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- 2021-06-10 发布
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2018-2019学年下学期佛山一中、石门中学、顺德一中、国华纪中
期末联考高一年级数学科试卷
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.集合,则( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先化简集合A,B,再求A∩B得解.
【详解】由题得,
所以.
故选:C
【点睛】本题主要考查不等式的解法和集合的交集运算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.
2.已知点,和向量,若,则实数的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出,再利用共线向量的坐标表示求实数的值.
【详解】由题得,
因为,
所以.
故选:B
【点睛】本题主要考查向量的坐标运算和向量共线的坐标表示,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.
3.等差数列中,若,,则( )
A. 2019 B. 1 C. 1009 D. 1010
【答案】D
【解析】
【分析】
由等差数列中,,,求出,由此能求出的值.
【详解】等差数列中,,,
,
即,解得,
.
故选:.
【点睛】本题考查等差数列基本量的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题.
4.若一个人下半身长(肚脐至足底)与全身长的比近似为(,称为黄金分割比),堪称“身材完美”,且比值越接近黄金分割比,身材看起来越好,若某人着装前测得头顶至肚脐长度为72,肚脐至足底长度为103,根据以上数据,作为形象设计师的你,对TA的着装建议是( )
A. 身材完美,无需改善 B. 可以戴一顶合适高度的帽子
C. 可以穿一双合适高度的增高鞋 D. 同时穿戴同样高度的增高鞋与帽子
【答案】C
【解析】
【分析】
对每一个选项逐一分析研究得解.
【详解】A.,所以她的身材不完美,需要改善,所以该选项是错误的;
B.假设她需要戴上高度为x厘米的帽子,则,显然不符合实际,所以该选项是错误的;
C.假设她可以穿一双合适高度为y的增高鞋,则,所以该选项是正确的;
D.假设同时穿戴同样高度z的增高鞋与帽子,则,显然不符合实际,所以该选项是错误的.
故选:C
【点睛】本题主要考查学生对新定义的理解和应用,属于基础题.
5.在中,角的对边分别为,若,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由正弦定理可得,化简后求出,然后求出即可.
【详解】,,
,,
,.
故选:.
【点睛】本题考查了正弦定理和同角三角函数的基本关系,属于基础题.
6.某同学用收集到的6组数据对(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)制作成如图所示的散点图(点旁的数据为该点坐标),并由最小二乘法计算得到回归直线l的方程:x,相关指数为r.现给出以下3个结论:①r>0;②直线l恰好过点D;③1;其中正确的结论是
A. ①② B. ①③
C. ②③ D. ①②③
【答案】A
【解析】
由图可知这些点分布在一条斜率大于零的直线附近,所以为正相关,即相关系数
因为所以回归直线的方程必过点,即直线恰好过点;
因为直线斜率接近于AD斜率,而,所以③错误,
综上正确结论是①②,选A.
7.已知,,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据已知求出,再利用二倍角公式求解.
【详解】由题得,
所以,
所以,
所以,
所以.
故选:B
【点睛】本题主要考查同角的三角函数的关系和二倍角公式,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.
8.甲、乙两个不透明的袋中各有5个仅颜色不同的球,其中甲袋中有3个红球,2个白球,乙袋中有2个红球,3个白球,现从两袋中各随机取一球,则两球不同颜色的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
现从两袋中各随机取一球,基本事件总数,两球不同颜色包含的基本事件个数,由此能求出两球不同颜色的概率.
【详解】甲、乙两个不透明的袋中各有5个仅颜色不同的球,
其中甲袋中有3个红球、2个白球,乙袋中有2个红球、3个白球,
现从两袋中各随机取一球,基本事件总数,
两球不同颜色包含的基本事件个数,
则两球不同颜色的概率为.
故选:.
【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题.
9.已知函数是偶函数,将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为,若的最小正周期为,且,则( )
A. -2 B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意根据三角函数的图象的对称性求出,由周期求出,由三角函数的值求出,可得函数的解析式,从而求得的值.
【详解】已知函数,,是偶函数,
,.
将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为.
若的最小正周期为,则有,,,.
,,
则,
故选:.
【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律,三角函数的图象的对称性,函数的部分图象求解析式,属于基础题.
10.已知数列前项和为,且满足,(为非零常数),则下列结论中:
①数列必为等比数列;②时,;③;④存在,对任意正整数,都有
正确的个数有( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
由数列的递推式和等比数列的定义可得数列为首项为,公比为的等比数列,结合等比数列的通项公式和求和公式,即可判断.
【详解】,可得,即,
时,,,
相减可得,即有数列为首项为,公比为的等比数列,故①正确;
由①可得时,,故②错误;
,
,则,即③正确;
由①可得,等价为,
可得,故④正确.
故选:.
【点睛】本题考查数列的递推式的运用,以及等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用,考查化简整理的运算能力,属于中档题.
11.已知函数,且实数,满足,若实数是函数的一个零点,那么下列不等式中不可能成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由函数的单调性可得:当时,函数的单调性可得:(a),(b),(c),即不满足(a)(b)(c),得解.
【详解】因为函数,
则函数在为增函数,
又实数,满足(a)(b)(c),
则(a),(b),(c)为负数的个数为奇数,
对于选项,,选项可能成立,
对于选项,
当时,
函数的单调性可得:(a),(b),(c),
即不满足(a)(b)(c),
故选项不可能成立,
故选:.
【点睛】本题考查了函数的单调性,属于中档题.
12.函数,,若存在,,使得成立,则的最大值为( )
A. 12 B. 22 C. 23 D. 32
【答案】B
【解析】
【分析】
由题得,
构造,分析得到,即得解.
【详解】由得,
令,
,,得.
的最大值为22.
故选:B.
【点睛】本题考查函数的最值的求法,注意运用转化思想,以及二次函数在闭区间上的最值求法,考查运算能力,属于中档题.
二、填空题(将答案填在答题纸上)
13.向量满足,,则向量的夹角的余弦值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
通过向量的垂直关系,结合向量的数量积求解向量的夹角的余弦值.
【详解】向量,满足,,
可得:,,
向量的夹角为,
所以.
故答案为:.
【点睛】本题考查向量的数量积的应用,向量的夹角的余弦函数值的求法.考查计算能力.属于基础题.
14.从某工厂生产线上随机抽取16件零件,测量其内径数据从小到大依次排列如下(单位:
):1.12,1.15,1.21,1.23,1.25,1.25,1.26,1.30,1.30,1.32,1.34,1.35,1.37,1.38,1.41,1.42,据此可估计该生产线上大约有25%的零件内径小于等于_____,大约有30%的零件内径大于_____.
【答案】 (1). 1.23 (2). 1.35
【解析】
【分析】
利用,,据此可估计该生产线上大约有的零件内径小于等于,大约有的零件内径大于.
【详解】从某工厂生产线上随机抽取16件零件,
测量其内径数据从小到大依次排列如下(单位:
1.12,1.15,1.21,1.23,1.25,1.25,1.26,1.30,1.30,1.32,1.34,1.35,1.37,1.38,1.41,1.42.
,,
据此可估计该生产线上大约有的零件内径小于等于,
大约有的零件内径大于.
故答案为:1.23,1.35.
【点睛】本题考查满足条件的内径的求法,考查数据处理能力等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题.
15._____.
【答案】2
【解析】
【分析】
先通分,再利用二倍角的正弦公式和和角的余弦公式化简即得解.
【详解】.
故答案为:2
【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角化简求值,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.
16.已知正整数数列满足,对于给定的正整数,若数列中首个值为1的项为,我们定义,则_____.设集合,则集合中所有元素的和为_____.
【答案】 (1). 4 (2). 100
【解析】
【分析】
根据已知中数列满足,数列中首个值为1的项为.我们定义.分类讨论可得答案.
【详解】正整数数列满足,
故,,,,
即(7),
若,则且,
若为奇数,则,不题意;
若为偶数,则,
(1)若为奇数,则,
若为奇数,则,
①若为奇数,则,
②若为偶数,则,
若为偶数,则,
①若为奇数,则,
②若为偶数,则,
(2)若为偶数,则,
若为奇数,则,
①若为奇数,则,
②若为偶数,则,
若为偶数,则,
①若为奇数,则,
②若为偶数,则,
综上可得:,10,11,12,13,14,15,
则集合中所有元素的和为100.
故答案为:4,100
【点睛】本题考查的知识点是数列的递推公式,归纳推理思想,属于中档题.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.某高中非毕业班学生人数分布情况如下表,为了了解这2000个学生的体重情况,从中随机抽取160个学生并测量其体重数据,根据测量数据制作了下图所示的频率分布直方图.
(1)为了使抽取的160个样品更具代表性,宜采取分层抽样,请你给出一个你认为合适的分层抽样方案,并确定每层应抽取的样品个数;
(2)根据频率分布直方图,求的值,并估计全体非毕业班学生中体重在内的人数;
(3)已知高一全体学生的平均体重为,高二全体学生的平均体重为,试估计全体非毕业班学生的平均体重.
【答案】(1)见解析;(2) ;1350人;(3) 平均体重为.
【解析】
【分析】
(1)考虑到体重应与年级及性别均有关,最合理的分层应分为以下四层:高一男生,高一女生,高二男生,高二女生,高一男44人,高一女52人,高二男34人,高二女30人,由此能求出结果.(2)体重在之间的学生人数的率,从而,体重在,内人数的频率为0.675,由此能求出估计全体非毕业班学生体重在,内的人数.(3)设高一全体学生的平均体重为:,频率为,高二全体学生的平均体重为,频率为,由此能估计全体非毕业班学生的平均体重.
【详解】(1)考虑到体重应与年级及性别均有关,最合理的分层应分为以下四层:
高一男生、高一女生、高二男生、高二女生
高一男:人,高一女:人
高二男: ,高二女:人
可能的方案一:按性别分为两层,男生与女生
男生人数:人,女生人数:人
可能的方案二:按年级分为两层,高一学生与高二学生
高一人数:人高二人数:人
(2)体重在70-80之间学生人数的频率:
体重在内人数的频率为:
∴估计全体非毕业班学生体重在内的人数为:人
(3)设高一全体学生的平均体重为,频率为
高二全体学生的平均体重为,频率为
则估计全体非毕业班学生平均体重为
答:估计全校非毕业班学生平均体重为.
【点睛】本题考查频率分布直方图、频率、分层抽样、平均数等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题.
18.在公比不为1的等比数列中,,且依次成等差数列
(1)求数列的通项公式;
(2)令,设数列的前项和,求证:
【答案】(1) (2) 见证明
【解析】
【分析】
(1)根据已知条件得到关于的方程组,解方程组得的值,即得数列的通项公式;(2)先求出,,再利用裂项相消法求,不等式即得证.
【详解】(1)设公比为,,,成等差数列,可得,
即,解得(舍去),或,
又,解得
所以.
(2)
故,
得
【点睛】本题主要考查等比数列通项的求法,考查等差数列前n项和的求法,考查裂项相消法求和,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.
19.在中,角的对边分别为,已知
(1)求;
(2)若为锐角三角形,且边,求面积的取值范围.
【答案】(1) ;(2)
【解析】
【分析】
(1)利用正弦定理边化角,再利用和角的正弦公式化简即得B的值;(2)先根据已知求出,再求面积的取值范围.
详解】解:(1),即
可得,
∵
∴
∵
∴
∴
由,可得;
(2)若为锐角三角形,且,由余弦定理可得,
由三角形为锐角三角形,
可得且
解得,
可得面积
【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形,考查三角形面积的取值范围的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.
20.某企业生产的某种产品,生产总成本(元)与产量(吨)()函数关系为,且函数是上的连续函数
(1)求的值;
(2)当产量为多少吨时,平均生产成本最低?
【答案】(1) ; (2) 当产量吨,平均生产成本最低.
【解析】
分析】
(1)根据函数连续性的定义,可得在分段处两边的函数值相等,可得a的值;(2)求出平均成本的表达式,结合二次函数和基本不等式,可得平均生产成本的最小值点.
【详解】(1)设,
由函数是上的连续函数.
即,代入得
(2)设平均生产成本为,
则
当中,,函数连续且在单调递减,单调递增
即当,元
当,,由,当且仅当取等号,即当,元
综上所述,当产量吨,平均生产成本最低.
【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用,二次函数的图象和性质,基本不等式求最值,属于中档题.
21.设向量,,令函数,若函数的部分图象如图所示,且点的坐标为.
(1)求点的坐标;
(2)求函数的单调增区间及对称轴方程;
(3)若把方程的正实根从小到大依次排列为,求的值.
【答案】(1) (2) 单调递增区间为;对称轴方程为,;(3)14800
【解析】
【分析】
(1)先求出,令求出点B坐标;(2)利用复合函数的单调性原理求函数的单调增区间,利用三角函数的图像和性质求对称轴方程;(3)由(2)知对称轴方程为,,所以,,…,,即得解.
【详解】解:(1)
由已知,得
∴
令,得,,∴,.
当时,,∴得坐标为
(2)单调递增区间,得,
∴单调递增区间为
对称轴,得,
∴对称轴方程为,
(3)由,得,
根据正弦函数图象的对称性,且由(2)知对称轴方程为,
∴,,…,
∴
【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质,考查等差数列求和,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于中档题.
22.已知函数,
(1)写出函数的解析式;
(2)若直线与曲线有三个不同的交点,求的取值范围;
(3)若直线 与曲线在内有交点,求的取值范围.
【答案】(1) (2) (3)
【解析】
【分析】
(1)先分类讨论求出|f(x)|的解析式,即得函数的解析式;(2)当时,直线与曲线只有2个交点,不符题意.当时,由题意得,直线与曲线在或内必有一个交点,且在的范围内有两个交点.由消去得.令,写出应满足条件解得;(3)由方程组消去得.由题意知方程在,内至少有一个实根,设两根为,,不妨设,,.由根与系数关系得,.代入求解即可.
【详解】(1)当,得或,此时;
当,得,此时
∴
(2)当时,直线与曲线只有2个交点,不符题意.
当时,由题意得,直线与曲线在或内必有一个交点,且在的范围内有两个交点.
由,消去得.
令,则应同时满足以下条件:
,
解得或,所以的取值范围为
(3)由方程组,消去得.
由题意知方程在内至少有一个实根,设两根为,
不妨设,,由根与系数关系得,
∴
当且仅当时取等.
所以的取值范围为.
【点睛】本题考查了函数与方程,涉及了分段函数、零点、韦达定理等内容,综合性较强,属于难题.