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  • 2021-06-10 发布

高中数学好题速递400题(301—350)

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好题速递301‎ 已知正数满足,则的最大值为 .‎ 解:‎ 解法一:令,得 则 当且仅当,即时取得等号。‎ 解法二:‎ 令,则 令,则 原式 当且仅当,即时取得等号 好题速递302‎ x O y ‎1‎ ‎1f1(x)‎ f1(x)‎ 图1:n=1时 设函数,则方程有 个实数根.‎ 解:令,问题化为观察与图像的交点有几个.由于是偶函数,故是偶函数,只要考虑 时的交点个数.‎ n=1时,的图像是把的图像下移,‎ x O y ‎1‎ ‎1f1(x)‎ f2(x)‎ 图2:n=2时 再把x轴下的图像往上翻而得,,有1个零点,‎ 以零点为界,呈“减增”状态,最后趋于,‎ 如图1,有2个交点;‎ n=2时,的图像是把的图像下移,‎ 再把x轴下的图像往上翻而得,,有2个零点,‎ 以2个零点为界,呈“减增减增”状态,最后趋于,‎ 如图2,有个交点;……‎ n= n≥2时,,且有个零点 以个零点为界,呈“减增减增…减增”状态,最后趋于,故的每1个零点都对应产生2个两函数图像的交点,∴有个交点,再由对称性知x<0时,也有个交点,故共有个交点,从而原方程有个实根 好题速递303‎ 已知数列满足.设为均不等于2的且互不相等的常数,若数列为等比数列,则的值为 .‎ 解:‎ 因为数列为等比数列,所以,,且公比为,‎ 故为方程的两不等实根,从而.‎ 好题速递304‎ 已知若关于的方程在上有两个实数解,则的取值范围是 .‎ 解:可以转化为,记,则在上有两个实数解,可以转化为函数与的图象,结合图像和特殊点可知 好题速递305‎ 已知向量,,满足,且与的夹角的正切为,与的夹角的正切为,,则的值为 .‎ 解:易得 评注:这个题要注意向量的夹角是共起点的,所以要特别留意取本身还是补角。‎ 好题速递30O A B C M N P D E 6 ‎ 如图,矩形OABC中,AB=1,OA=2,以B为圆心、BA为半径在矩形内部作弧,点P是弧上一动点,PM⊥OA,垂足为M,PN⊥OC,,垂足为N,则四边形OMPN的周长的最小值为 .‎ 解:如图,连BP,则BP=1,设∠CBP=a,,‎ O A B C M N P a D E ‎,‎ ‎∴,‎ 四边形OMPN的周长 当时,‎ 好题速递307‎ 设、是关于的方程的两个不相等的实数根,那么过两点、的直线与圆的位置关系是( )‎ ‎(A)相离 (B)相切 (C)相交 (D)随m的变化而变化 解:,∴直线AB:,即 ‎ ,即,‎ 圆心到AB的距离,由韦达定理,,,∴‎ ‎ 取m=0,则d=0Þ相交;取m=2,则Þ相离,故选D 好题速递308‎ 已知函数的图像关于垂直于轴的直线对称,则的取值集合是 .‎ x ‎1‎ a ‎-1‎ 解:若,则,其图像呈“剑”形,如图,‎ 对称轴为x=a,则 同理,若时,对称轴是,∴‎ 若时,对称轴是,∴‎ 好题速递309‎ 在中,若,则面积的最大值为 .‎ 解:在中延长到,使,所以,则已知变为。‎ 解法一:由极化恒等式知,‎ 故,所以,当且仅当时取得最大值。‎ 解法二:以边所在直线为轴,边的中点为坐标原点建立坐标系,由,则,所以,设。由,所以,则,所以,所以。‎ 解法三:, ‎ 因为,故 所以 好题速递310‎ 定义:{x,y}为实数x,y中较小的数.已知,其中a,b 均为正实数,则h的最大值是 .‎ 解:因为a,b 均为正实数,‎ 当,即时,,即 所以 当时,‎ 综上,h的最大值是 好题速递311‎ 已知共有项的数列,,定义向量、,若,则满足条件的数列的个数有( )个 ‎ A. 2 B. C. D. ‎ 解: ÞÞ,∵,‎ ‎∴Þ为等比数列,‎ ‎∴Þ ‎∵时,,∴,故当时,,即始终有两种选择,∴有个 好题速递312‎ 若方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆,则的最小值为 .‎ 解:方程表示焦点在轴且离心率小于的椭圆时,‎ 有 ,即,化简得,‎ 又,,画出满足不等式组的平面区域,如右图阴影部分所示,令,平移直线,当过时,‎ 好题速递313‎ 已知四数a1,a2,a3,a4依次成等比数列,且公比q不为1.将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列, 则正数q的取值集合是 .‎ 解:因为公比q不为1,所以不能删去a1,a4.设的公差为d,则 ‎① 若删去a2,则由‎2a3=a1+a4得‎2a1q=a1+a1q,即,‎ 整理得q(q-1)=(q-1)(q+1).‎ 又q≠1,则可得,又q>0解得;‎ ‎② 若删去a3,则由‎2a2=a1+a4得‎2a1q=a1+a1q,即2q=1+q,‎ 整理得q(q-1)(q+1)=q-1.‎ 又q≠1,则可得q(q+1)=1,又q>0解得 .‎ 综上所述,.‎ 好题速递314‎ D A B C 如图,梯形ABCD中,AB//CD,AB=6,AD=DC=2,若,则     .‎ 解:转基底,以为基底,则,‎ 则 所以,则∠BAD=60o,‎ 则 点评:本题主要考查平面向量的数量积,体现化归转化思想.另本题还可通过建立平面直角坐标系将向量“坐标化”来解决.向量问题突出基底法和坐标法,但要关注基底的选择与坐标系位置选择的合理性,两种方法之间的选择.‎ 好题速递315‎ 数列是等差数列,数列满足,设为的前n项和.若,则当取得最大值时n的值等于___________.‎ 解:设的公差为d,由得 ,所以,‎ 从而可知1≤n≤16时,, n≥17时,.‎ 从而b1>b2>…>b14>0>b17>b18>…,b 15=a‎15a16a17<0,b16=a‎16a17a18>0,‎ 故S14>S13>……>S1,S14>S15,S15<S16.‎ 因为,,所以,‎ 所以b15+b16=a‎16a17(a15+a18)>0,所以S16>S14,故Sn中S16最大.‎ 点评:利用等差数列及等差数列的基本性质是解题基本策略.此题借助了求等差数列前项和最值的方法,所以在关注方法时,也要关注形成方法的过程和数学思想.‎ 好题速递316‎ 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线条数为________条.‎ 解:在EF上任意取一点M,直线A1D1与M确定一个平面,这个平面与CD有且仅有1个交点N,当M取不同的位置就确定不同的平面,从而与CD有不同的交点N,而直线MN与直线A1D1,EF,CD均相交,故满足题意的直线有无数条.‎ 好题速递317‎ 已知,,成等差数列,则①;②;③中,正确的是 .(填入序号)‎ 解:2(ac)2=(bc)2+(ab)2=|bc|2+|ab|2≥2|bc|×|ab|=2|ac|b2Þ|ac|≥b2,‎ ‎∴①、②错,‎ 而,③对 好题速递318‎ 已知函数在定义域上是单调函数,若对任意,都有,则不等式的解集为 . ‎ 解:因函数在定义域上是单调函数,故,即,‎ 从而有,又,所以从而,‎ 由 ‎ ‎.‎ 好题速递319‎ 已知的内角的对边成等比数列,则的取值范围为 。‎ 解:由且,得,得,得 又,即,得,又 ‎, 即。‎ 点评:本题是三角形里隐含的三边关系的应用,有时会成为高考大题第2小问中隐含的定义域要求,这个是值得注意的点。‎ 好题速递320‎ 已知函数,则 . ‎ 解:由对称性可知 同理 故 点评:本题显然是倒序求和、首位求和的变式题,不过在处理过程中的拆角技巧还是比较难的。各省份的高考题中常有这类求具体角的三角函数值的问题,这类问题要多观察所给角与要求角之间的关系,特别关注这些特殊角。‎ 好题速递321‎ 各项均为正偶数的数列a1,a2,a3,a4中,前三项依次成公差为d(d > 0)的等差数列,后三项依次成公比为q的等比数列. 若,则q的所有可能的值构成的集合为 . ‎ 解:设,,,,其中,均为正偶数,‎ 则,‎ 整理得,(注意体会这里用“”而不用“”的好处)‎ 所以,即,‎ 所以的所有可能值为24,26,28,‎ 当时,,;‎ 当时,(舍去);‎ 当时,,,‎ 所以q的所有可能值构成的集合为.‎ 好题速递322‎ 曲线C:与轴的交点关于原点的对称点称为“望点”,以“望点”为圆心,凡是与曲线C有公共点的圆,皆称之为“望圆”,则“望圆”面积的最小值为 .‎ 解:,令,得,所以望点为,‎ 设望圆的方程为,‎ 由得 当,即时,,所以圆的面积为.‎ 好题速递323‎ 已知数列满足,且,它的前项和为.则 .‎ 解:,解得 两式相减得 ‎,故,故数列为周期为3的数列 好题速递324‎ 定义在上的函数,当时,,且对任意的满足(常数),则函数在区间上的最小值是( )‎ ‎ ‎ 解:ÞÞ,‎ Þ,,‎ 当时有最小值为 好题速递325‎ 已知,向量满足,,,则的最大值为 。‎ 解法一:设,则由已知条件易知和共以为直径的外接圆。‎ 由是同一个点出发的两个向量作点积,且终点连线确定,显然用极化恒等式是一个不错的选择。‎ 故 问题转化为求的最大值,如图 所以 解法二:如解法一画图,设,则 在中由余弦定理得 所以,所以 解法三:如图建系,,,‎ 则,,‎ 得 则 而横坐标,所以 好题速递326‎ 在△ABC中,已知BC = 4,AC = 3,(A - B) = ,则△ABC的面积为 . ‎ 解:在角A中作出A - B,即在BC上取一点D,‎ 使DB = DA,设DB = x,则DC = 4 - x.‎ 在△ACD中,ÐCAD = (A - B) = ,‎ ‎∴,得x = 2.则DA = DC = DB,ÐBAC = 90°,.‎ ‎△ABC的面积为.‎ 好题速递327‎ 若的外接圆是半径为1的圆,且,则的取值范围是 。‎ 解法一:‎ 是同一个点出发的两个向量作点积,且终点连线确定,显然用极化恒等式是一个不错的选择。‎ ‎(其中为中点)‎ 点在圆上运动,故,即 故 又不与重合,所以,所以 解法二:如图建系设点。,,‎ 因为,所以 解法三:基底角度,一问三不知转基底 由于不与重合,所以 好题速递328‎ 如图,点是以为圆心,1为半径的圆上任意三点,则的最小值是 。‎ 解法一:固定点,极化角度 设,则 解法二:固定点,投影角度 设,则 所以 故 好题速递329‎ 已知函数,若,,则的取值范围是 。‎ 解:关于对称,由得,即 因为,所以,解得(这里是求定义域,函数没有定义域就没有意义,千万记得定义域优先)‎ 好题速递330‎ 已知,若且,则的取值范围是_______。‎ 解:,即 解法一:不等式角度解题 由基本不等式得,解得 这个解法对不对呢?看似正确,其实这里的最大值6取不到,因为解法中并没有用到的限制条件 这里介绍一种方法,可以来处理有限制条件的问题(类似于极化恒等式的变形)‎ 因为 即,得 因为,故,故 即 解得 ‎【点评】这里要注意以前我们所学的“两个字母一个方程”的问题或者“基本不等式”的问题,在没有其余限制条件时不等式和法都适用,但多了限制条件就不确定是在区域边界还是内部取得最值,故需要验证或者另寻他法了。‎ 解法二:规划角度解题 ‎,即表示圆 所以点所满足的条件为 画出可行域即个圆弧,目标函数为 故当时,;当时,‎ 但最大最小值都无限接近,取不到,所以 解法三:图像角度解题 很多同学是画出图像,‎ 观察发现因为部分的图像比部分的图像变化快,故当的直线向上平移时,虽然向左变小,向右变大,但显然变得多,故变大,即的中点向右上方运动 因此当,即时,‎ 当,即时,‎ 但最大最小值都无限接近,取不到,所以 好题速递331‎ 设,是夹角为的两个单位向量,若,是以为直角顶点的直角三角形,则 。‎ 解法一:,,‎ 因为,‎ 即 O M N P Q 解法二:反向延长到,使 因为,故由中线等于斜边的一半可得是直角三角形,‎ 即,因为,所以三点共线,故 好题速递332‎ 已知,则的最大值是_______。‎ 解法一:令,,则,目标函数为 画出点所在的可行域如图为抛物线一部分上的点,‎ 如图,目标函数与相切时 当且仅当,即时取得 解法二:令,,则,‎ 所以 解法三:三角换元,,则,‎ 令,‎ 故 解法四:令, ,则 则,‎ 点评:本方法用的是不等式中的“极化恒等式”思想,即,这在12月18日每日一题的第一种解法中也有体现。‎ 好题速递333‎ 已知函数是定义在正实数集上的单调函数,且满足对任意x>0,都有,则= .‎ 解:必为常数函数,否则存在两个不同数,其对应值均为,与单调函数矛盾.所以可设.则.‎ 将c代入,得,即.‎ ‎∵是单调增函数,当时,成立,‎ ‎∴.则.‎ 好题速递334‎ 设直角的三个顶点都在单位圆上,点,则的最大值是 .‎ 解:设是以为直角顶点的直角三角形,则 所以 所以 ‎(这里可以理解为三角形两边之和大于第三边,也可以理解为圆外一点()到圆上一点距离,同时连最小值也可以求出)‎ 当且仅当三点共线且点在第三象限时,‎ 好题速递335‎ ‎★函数,,当时,,且的最大值为2,则 .‎ 解:因为的最大值为2,所以 由 由 所以 故题目变为对恒成立。‎ 此时注意到,是一个零点 由于对,,故是个偶重零点,故也是的根,‎ 所以,‎ 点评:这又是一个二次函数的好题,解法中用到的零点奇穿偶回法很值得回味。‎ ‎“零点是个守门员,负责正负分界线,奇次零点穿过去,偶次零点弹回来”‎ 好题速递336‎ 已知对任意恒成立,则 .‎ 解:用两边夹逼的方法,令,解得 故,即 所以对任意恒成立,所以 故 点评:这又是夹逼形式的好题,解法中让不等号两边同时取到,求出临界点的方法要注意。‎ 好题速递337‎ 已知非零向量与向量 的夹角为钝角,,当时,取最小值,则 .‎ O a ‎-2a b b-2a 解法一:由当时,取最小值,可知本题是“神图”的应用,如图所示,设,则 即 故 解法二:‎ 当且仅当时,‎ 所以且,得 故 好题速递338‎ 已知椭圆和双曲线有相同的焦点,且椭圆与双曲线在第一象限的交点为,若,则双曲线的离心率的取值范围是 .‎ 解:‎ 故 好题速递339‎ 已知函数,,若存在实数使得,且,则实数的取值范围是 .‎ 解:因为是增函数,且,故,所以原条件等价于 在区间上有解,即在上有解 因为的值域为,所以实数的取值范围是 好题速递340‎ 在中,,,若椭圆以为长轴,且过点,则椭圆的离心率是 .‎ 解:如图,作于,则,‎ 设,则,‎ 所以,所以 设椭圆的方程为,将与代入可得,‎ 故 好题速递341‎ 实数满足,则的最大值为 .‎ 解:因为,‎ 所以相加得 即 当且仅当同时满足,即或时上式取等号。‎ 点评:本题是三元均值不等式的问题,难点在于每个均值不等式的系数配凑。这里其实是用待定系数法来确定系数。‎ ‎,故 因此,解得 好题速递342‎ 已知数列的前项和为,若存在正整数,使得成立,则实数的取值范围是 .‎ 解:,‎ 因为,‎ 故,(即奇数项为负,偶数项为正)‎ 又因为,‎ 所以这个数列是震荡数列,奇数项恒负且递增,偶数项恒正且递减 所以条件转化为存在正整数,使得 只要,即 好题速递343‎ 已知为实数,且,则的最小值为 . ‎ 解法一:令,则,且 所以 解法二:齐次化转函数求值域 令,‎ 好题速递344题 已知是单位圆的内接三角形,是圆的直径,若满足,则 .‎ 解:如图,因为是圆的直径,所以 同理(其实就是投影,点积转投影记得吗?)‎ 所以 所以,则是直径,所以 好题速递345题 已知正四面体的棱长为,是棱上任意一点(不与重合),且点到面和面的距离分别为,则的最小值为 .‎ 解:棱长为的正四面体,体高 所以如图作面,则在中,‎ 得 同理 所以 所以 所以 好题速递346题 设非零向量满足且,则的取值范围是 . ‎ 解:由得,且 又,即的终点在以的终点为圆心,1为半径的圆上 就是在上的投影,显然 好题速递347题 已知,若,则的取值范围是 .‎ 解:‎ 的取值范围问题等价于曲线上的点与点连线的斜率的范围问题.‎ 此时点在上,由图可知:‎ 好题速递348题 若点为的重心,且,则的最大值为 . ‎ 解:如图,点在以为直径的圆上运动,且由于点为的重心,所以 故点在以为圆心,以长为半径的圆上运动,‎ 问题转化为圆上一点与线段形成的张角问题。‎ 如图,画一个最小圆,即时,其余的都在圆外,根据圆外角小于圆上角,可知当时,最大,即最大 此时由得 或二倍角公式 好题速递349题 在中,过中线中点作一直线分别交边,于两点,设,,则的最小值为 . ‎ 解:因为是中点,所以 又因为为中点,‎ 所以 因为三点共线,所以 所以 当且仅当时等号成立。‎ 好题速递350题 定义函数图象上的点到坐标原点距离的最小值叫作函数的“中心距离”,给出以下四个命题:‎ ‎① 函数的“中心距离”等于;‎ ‎②函数的“中心距离”等于1;‎ ‎③ 若函数与的“中心距离相等”,则函数至少有一个零点;‎ ‎④是其定义域上的奇函数,是它的“中心距离”为0的充分不必要条件。‎ 以上命题是真命题的是 . ‎ 解:对①,,①正确 对②,,即以为圆心,3为半径的上半圆,中心距离为1,②正确 对③,有反例如,故③错;‎ 对④,有反例,奇函数的定义域可能不包含,如,故④错。‎ 设函数,若在区间 内的图象上存在两点,在这两点处的切线相互垂直,求实数的取值范围。‎ 解:,‎ 若存在使得,则必有 由得 由得 由得,所以,得 综上可得

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