ ‎( 3 )从月收入频率分布表的 组市民中分别随机抽取 名市民,恰有一组的 名市民都不赞成“楼市限购令”,根据表格数据,判断这 名市民来自哪组的可能性最大?请直接写出你的判断结果.‎ ‎20. 已知函数 ‎( 1 ) 当 时,求 ‎.‎ 的单调区间.‎ ‎( 2 )设直线 时切线 ‎( 3 )已知 是 曲 线 的方程.‎ 分别在 的切线,若 的斜率存在最小值 ,求 ‎, ( )处取得极值,求证:‎ 的值,并求取得最小斜率 ‎.‎ 21. 已知椭圆 的两个焦点分别为 , .点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.‎ ‎( 1 )求椭圆 的方程;‎ ‎( 2 )已知点 的坐标为 ,点 的坐标为 .过点 任作直线 与椭圆 相交于 , 两点,设直线 , , 的斜率分别为 , , ,若 ‎ ‎,试求 满足的关系式.‎ 21. 对于非负整数集合 (非空),若对任意 , ,或者 ,或者 ,则称为一个好集合.以下记 为 的元素个数.‎ ‎( 1 )给出所有的元素均小于 的好集合.(给出结论即可)‎ ‎( 2 )求出所有满足 的好集合.(同时说明理由)‎ ‎( 3 )若好集合 满足 ,求证: 中存在元素 ,使得 中所有元素均为 的整数倍.‎ 北京市第十一中学2020届高三一模数学试卷(答案)‎ 一、选择题 1. C ‎【解析】 ‎ ‎,‎ ‎,‎ 图中表示的是 ,‎ ‎∵ ,‎ ‎∴ .‎ 故选 .‎ 2. B ‎【解析】A 选项:‎ 根据题意可画出函数 上不单调,故 错误; B 选项:‎ ‎的图象草图,则函数 ‎在定义域 根据题意可画出函数 的图象,由图象可知, 在定义域上单调递增,且值域为 ,故 正确;‎ C 选项:‎ 根据题意可作出 的大致图象,由图象可知,此函数单调递增,但值域为,故 错误;‎ D 选项:‎ 根据题意可作出错误;‎ 故选 B .‎ ‎的大致图象,由图象可知,此函数在定义域上不单调,故 1. D ‎【解析】题目中双曲线方程可知, ,且渐近线方程为 ,因为其中一条渐 近线倾斜角为 ,则切斜率 , ,则 , 故选 D.‎ 2. D ‎【解析】对于 , 则 ,故 错误; 对于 , 是在 单调递增, ,‎ ‎∴ ,故 错误;‎ 对于 , , ,‎ ‎,∴ .故 错误;‎ 对于 , 在 单调递增,又 ,‎ ‎∴ ,故 正确.‎ 综上,不等式成立的是 ,故选 .‎ 1. A ‎【解析】不超过 的 素 数 有 , , , , , , , 共 个 , 从这 个素数中任选 个,有 种可能,‎ 其中选取的两个数,其和等于 的有 , 共 个,‎ 故随机选出两个不同的数,其和等于 的概率是 . 故选 .‎ 2. C ‎【解析】解:对于A,由 可知存在直线 ,故当 为 内与 垂直的直线时,显然 ‎, ,故A错误;‎ 对于B,设 ‎,则当 为 内与 平行的直线时,‎ ‎,‎ ‎,故B错 误;‎ 对于C, ,‎ ‎,得到 ‎,又 ‎,所以 ‎,故C正确;‎ 对于D,设 ,则当 为 内与 平行的直线时, ,故D错误. 故选:C.‎ 3. A ‎【解析】数列 的通项公式为 , , 若“ 是递增数列”,则 ‎ ,‎ 即 ,‎ 化简的 ,‎ 又 ,‎ ‎∴ ,‎ ‎∴ ,‎ ‎∴“ ”是 为递增数列的必要不充分条件. 故选 .‎ 4. B ‎【解析】‎ ‎∵‎ ‎的定义域为 ,‎ ‎ ‎ ‎∴ 为偶函数, 时,‎ ‎∴ 在 ‎ ‎‎ 单调递减,‎ ‎,‎ 单调递增,‎ 若 ,则 ‎∴ 的取值范围是故 选 .‎ ‎,即 或 ,‎ ‎,‎ 1. A ‎【解析】函数定义域为 ,且 ,即函数为奇函数,故①正确;‎ 是周期函数,而 不是周期函数,故 不是周期函数,即②错 误;‎ ‎, ,故 不是最值,即③错 误;‎ 因为 ,当 时, , ,故 ‎, ;当 时, , ,故 ‎, .即函数 的图象与函数 的图象没有公共 点,④正确. 故选: .‎ 2. D ‎【解析】‎ 如图,原题等价于在直角坐标系 中,点 、 是第一象限内的动点,满足到 轴的距离等于点 到点 的距离,则点 的轨迹上的点到 轴的距离的最小值 是多少.设 ,则 ,化简得 ‎ ‎,则 ,故 ,即点 的轨迹上的点到 的距离的最小值是 ,故选 .‎ 二、填空题 1. ‎【解析】由图可知 , ,所以 ‎ ‎.‎ 2. 人 ‎【解析】 设高一、高二、高三人数分别为 、 、 , 则 ,‎ 且 ,‎ 解得 ,‎ 用分层抽样的方法抽取 人,那么高二年级被抽取的人数为 人.‎ 3. ‎【解析】由于角 的顶点在坐标原点,始边与 轴的非负半轴重合,终边经过点 ,可得 ,∴ .‎ 故答案为: .‎ 4. 所以 ‎,即 ‎【解析】由已知可得 ,且 ,‎ ‎,‎ 即 ,解得 .‎ 5. ‎【解析】∵ ,‎ ‎∴ ,‎ 和 的中点坐标为 ,‎ ‎∵ 在线段 的垂直平分线上,‎ ‎∴ ,‎ ‎∴ ,‎ 和 的中点坐标为 ,‎ ‎∵ 在线段 的垂直平分线上,‎ ‎∴ ,‎ ‎∴ ‎ ‎,‎ ‎∵‎ ‎,‎ ‎∴‎ ‎,‎ ‎∴‎ ‎,‎ ‎∴点 的轨迹方程为 . 故答案为: .‎ 1. ‎【解析】不妨设共有选票 张,投 票的有 , 票的 , 票的 ,则由题意可得:‎ ‎,化简 得 ,即 ,‎ 由题投票有效率越高, 越小,则 , ,‎ 故本次投票的有效率(有效票数与总票数的比值)最高可能为 .‎ 三、解答题 2. ‎( 1 )证明见解析.‎ ‎( 2 )证明见解析.‎ ‎( 3 ) .‎ ‎【解析】( 1 )取 的中点 ,连接 , ,‎ 则 ‎,‎ ‎,‎ ‎∴ ,‎ ‎( 2 )‎ ‎∴四边形 为平行四边形,‎ ‎∴ .‎ 又 面 , 平面 ,‎ ‎∴ 面 .‎ 为等边三角形, 为 中点,‎ ‎∴ .‎ 又 ,‎ ‎∵ ,‎ ‎∴ 面 . 又 ,‎ ‎∴ 面 ,‎ ‎∴面 平面 .‎ ‎( 3 )几何体 是四棱锥 ,‎ 作 交 于点 ,即 面 ,‎ ‎ .‎ ‎18. ( 1 ) ;‎ ‎( 2 )‎ ‎【解析】( 1 )由 ,得 , ,‎ ‎,‎ 在锐角 中, ,‎ ‎,故有 ;‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎( 2 )在锐角 中, ,故 .‎ ‎.‎ 函数 的值域为 .‎ ‎19. ( 1 )‎ ‎( 2 )‎ ‎( 3 )‎ ‎, , ,画图见解析. 的分布列为:‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎【解析】( 1 )由频率分布表得 ,‎ 即 .‎ 因为所抽调的 名市民中,收入(单位:百元)在 的有 名, 所以 ,‎ 所以 , ,‎ 所以 , , ,且频率分布直方图如下:‎ 频率组距 收入 百元 ‎( 2 )收入在 中赞成人数为 ,不赞成人数为 ,‎ ‎;‎ ‎,‎ ‎∴ 可能取值为 , , ,‎ ‎;‎ ‎∴ 的分布列为:‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎( 3 )来自 的可能性更大.‎ 20. ‎( 1 )函数的单调递减区间为 .‎ ‎( 2 ) , .‎ ‎( 3 )证明见解析.‎ ‎【解析】( 1 )因为函数的定义域为 ,‎ 当 时, ,‎ ‎ ,‎ 所以由于 ,解得 , 即函数的单调递减区间为 .‎ ‎( 2 )因为 ,所以 ,‎ 因为 ‎,所以 ‎.‎ 当 取得最小斜率时,因为 ,即切点为 从而切线方程 ,即:‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎) ,‎ 因为 分别在 , ( )处取得极值,‎ 所以 , ( )是方程 ‎,‎ 即 的两个不等正根.‎ 则 解得 ,且 ‎,‎ ‎.‎ 从而 当且仅当 时取等号.因为直线 的斜率存在最小值 , 所以 ,即 .‎ ‎( 3 ‎ ‎,‎ 即不等式 成立.‎ 20. ‎( 1 ) 椭圆 的方程为 .‎ ‎( 2 ) 的关系式为 .‎ ‎【解析】( 1 )依题意, , ,‎ 所以 .‎ 故椭圆 的方程为 .‎ ‎( 2 )①当直线 的斜率不存在时,由 解得 . 不妨设 , ,‎ 因为 ,又 ,所以 , 所以 的关系式为 ,即 .‎ ‎②当直线 的斜率存在时,设直线 的方程为 . 将 代入 整理化简得, .‎ 所以 所以 ‎,所以 ‎,所以 的关系式为 设 , ,则 , . 又 , .‎ ‎.‎ 综上所述, 的关系式为 .‎ ‎22. ( 1 )‎ ‎( 2 )‎ ‎, , , . ;证明见解析.‎ ‎( 3 )证明见解析.‎ ‎【解析】( 1 ) , , , .‎ ‎( 2 )设 ,其中 ,‎ 则 由 题 意 : , 故 , 即 , 考 虑 , , 可知 ,‎ 所以 或 , 若 ,则考虑 , , 由于 ,‎ 所以 ,因此 ,‎ 所以 ,但此时考虑 , ,但 , , 不满足题意.‎ 若 ,此时 满足题意, 所以 ,其中 , 为相异正整数.‎ ‎( 3 )记 首先, 其中 分别考虑 ‎,则 ‎,设 ‎ ‎ 和其他任一元素 ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,由题意可得 也 在 中 ,‎ 而 所以 所以 ‎ ,‎ ‎ ‎ ‎,‎ ‎,‎ 对 于 故其差 特别的,‎ ‎,考虑 ‎,‎ ‎, ,其和大于 ‎,‎ ‎,‎ 所以 由 ‎,‎ ‎,且 ‎,‎ 所以 ‎,‎ 通过归纳可得:‎ ‎,‎ 所以 ‎,此时,‎ ‎,‎ 故 中存在元素 ,使得 中所有元素均为 的整数倍.‎

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