2018届二轮复习不等式与平面向量教案（全国通用） 11页

春季课程: 不等式与平面向量 适用学科 高中数学 适用年级 高中三年级 适用区域 通用 课时时长（分钟）‎ ‎120‎ 知识点 不等式性质和解法、基本不等式、线性规划和平面向量的概念、加法、减法，向量的坐标运算、向量的数量积、两个向量的平行于垂直向量线性运算的性质和其几何意义的概念等方面 教学目标 在复习中要在解一些常规不等式上下功夫，不等式的证明，只需要掌握一些常规的证明方法，如：分析法、综合法、公式法、比较法等。需要掌握一些基本概念和基本运算几几何意义。‎ 教学重点 不等式性质和解法、基本不等式、线性规划和平面向量的概念、加法、减法，向量的坐标运算、向量的数量积、两个向量的平行于垂直向量线性运算的性质和其几何意义的概念等方面 教学难点 在复习中要在解一些常规不等式上下功夫，不等式的证明，只需要掌握一些常规的证明方法，如：分析法、综合法、公式法、比较法等 教学过程 一、考纲解读 不等式 ‎1.对本部分的考查，不等式性质常与简易逻辑结合考查选择填空题；‎ ‎2.不等式解法主要以一元二次不等式为主，兼顾简单分式不等式、含绝对值的不等式、指对数不等式、与分段函数有关的不等式，常与集合，导数相结合。‎ ‎3.线性规划为必考且难度不大。‎ ‎4.基本不等式求最值要引起足够的重视；‎ ‎5.不等式的恒成立问题也应当反复训练。‎ 向量 ‎1.对本部分的考查，在选择填空中要重视向量的几何运算和代数运算；必须掌握向量共线、垂直、夹角、模、投影等；‎ ‎2.要重视在其它知识中的工具作用，主要在解析几何中。‎ 二、复习预习 不等式:‎ ‎（1）不等关系 ‎　　（2）一元二次不等式 ‎　 （3）二元一次不等式组与简单线性规划问题 ‎　 （4）基本不等式：‎ ‎　　① 了解基本不等式的证明过程.　　‎ ‎② 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.‎ 平面向量 ‎　（1）平面向量的实际背景及基本概念 ‎　（2）向量的线性运算 ‎　（3）平面向量的基本定理及坐标表示 ‎　（4）平面向量的数量积 ‎　（5）向量的应用 ‎　　①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.‎ ‎　　②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.‎ 三、知识讲解 考点1 不等式 ‎（1）不等关系 ‎　　了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.‎ ‎　　（2）一元二次不等式 ‎　　① 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.‎ ‎　　② 通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.‎ ‎　　③ 会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.‎ ‎　　（3）二元一次不等式组与简单线性规划问题 ‎　　① 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.‎ ‎　　② 了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.‎ ‎　　③ 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.‎ ‎　　（4）基本不等式：‎ ‎　　① 了解基本不等式的证明过程.　　② 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.‎ 考点2 平面向量 ‎（1）平面向量的实际背景及基本概念 ‎　　①了解向量的实际背景.　　‎ ‎②理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.　　‎ ‎③理解向量的几何表示.‎ ‎　　（2）向量的线性运算 ‎　　① 掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.‎ ‎　　② 掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义.‎ ‎　　③ 了解向量线性运算的性质及其几何意义.‎ ‎　　（3）平面向量的基本定理及坐标表示 ‎　　① 了解平面向量的基本定理及其意义.　　‎ ‎② 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.‎ ‎　　③ 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.　　‎ ‎④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件.‎ ‎　　（4）平面向量的数量积 ‎　　① 理解平面向量数量积的含义及其物理意义.　　‎ ‎② 了解平面向量的数量积与向量投影的关系.‎ ‎　　③ 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.‎ ‎　　④ 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.‎ ‎　　（5）向量的应用 ‎　　①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.‎ ‎　　②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.‎ 四、例题精析 例1 [2014全国1卷] 已知集合A={|}，B=，则=( )‎ ‎.[-2,-1] .[-1,2） .[-1,1] .[1,2）‎ ‎【规范解答】解法1.选A（演绎法）‎ ‎∵A={|}=，B=，‎ ‎∴=，‎ 解法2.选A (特值法)‎ 取元素，代入集合A与集合B验证，发现既在集合A中，也在集合B中，只有选项A中含有元素，排除其它选项，选A ‎【总结与反思】　(1)本题考查了一元二次不等式的解法与集合的交集运算，容易出错的地方是审错题目，把不等式的等号漏掉。‎ ‎(2)解法1先解一元二次不等式，借助于数轴来求交集。解法2，通过取特值，排除错误选项，选出正确选项，这种解法可以快速解决此题。‎ ‎（3）在近几年的高考题，集合运算题一般放在选择题或者填空题前两题，属于基础题。‎ 例2 [2014全国2卷] 设向量a，b满足│a＋b│＝，│a－b│＝，则a·b＝（ ）‎ A．1　　 B．2　　 C．3　　　 D．5‎ ‎【规范解答】解法1　∵ │a＋b│＝，│a－b│＝，‎ ‎∴ a2＋b2＋2a·b＝10，a2＋b2－2a·b＝6，联立方程解得a·b＝1，故选A 解法2 设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），‎ ‎│a＋b│＝＝，│a－b│＝＝‎ 即x12＋x22＋2x1x2＋y12＋y22＋2y1y2＝10，x12＋x22－2x1x2＋y12＋y22－2y1y2＝6，‎ 两式相减得：x1x2＋y1y2＝a·b＝1‎ ‎【总结与反思】　⑴ 考查用坐标表示平面向量的加、减法；‎ ‎ ⑵ 考查数量积的坐标表达式；‎ ‎⑶ 考查向量的模的运算。‎ 例3 [2014大纲卷] 若向量、满足：，，，则( )‎ ‎(A)2 (B) (C)1 (D)‎ ‎【规范解答】解法：选（B）.（求解对照）由已知有 选（B）.‎ ‎【总结与反思】　本题考查考生对平面向量的加、减法运算，数量积运算等知识的掌握程度，考查考生的运算求解能力。‎ 例4[2014天津卷]设，则|“”是“”的（　　）‎ ‎（A）充要不必要条件 （B）必要不充分条件 ‎（C）充要条件　　 （D）既不充要也不必要条件 ‎【规范解答】‎ 解法1:‎ 解法2:构造函数,易知该函数是单调递增的,故选C ‎【总结与反思】　‎ 本题主要考查不等式的基本性质和充要条件的基础知识以及基本的数学变形技能，在判断的过程中注意对所有的清楚进行讨论，不重复，不遗漏.‎ 解法2中的构造法法也是常用方法.‎ 例5[2014全国1卷] 不等式组的解集记为.有下面四个命题：‎ ‎：，：,‎ ‎：，：.‎ 其中真命题是 ( )‎ ‎ .， .， .， .，‎ ‎【规范解答】解法1 选C（作图验证）‎ 作出可行域如图：设，即，当直线过时，‎ ‎，∴，∴命题、真命题，选C.‎ 解法2 选C（特殊点验证）‎ 取点（4，0）代入=4，则不成立，所以成立，而不成立，排除A、B、D选C ‎【总结与反思】‎ ‎　本题通过线性规划模型来考查命题的真假判断与应用，巧妙地把线性规划与常用逻辑结合在一起，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于中档题．因为作图需要一定的时间，所以解法二取特殊点验证更节省时间，提高解题效率。线性规划是高考热点之一,考查内容涉及最优解、最值、区域面积与形状等,通常通过画可行域、移线、数形结合等方法解决问题。近几年，高考对线性规划的问题的考查不再仅仅是对常规问题的考查，在知识点的交汇处命题成为高考的一个新热点。‎ 例6[2014大纲卷] 设x、y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为__________‎ ‎·‎ ‎·‎ y A (1，1)‎ x o B C ‎(-1，-1)‎ ‎【规范解答】如图：‎ ‎【总结与反思】　本题考查简单线性规划的问题，要求考生能够准确作出二元一次不等式组不是的平面区域，考查定点问题，试题立足教材，侧重考查基础知识和基本方法的应用，考查考生对线性规划问题的理解和应用，考查数形结合的思想方法。‎ 例7 [2014全国1卷] 已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则= ( )‎ ‎. . .3 .2‎ ‎【规范解答】解法1：选C （相似比和定义）‎ 过Q作QM⊥直线L于M，∵‎ ‎∴，又，∴，由抛物线定义知 解法2：选C （向量运算）‎ 由题意知：，可设点为， ,而 ‎，则点，因为在抛物线上，所以满足抛物线方程，可得，解得 ‎，则 ‎【总结与反思】　本题结合几何图形的性质考查抛物线及向量的基本知识,解题的关键是将向量运算转化为坐标运算, 再结合抛物线的性质将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，为中档题。解法一利用相似三角形的相似比和抛物线的定义来解决问题，解法二通过向量的基本运算求出点坐标。从近几年的高考题来看，抛物线与直线、函数、不等式、平面向量、最值问题相结合,是高考中命制圆锥曲线的综合题的重要形式。‎ 例8[2014北京卷] 已知函数，‎ （1） 求证：；‎ （2） 若在上恒成立，求的最大值与的最小值.‎ ‎【规范解答】⑴证明：，‎ 时，，从而在上单调递减，‎ 所以在上的最大值为，所以.‎ ‎⑵法一：‎ 当时，“”等价于“”；“”等价于“”，‎ 令，则.‎ 当时，对任意恒成立.‎ 当时，因为对任意，，所以在区间上单调递减.从而对任意恒成立.‎ 当时，存在唯一的，使得，‎ 且当时，，单调递增；当时，，单调递减。所以。‎ 进一步，“对任意恒成立”当且仅当，即.‎ 综上所述，当且仅当时，对任意恒成立；‎ 当且仅当时，对任意恒成立.‎ 所以，若对任意恒成立，则的最大值为，的最小值为.‎ 法二：令，则，由⑴知，，‎ 故在上单调递减，从而的最小值为，‎ 故，的最大值为.的最小值为，下面进行证明：‎ ‎，，则，‎ 当时，，在上单调递减，从而，‎ 所以，当且仅当时取等号.‎ 从而当时，.故的最小值小于等于。‎ 若，则在上有唯一解，且时，，‎ 故在上单调递增，此时,‎ 与恒成立矛盾，故，‎ 综上知：的最小值为.‎ ‎【总结与反思】　本题考查三角函数,不等式,导数等知识，考查学生的推理能力和运算能力以及方程思想，属于难题．‎ 例9[2014安徽卷] 已知两个不相等的非零向量两组向量和均由2个和3个排列而成.记，表示所有可能取值中的最小值.则下列命题的是_________（写出所有正确命题的编号）.‎ ‎①有5个不同的值. ②若则与无关. ③若则与无关.‎ ‎④若，则. ⑤若则与的夹角为 ‎【规范解答】的所有可能情况是“有2个a”： a+ a+ b+ b+ b|a|+|b|‎ ‎“仅有1个a”： a+ a·b + b·a + b+ b|a|+|b|+a·b ‎“无a”： a·b + b|b|+a·b 因此，只有个不同的值，①错误 由上可知：a—ba—b；a—ba—b 因此，|b|与|a|无关，②正确，③错误 若|b||a|，|b|+a·b|b|+|a||b|a，b|b||a||b|‎ ‎|b||b||a|，④正确 若|b||a|，|b|+a·b|b|+|a||b|a，b|a|‎ ‎ a，b（|a|—|b|）/（|a||b|），则a与b的夹角为，⑤错误 综上所述，②④正确 ‎【总结与反思】　此题以向量知识为背景，考察排列、重组、配对、构造、分类讨论、等价转化等数学素养和创新意识.‎ 例10[2014陕西卷] 在直角坐标系中，已知点，点在三边围成的 区域（含边界）上 ‎(Ⅰ)若，求；‎ ‎(Ⅱ)设，用表示，并求的最大值. ‎ ‎【规范解答】(Ⅰ)解法一 由,‎ ‎ 又=‎ ‎ , 解得,‎ ‎ 即 故.‎ ‎ 解法二 由,‎ ‎ 则,‎ ‎ ,.‎ 解法三 因为点在三边围成的区域(含边界上), 又,‎ 易证点是的重心,则,‎ 即,.‎ ‎ (Ⅱ)由 得 ‎ ‎,‎ ‎,令，由图知，当直线过点时，t取得最大值1，故的最大值为1.‎ ‎【总结与反思】　（1）本题涉及向量的坐标及模,线性规划问题等不下2个知识点．‎ ‎（2）涉及化归与转化、数形结合等基本数学思想.‎ ‎（3）解法二和解法二都是基本解法,解法三是用到了课本练习题的结论(证明P是重心).‎ ‎（4）今年向量独成大题，开陕西高考命题设计之先河，给人以耳目一新之感.将向量的运算与三角形的重心相结合，突出向量的坐标运算;该题的第二问对线性规划的考查也一反常态，目标函数式不是直接给出，而是由向量等式提供，考查了代数变形能力与运算能力。‎ 课程小结 本专题内容在高考中一般有三个客观题和一个解答题，其中解答题对不等式考查，主是要与函数、数列等知识相结合，客观题的考查往往着眼于解不等式，分值在15到25分左右。‎ 在复习中要在解一些常规不等式上下功夫，不等式的证明，只需要掌握一些常规的证明方法，如：分析法、综合法、公式法、比较法等。‎ 对于平面向量问题，需要掌握一些基本概念和基本运算及几何意义.‎