2018-2019学年辽宁省辽河油田第二高级中学高二上学期期中考试数学（理）试题 Word版 9页

‎2018-2019学年辽宁省辽河油田第二高级中学高二上学期期中考试数学（理）试题 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.有以下四个命题：①若，则.②若有意义,则.‎ ③若,则.④若,则 .则是真命题的序号为( )‎ ‎ A．①② B．①③ C．②③ D．③④‎ ‎2. “”是 “”是的( )‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ ‎3.抛物线：的焦点坐标是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎4. 已知i是虚数单位，则复数的虚部是（　 ）‎ A. -1 B. 1 C. -i D. i ‎5.若方程C：（是常数）则下列结论正确的是（ ）[]‎ A．，方程C表示椭圆 ‎ B．，方程C表示双曲线 C．，方程C表示椭圆 ‎ D．，方程C表示抛物线 ‎6.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，=（ 　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.函数 （的最大值是（ ）‎ A．1 B． -1 C．0 D．‎ ‎8．过点与抛物线有且只有一个交点的直线有（ ）‎ A.4条　　　 B.3条　　　 C.2条 D.1条 ‎9．由曲线与的边界所围成区域的面积为（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎10. 下列条件中使与、、一定共面的是( )‎ A． B．‎ C． D． ‎ ‎11．已知函数，则、、的大小关系（ ）‎ A．>> B．>>‎ C． >> D．>>‎ ‎12..函数，若的导函数在R上是增函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．设复数z=a+i（a∈R，i为虚数单位），若（1+i）•z为纯虚数，则a的值为_____．‎ ‎14. 是过抛物线焦点的弦，且,则中点的横坐标是_____.‎ ‎15．若直线的方向向量，平面的一个法向量，则直线与平面所成角的正弦值等于_________。‎ ‎16． 已知函数f(x)＝－x2＋4x－3ln x在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.（10分）已知椭圆C:上一点到它的两个焦点（左）, （右）的距离的和是6，‎ ‎（1）求椭圆C的离心率的值.‎ ‎（2）若轴，且在轴上的射影为点，求点的坐标.‎ ‎18. （12分）已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为.‎ ‎（Ⅰ）求函数的解析式； （Ⅱ）求函数的单调区间.‎ ‎19. （12分） 设命题是的必要而不充分条件；设命题实数满足方程表示双曲线.‎ ‎(1)若“”为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎(2)若“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围.‎ ‎20. （12分）如图，PA⊥平面ABCD，AD//BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝PA＝1，AD＝3，E是PB的中点． ‎ ‎（1）求证：AE⊥平面PBC；‎ ‎（2）求二面角B－PC－D的余弦值．‎ ‎21．（12分）已知函数 ‎（1）若函数在处取得极值，求a的值.‎ ‎（2）讨论函数的单调性；‎ ‎22．（12分）中心在原点的双曲线C的右焦点为，渐近线方程为． （I）求双曲线C的方程； （II）直线l：y=kx-1与双曲线C交于P，Q 两点，试探究，是否存在以线段PQ为直径的圆过原点．若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．‎ 高二上学期期中考试 数学（理）试题答案 一、 选择题：(本大题共12个小题,每小题5分,共60分)‎ ABCBB DACBC CD 二、 填空题（每题5分，满分20分）‎ ‎13. 1． 14. 4． 15. ． 16.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分）‎ ‎17.（10分）（1） ---------2分 ‎ ‎---------5分 （2）-------10分 ‎18.（12分）解：（Ⅰ）由的图象经过P（0，2），知d=2，所以 由在处的切线方程是，知 故所求的解析式是      --------6分 （Ⅱ） 解得  当 当 故的增区间是和， 减区间是.        --------12分 ‎19.（12分）解：由，得 命题真时，则，得 ‎∴命题假时，，‎ 命题真时，得，解得或，‎ 命题假时， -------- 4分 ‎（1）若“”为真命题，则真真，所以，‎ 所以或 即实数的取值范围为： -------- 8分 ‎（2）∵为假，为真，∴一真一假.‎ 当真假时，则，所以；‎ 当假真时，则，所以.‎ 综上可知，实数的取值范围为：. -------- 12分 ‎20.（12分）解：（1）证明：根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系， ‎ 则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，3，0)，P(0，0，1)，，，＝(0，1，0)，＝(－1，0，1)． 因为·＝0，·＝0， 所以⊥，⊥． 所以AE⊥BC，AE⊥BP． 因为平面PBC，平面PBC，且BC∩BP＝B， 所以AE⊥平面PBC． -------- 6分 （2）设平面PCD的法向量为， 则， 因为＝(－1，2，0)，＝(0，3，－1)， 所以－x＋2y＝0，3y－z＝0． 令x＝2，则y＝1，z＝3． 所以是平面PCD的一个法向量． 因为AE⊥平面PBC， 所以是平面PBC的法向量． 所以 由此可知与的夹角的余弦值为． 根据图形可知，二面角B－PC－D的余弦值为．-------- 12分 ‎21.（12分）解：（1）由得或（舍去）‎ 经检验，时，函数在处取得极值-------- 6分 ‎（2）的定义域为 令 得 当时，‎ ‎①当时，‎ 在定义域上单调递增； []‎ ‎ ②当时，在上单调递减，在上单调递增； ‎ ‎③当时，在和上单调递增，在上单调递减．-------- 12分 ‎22.（12分）解：（Ⅰ）设双曲线的方程为-=1，（a＞0，b＞0），则有c=， =，c2=a2+b2， 得a=，b=1，所以双曲线方程为2x2-y2=1．-------- 6分 ‎ （Ⅱ）由得（2-k2）x2+2kx-2=0， 依题意有 解得-2＜k＜2且k≠，① 且x1+x2=，x1x2=， 设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 依题意有OP⊥OQ，所以•=x1x2+y1y2=0， 又y1y2=（kx1-1）（kx2-1）=k2x1x2-k（x1+x2）+1， 所以-+1=0， 化简得k=0， 符合①，所以存在这样的圆．-------- 12分