贵州省贵阳市2020届高三6月适应性考试（二）数学理试题 13页

贵阳市2020年高三适应性考试（二）‎ 理科数学 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，集合，则（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知复数满足，则其共轭复数（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知直线，和平面满足，则“”是“”的（ ）．‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．已知，，，则（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎5．若抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则（ ）．‎ A． B． C．8 D．16‎ ‎6．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米；当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时，乌龟爬行的总距离为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎7．若贵阳某路公交车起点站的发车时间为6:35，6:50，7:05，小明同学在6:40至7:05之间到达起点站乘坐公交车，且到达起点站的时刻是随机的，则他等车时间不超过5分钟的概率是（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎8．函数在上的图象大致为（ ）．‎ A．B．C．D．‎ ‎9．在中，在点为边上靠近点的三等分点，为的中点，则（ ）．‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎10．已知函数，函数的图象由图象向右平移个单位长度得到，则下列关于函数的说法正确的是（ ）．‎ A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．在单调递增 D．在单调递减 ‎11．已知是双曲线的右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为，并交轴于点．若，则的离心率为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数有两个零点，，则（ ）．‎ A．2 B．4 C．5 D．6‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23越为选考题，考生根据要求作答．‎ 二、填空题：‎ ‎13．曲线在处的切线方程为______．‎ ‎14．在的展开式中的系数为______．‎ ‎15．在数列中，，则______，数列的前项和为______．‎ ‎16．已知三棱锥外接球的表面积为，是边长为3的等边三角形，且平面平面，则三棱锥体积的最大值为______．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知的内角，，所对的边分别为，，，且．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．‎ ‎18．2020年2月以来，由于受新型冠状病毒肺炎疫情的影响，贵州省中小学陆续开展“停课不停学”的网络学习．为了解贵阳市高三学生返校前的网络学习情况，对甲、乙两所高中分别随机抽取了25名高三学生进行调查，根据学生的日均网络学习时长（单位：‎ ‎）分别绘制了部分茎叶图（如图1）和乙校学生日均网络学习时长的部分频率分布直方图（如图2），其中茎叶图缺少乙校茎“5．”和“6．”叶的数据．‎ 图1 图2‎ 注：茎叶图中的茎表示整数位数据，叶表示小数位数据，如乙校收集到的最小数据为．‎ ‎（1）补全图2的频率分布直方图，并估计乙校学生日均网络学习时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（2）求50名学生日均网络学习时长的中位数，并将日均网络学习时长超过和不超过的学生人数填入下面的列联表：‎ 超过 不超过 总计 甲 乙 总计 ‎（3）根据（2）中的列联表，能否有95％以上的把握认为甲、乙两校高三学生的网络学习时长有差异？‎ 附：，其中 ‎19．如图，在四棱锥中，为正方形，且平面平面，点为棱 的中点．‎ ‎（1）在棱上是否存在一点，使得平面？并说明理由；‎ ‎（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎20．已知圆的圆心为，点是圆内一个定点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点．‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）给定点，设直线不经过点且与轨迹相交于，两点，以线段为直径的圆过点．证明：直线过定点．‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（1）设是的极值点，求，并求的单调区间；‎ ‎（2）当时，证明．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程（为参数），直线过点，倾斜角为．‎ ‎（1）求曲线的普通方程和直线的参数方程；‎ ‎（2）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线截直线所得线段中点的极坐标为时，求直线的斜率．‎ ‎23．选修4-5不等式选讲 设函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若，求的取值范围．‎ 参考答案 ‎1．A 2．D 3．B 4．B 5．D 6．C 7．C 8．A 9．B 10．C ‎11．A 12．B ‎13． 14．25 15．， 16．‎ ‎17．解：（1）由已知，，‎ ‎∴，‎ 在中，由正弦定理得，‎ 则，‎ 又，故．‎ ‎（2）由正弦定理，，‎ 则，，且，‎ ‎∴‎ 又为锐角三角形，则，解得，‎ ‎∴，故，‎ 则，‎ 即周长的取值范围为．‎ ‎18．解：（1）补全图2的频率分布直方图如下图所示：‎ 由此估计乙校学生日均网络学习时长的平均数为 ‎．‎ ‎（2）由茎叶图知，，‎ 列联表如下：‎ 超过 不超过 总计 甲 ‎15‎ ‎10‎ ‎25‎ 乙 ‎10‎ ‎15‎ ‎25‎ 总计 ‎25‎ ‎25‎ ‎50‎ ‎（3）由（2）中的列联表可知：，‎ 所以没有95％以上的把握认为甲、乙两所高中高三学生的网络学习时长有差异．‎ ‎19．解：（1）当为中点时，平面．理由如下：‎ 如图，分别取，中点，，连接，，，，‎ 又∵是的中点，∴，，‎ 又∵为正方形，则，，‎ ‎∴，，‎ 又∵是中点，∴，，则四边形是平行四边形，‎ ‎∴，‎ 又平面，平面，‎ ‎∴平面．‎ ‎（2）如图，取中点，连接，，‎ 又，则，‎ ‎∵平面平面，平面平面，平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∴以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，‎ 设，则，，，，，‎ ‎∴，，，‎ 设平面的一个法向量为，则，‎ 令得，，则，，‎ ‎∴，‎ ‎∴直线与平面所成角的正弦值为．‎ ‎20．解：（1）如图，由已知，圆心，半径．‎ ‎∵点在线段的垂直平分线上，则，‎ 又，∴，‎ 又∵，∴，‎ 则动点的轨迹是以，为焦点，长轴长的椭圆，‎ 从而，，，‎ 故所求轨迹方程为．‎ ‎（2）由已知，，则，故，‎ 若的斜率不存在，设，由题设知，且，‎ 此时，，，‎ ‎，，‎ 则，解得，不符合题设．‎ 若的斜率存在，设，‎ 将代入得，‎ 由题设可知，‎ 设，，则，，‎ ‎，，从而 即 化简得，解得（舍去）或，‎ 此时成立，于是，‎ 故直线过定点．‎ ‎21．解：（1），‎ 由是的极值点知，，即，所以．‎ 于是，定义域为，且，‎ 函数在上单调递增，且，‎ 因此当时，；当时，，‎ 所以的单调递减区间为，增区间为．‎ ‎（2）当，时，，从而，则 ‎，‎ 令，，则 在单调递增，‎ 且，，‎ 故存在唯一的实数，使得．‎ 当时，；当时，．‎ 从而当时，取最小值．‎ 由得，则，，‎ 故，‎ 由知，，故，‎ 即当时，成立．‎ ‎22．解：（1）曲线的直角坐标方程为，‎ 直线的参数方程（为参数）．‎ ‎（2）点化成直角坐标为，‎ 将分别代入，‎ 化简得，‎ 设曲线截直线所得线段的两端点所对应的参数分别为，，‎ 则，‎ 由已知，，∴，‎ 即，则，‎ 即直线的斜率为．‎ ‎23．解：（1）当时，．‎ 可得的解集为．‎ ‎（2）要使，只需即可．‎ 又，且当时等号成立．‎ ‎∴，则，‎ 当，即时，恒成立；‎ 当，即时，，‎ 得，故，‎ 从而，‎ 综上，．‎