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- 2021-06-10 发布
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好题速递301
已知正数满足,则的最大值为 .
解:
解法一:令,得
则
当且仅当,即时取得等号。
解法二:
令,则
令,则
原式
当且仅当,即时取得等号
好题速递302
x
O
y
1
1f1(x)
f1(x)
图1:n=1时
设函数,则方程有 个实数根.
解:令,问题化为观察与图像的交点有几个.由于是偶函数,故是偶函数,只要考虑 时的交点个数.
n=1时,的图像是把的图像下移,
x
O
y
1
1f1(x)
f2(x)
图2:n=2时
再把x轴下的图像往上翻而得,,有1个零点,
以零点为界,呈“减增”状态,最后趋于,
如图1,有2个交点;
n=2时,的图像是把的图像下移,
再把x轴下的图像往上翻而得,,有2个零点,
以2个零点为界,呈“减增减增”状态,最后趋于,
如图2,有个交点;……
n= n≥2时,,且有个零点
以个零点为界,呈“减增减增…减增”状态,最后趋于,故的每1个零点都对应产生2个两函数图像的交点,∴有个交点,再由对称性知x<0时,也有个交点,故共有个交点,从而原方程有个实根
好题速递303
已知数列满足.设为均不等于2的且互不相等的常数,若数列为等比数列,则的值为 .
解:
因为数列为等比数列,所以,,且公比为,
故为方程的两不等实根,从而.
好题速递304
已知若关于的方程在上有两个实数解,则的取值范围是 .
解:可以转化为,记,则在上有两个实数解,可以转化为函数与的图象,结合图像和特殊点可知
好题速递305
已知向量,,满足,且与的夹角的正切为,与的夹角的正切为,,则的值为 .
解:易得
评注:这个题要注意向量的夹角是共起点的,所以要特别留意取本身还是补角。
好题速递30O
A
B
C
M
N
P
D
E
6
如图,矩形OABC中,AB=1,OA=2,以B为圆心、BA为半径在矩形内部作弧,点P是弧上一动点,PM⊥OA,垂足为M,PN⊥OC,,垂足为N,则四边形OMPN的周长的最小值为 .
解:如图,连BP,则BP=1,设∠CBP=a,,
O
A
B
C
M
N
P
a
D
E
,
∴,
四边形OMPN的周长
当时,
好题速递307
设、是关于的方程的两个不相等的实数根,那么过两点、的直线与圆的位置关系是( )
(A)相离 (B)相切 (C)相交 (D)随m的变化而变化
解:,∴直线AB:,即
,即,
圆心到AB的距离,由韦达定理,,,∴
取m=0,则d=0Þ相交;取m=2,则Þ相离,故选D
好题速递308
已知函数的图像关于垂直于轴的直线对称,则的取值集合是 .
x
1
a
-1
解:若,则,其图像呈“剑”形,如图,
对称轴为x=a,则
同理,若时,对称轴是,∴
若时,对称轴是,∴
好题速递309
在中,若,则面积的最大值为 .
解:在中延长到,使,所以,则已知变为。
解法一:由极化恒等式知,
故,所以,当且仅当时取得最大值。
解法二:以边所在直线为轴,边的中点为坐标原点建立坐标系,由,则,所以,设。由,所以,则,所以,所以。
解法三:,
因为,故
所以
好题速递310
定义:{x,y}为实数x,y中较小的数.已知,其中a,b 均为正实数,则h的最大值是 .
解:因为a,b 均为正实数,
当,即时,,即
所以
当时,
综上,h的最大值是
好题速递311
已知共有项的数列,,定义向量、,若,则满足条件的数列的个数有( )个
A. 2 B. C. D.
解: ÞÞ,∵,
∴Þ为等比数列,
∴Þ
∵时,,∴,故当时,,即始终有两种选择,∴有个
好题速递312
若方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆,则的最小值为 .
解:方程表示焦点在轴且离心率小于的椭圆时,
有 ,即,化简得,
又,,画出满足不等式组的平面区域,如右图阴影部分所示,令,平移直线,当过时,
好题速递313
已知四数a1,a2,a3,a4依次成等比数列,且公比q不为1.将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列, 则正数q的取值集合是 .
解:因为公比q不为1,所以不能删去a1,a4.设的公差为d,则
① 若删去a2,则由2a3=a1+a4得2a1q=a1+a1q,即,
整理得q(q-1)=(q-1)(q+1).
又q≠1,则可得,又q>0解得;
② 若删去a3,则由2a2=a1+a4得2a1q=a1+a1q,即2q=1+q,
整理得q(q-1)(q+1)=q-1.
又q≠1,则可得q(q+1)=1,又q>0解得 .
综上所述,.
好题速递314
D
A
B
C
如图,梯形ABCD中,AB//CD,AB=6,AD=DC=2,若,则 .
解:转基底,以为基底,则,
则
所以,则∠BAD=60o,
则
点评:本题主要考查平面向量的数量积,体现化归转化思想.另本题还可通过建立平面直角坐标系将向量“坐标化”来解决.向量问题突出基底法和坐标法,但要关注基底的选择与坐标系位置选择的合理性,两种方法之间的选择.
好题速递315
数列是等差数列,数列满足,设为的前n项和.若,则当取得最大值时n的值等于___________.
解:设的公差为d,由得 ,所以,
从而可知1≤n≤16时,, n≥17时,.
从而b1>b2>…>b14>0>b17>b18>…,b 15=a15a16a17<0,b16=a16a17a18>0,
故S14>S13>……>S1,S14>S15,S15<S16.
因为,,所以,
所以b15+b16=a16a17(a15+a18)>0,所以S16>S14,故Sn中S16最大.
点评:利用等差数列及等差数列的基本性质是解题基本策略.此题借助了求等差数列前项和最值的方法,所以在关注方法时,也要关注形成方法的过程和数学思想.
好题速递316
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线条数为________条.
解:在EF上任意取一点M,直线A1D1与M确定一个平面,这个平面与CD有且仅有1个交点N,当M取不同的位置就确定不同的平面,从而与CD有不同的交点N,而直线MN与直线A1D1,EF,CD均相交,故满足题意的直线有无数条.
好题速递317
已知,,成等差数列,则①;②;③中,正确的是 .(填入序号)
解:2(ac)2=(bc)2+(ab)2=|bc|2+|ab|2≥2|bc|×|ab|=2|ac|b2Þ|ac|≥b2,
∴①、②错,
而,③对
好题速递318
已知函数在定义域上是单调函数,若对任意,都有,则不等式的解集为 .
解:因函数在定义域上是单调函数,故,即,
从而有,又,所以从而,
由
.
好题速递319
已知的内角的对边成等比数列,则的取值范围为 。
解:由且,得,得,得
又,即,得,又
, 即。
点评:本题是三角形里隐含的三边关系的应用,有时会成为高考大题第2小问中隐含的定义域要求,这个是值得注意的点。
好题速递320
已知函数,则 .
解:由对称性可知
同理
故
点评:本题显然是倒序求和、首位求和的变式题,不过在处理过程中的拆角技巧还是比较难的。各省份的高考题中常有这类求具体角的三角函数值的问题,这类问题要多观察所给角与要求角之间的关系,特别关注这些特殊角。
好题速递321
各项均为正偶数的数列a1,a2,a3,a4中,前三项依次成公差为d(d > 0)的等差数列,后三项依次成公比为q的等比数列. 若,则q的所有可能的值构成的集合为 .
解:设,,,,其中,均为正偶数,
则,
整理得,(注意体会这里用“”而不用“”的好处)
所以,即,
所以的所有可能值为24,26,28,
当时,,;
当时,(舍去);
当时,,,
所以q的所有可能值构成的集合为.
好题速递322
曲线C:与轴的交点关于原点的对称点称为“望点”,以“望点”为圆心,凡是与曲线C有公共点的圆,皆称之为“望圆”,则“望圆”面积的最小值为 .
解:,令,得,所以望点为,
设望圆的方程为,
由得
当,即时,,所以圆的面积为.
好题速递323
已知数列满足,且,它的前项和为.则 .
解:,解得
两式相减得
,故,故数列为周期为3的数列
好题速递324
定义在上的函数,当时,,且对任意的满足(常数),则函数在区间上的最小值是( )
解:ÞÞ,
Þ,,
当时有最小值为
好题速递325
已知,向量满足,,,则的最大值为 。
解法一:设,则由已知条件易知和共以为直径的外接圆。
由是同一个点出发的两个向量作点积,且终点连线确定,显然用极化恒等式是一个不错的选择。
故
问题转化为求的最大值,如图
所以
解法二:如解法一画图,设,则
在中由余弦定理得
所以,所以
解法三:如图建系,,,
则,,
得
则
而横坐标,所以
好题速递326
在△ABC中,已知BC = 4,AC = 3,(A - B) = ,则△ABC的面积为 .
解:在角A中作出A - B,即在BC上取一点D,
使DB = DA,设DB = x,则DC = 4 - x.
在△ACD中,ÐCAD = (A - B) = ,
∴,得x = 2.则DA = DC = DB,ÐBAC = 90°,.
△ABC的面积为.
好题速递327
若的外接圆是半径为1的圆,且,则的取值范围是 。
解法一:
是同一个点出发的两个向量作点积,且终点连线确定,显然用极化恒等式是一个不错的选择。
(其中为中点)
点在圆上运动,故,即
故
又不与重合,所以,所以
解法二:如图建系设点。,,
因为,所以
解法三:基底角度,一问三不知转基底
由于不与重合,所以
好题速递328
如图,点是以为圆心,1为半径的圆上任意三点,则的最小值是 。
解法一:固定点,极化角度
设,则
解法二:固定点,投影角度
设,则
所以
故
好题速递329
已知函数,若,,则的取值范围是 。
解:关于对称,由得,即
因为,所以,解得(这里是求定义域,函数没有定义域就没有意义,千万记得定义域优先)
好题速递330
已知,若且,则的取值范围是_______。
解:,即
解法一:不等式角度解题
由基本不等式得,解得
这个解法对不对呢?看似正确,其实这里的最大值6取不到,因为解法中并没有用到的限制条件
这里介绍一种方法,可以来处理有限制条件的问题(类似于极化恒等式的变形)
因为
即,得
因为,故,故
即
解得
【点评】这里要注意以前我们所学的“两个字母一个方程”的问题或者“基本不等式”的问题,在没有其余限制条件时不等式和法都适用,但多了限制条件就不确定是在区域边界还是内部取得最值,故需要验证或者另寻他法了。
解法二:规划角度解题
,即表示圆
所以点所满足的条件为
画出可行域即个圆弧,目标函数为
故当时,;当时,
但最大最小值都无限接近,取不到,所以
解法三:图像角度解题
很多同学是画出图像,
观察发现因为部分的图像比部分的图像变化快,故当的直线向上平移时,虽然向左变小,向右变大,但显然变得多,故变大,即的中点向右上方运动
因此当,即时,
当,即时,
但最大最小值都无限接近,取不到,所以
好题速递331
设,是夹角为的两个单位向量,若,是以为直角顶点的直角三角形,则 。
解法一:,,
因为,
即
O
M
N
P
Q
解法二:反向延长到,使
因为,故由中线等于斜边的一半可得是直角三角形,
即,因为,所以三点共线,故
好题速递332
已知,则的最大值是_______。
解法一:令,,则,目标函数为
画出点所在的可行域如图为抛物线一部分上的点,
如图,目标函数与相切时
当且仅当,即时取得
解法二:令,,则,
所以
解法三:三角换元,,则,
令,
故
解法四:令, ,则
则,
点评:本方法用的是不等式中的“极化恒等式”思想,即,这在12月18日每日一题的第一种解法中也有体现。
好题速递333
已知函数是定义在正实数集上的单调函数,且满足对任意x>0,都有,则= .
解:必为常数函数,否则存在两个不同数,其对应值均为,与单调函数矛盾.所以可设.则.
将c代入,得,即.
∵是单调增函数,当时,成立,
∴.则.
好题速递334
设直角的三个顶点都在单位圆上,点,则的最大值是 .
解:设是以为直角顶点的直角三角形,则
所以
所以
(这里可以理解为三角形两边之和大于第三边,也可以理解为圆外一点()到圆上一点距离,同时连最小值也可以求出)
当且仅当三点共线且点在第三象限时,
好题速递335
★函数,,当时,,且的最大值为2,则 .
解:因为的最大值为2,所以
由
由
所以
故题目变为对恒成立。
此时注意到,是一个零点
由于对,,故是个偶重零点,故也是的根,
所以,
点评:这又是一个二次函数的好题,解法中用到的零点奇穿偶回法很值得回味。
“零点是个守门员,负责正负分界线,奇次零点穿过去,偶次零点弹回来”
好题速递336
已知对任意恒成立,则 .
解:用两边夹逼的方法,令,解得
故,即
所以对任意恒成立,所以
故
点评:这又是夹逼形式的好题,解法中让不等号两边同时取到,求出临界点的方法要注意。
好题速递337
已知非零向量与向量 的夹角为钝角,,当时,取最小值,则 .
O
a
-2a
b
b-2a
解法一:由当时,取最小值,可知本题是“神图”的应用,如图所示,设,则
即
故
解法二:
当且仅当时,
所以且,得
故
好题速递338
已知椭圆和双曲线有相同的焦点,且椭圆与双曲线在第一象限的交点为,若,则双曲线的离心率的取值范围是 .
解:
故
好题速递339
已知函数,,若存在实数使得,且,则实数的取值范围是 .
解:因为是增函数,且,故,所以原条件等价于
在区间上有解,即在上有解
因为的值域为,所以实数的取值范围是
好题速递340
在中,,,若椭圆以为长轴,且过点,则椭圆的离心率是 .
解:如图,作于,则,
设,则,
所以,所以
设椭圆的方程为,将与代入可得,
故
好题速递341
实数满足,则的最大值为 .
解:因为,
所以相加得
即
当且仅当同时满足,即或时上式取等号。
点评:本题是三元均值不等式的问题,难点在于每个均值不等式的系数配凑。这里其实是用待定系数法来确定系数。
,故
因此,解得
好题速递342
已知数列的前项和为,若存在正整数,使得成立,则实数的取值范围是 .
解:,
因为,
故,(即奇数项为负,偶数项为正)
又因为,
所以这个数列是震荡数列,奇数项恒负且递增,偶数项恒正且递减
所以条件转化为存在正整数,使得
只要,即
好题速递343
已知为实数,且,则的最小值为 .
解法一:令,则,且
所以
解法二:齐次化转函数求值域
令,
好题速递344题
已知是单位圆的内接三角形,是圆的直径,若满足,则 .
解:如图,因为是圆的直径,所以
同理(其实就是投影,点积转投影记得吗?)
所以
所以,则是直径,所以
好题速递345题
已知正四面体的棱长为,是棱上任意一点(不与重合),且点到面和面的距离分别为,则的最小值为 .
解:棱长为的正四面体,体高
所以如图作面,则在中,
得
同理
所以
所以
所以
好题速递346题
设非零向量满足且,则的取值范围是 .
解:由得,且
又,即的终点在以的终点为圆心,1为半径的圆上
就是在上的投影,显然
好题速递347题
已知,若,则的取值范围是 .
解:
的取值范围问题等价于曲线上的点与点连线的斜率的范围问题.
此时点在上,由图可知:
好题速递348题
若点为的重心,且,则的最大值为 .
解:如图,点在以为直径的圆上运动,且由于点为的重心,所以
故点在以为圆心,以长为半径的圆上运动,
问题转化为圆上一点与线段形成的张角问题。
如图,画一个最小圆,即时,其余的都在圆外,根据圆外角小于圆上角,可知当时,最大,即最大
此时由得
或二倍角公式
好题速递349题
在中,过中线中点作一直线分别交边,于两点,设,,则的最小值为 .
解:因为是中点,所以
又因为为中点,
所以
因为三点共线,所以
所以
当且仅当时等号成立。
好题速递350题
定义函数图象上的点到坐标原点距离的最小值叫作函数的“中心距离”,给出以下四个命题:
① 函数的“中心距离”等于;
②函数的“中心距离”等于1;
③ 若函数与的“中心距离相等”,则函数至少有一个零点;
④是其定义域上的奇函数,是它的“中心距离”为0的充分不必要条件。
以上命题是真命题的是 .
解:对①,,①正确
对②,,即以为圆心,3为半径的上半圆,中心距离为1,②正确
对③,有反例如,故③错;
对④,有反例,奇函数的定义域可能不包含,如,故④错。
设函数,若在区间
内的图象上存在两点,在这两点处的切线相互垂直,求实数的取值范围。
解:,
若存在使得,则必有
由得
由得
由得,所以,得
综上可得