2019届二轮复习（理）第八章立体几何与空间向量第7节课件（40张）（全国通用） 40页

第 7 节　立体几何中的向量方法 ( 一 )—— 证明平行与垂直 最新考纲　 1. 理解直线的方向向量及平面的法向量； 2. 能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系； 3. 能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理 . 1. 直线的方向向量和平面的法向量 ( 1) 直线的方向向量：如果表示非零向量 a 的有向线段所在直线与直线 l_______________ ， 则称此向量 a 为直线 l 的方向向量 . ( 2) 平面的法向量：直线 l ⊥ α ，取直线 l 的方向向量 a ，则向量 a 叫做平面 α 的法向量 . 知 识 梳 理 平行或重合 2. 空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线 l 1 ， l 2 的方向向量分别为 n 1 ， n 2 l 1 ∥ l 2 n 1 ∥ n 2 ⇔ n 1 ＝ λ n 2 l 1 ⊥ l 2 n 1 ⊥ n 2 ⇔______________ 直线 l 的方向向量为 n ，平面 α 的法向量为 m l ∥ α n ⊥ m ⇔____________ l ⊥ α n ∥ m ⇔ n ＝ λ m 平面 α ， β 的法向量分别为 n ， m α ∥ β n ∥ m ⇔ n ＝ λ m α ⊥ β n ⊥ m ⇔____________ n 1 · n 2 ＝ 0 n · m ＝ 0 n · m ＝ 0 [ 常用结论与微点提醒 ] 1. 用向量知识证明立体几何问题，仍离不开立体几何中的定理 . 若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外 . 2. 用向量证明立体几何问题，写准点的坐标是关键，要充分利用中点、向量共线、向量相等来确定点的坐标 . 1. 思考辨析 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) ( 1) 直线的方向向量是唯一确定的 .( 　　 ) ( 2) 若直线 a 的方向向量和平面 α 的法向量平行，则 a ∥ α .( 　　 ) ( 3) 若两平面的法向量平行，则两平面平行 .( 　　 ) ( 4) 若直线 a 的方向向量与平面 α 的法向量垂直，则 a ∥ α .( 　　 ) 解析 　 (1) 直线的方向向量不是唯一的 ， 有无数多个； ( 2) a ⊥ α ； (3) 两平面平行或重合； (4) a ∥ α 或 a ⊂ α . 答案 　 (1) × 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) × 诊 断 自 测 2. ( 选修 2 － 1P104 练习 2 改编 ) 已知平面 α ， β 的法向量分别为 n 1 ＝ (2 ， 3 ， 5) ， n 2 ＝ ( － 3 ， 1 ，－ 4) ，则 ( 　　 ) A. α ∥ β B. α ⊥ β C. α ， β 相交但不垂直 D . 以上均不对 解析 　 ∵ n 1 ≠ λ n 2 ， 且 n 1 · n 2 ＝ 2 × ( － 3) ＋ 3 × 1 ＋ 5 × ( － 4) ＝－ 23 ≠ 0 ， ∴ α ， β 相交但不垂直 . 答案 　 C 3. 若直线 l 的方向向量为 a ＝ (1 ， 0 ， 2) ，平面 α 的法向量为 n ＝ ( － 2 ， 0 ，－ 4) ，则 ( 　　 ) A. l ∥ α B. l ⊥ α C. l ⊂ α D. l 与 α 斜交 解析 　 ∵ a ＝ (1 ， 0 ， 2) ， n ＝ ( － 2 ， 0 ， － 4) ， ∴ n ＝－ 2 a ， 即 a ∥ n . ∴ l ⊥ α . 答案 　 B 答案 　 C 5 . 如 图所示，在正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， O 是底面正方形 ABCD 的中心， M 是 D 1 D 的中点， N 是 A 1 B 1 的中点，则直线 ON ， AM 的位置关系是 ________. 答案 　垂直 证明 　 法一 　如图，取 BD 的中点 O ，以 O 为原点， OD ， OP 所在射线分别为 y ， z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 O － xyz . 法二 　在线段 CD 上取点 F ，使得 DF ＝ 3 FC ，连接 OF ，同法一建立空间直角坐标系，写出点 A ， B ， C 的坐标，设点 C 坐标为 ( x 0 ， y 0 ， 0). 规律方法 　 1. 恰当建立坐标系 ， 准确表示各点与相关向量的坐标 ， 是运用向量法证明平行和垂直的关键 . 2 . 证明直线与平面平行 ， 只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零 ， 或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面 ， 或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行 ， 然后说明直线在平面外即可 . 这样就把几何的证明问题转化为向量运算 . 【训练 1 】 已知 正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 1 ， E ， F ， G 分别为 AB ， AD ， AA 1 的中点，求证：平面 EFG ∥ 平面 B 1 CD 1 . 证明　 建立如图所示的空间直角坐标系 D － xyz ，则 A (1 ， 0 ， 0) ， B (1 ， 1 ， 0) ， C (0 ， 1 ， 0) ， D (0 ， 0 ， 0) ， A 1 (1 ， 0 ， 1) ， B 1 (1 ， 1 ， 1) ， D 1 (0 ， 0 ， 1). 设 n 1 ＝ ( x 1 ， y 1 ， z 1 ) 为平面 EFG 的法向量， n 2 ＝ ( x 2 ， y 2 ， z 2 ) 为平面 B 1 CD 1 的一个法向量 . 令 x 1 ＝ 1 ，可得 y 1 ＝－ 1 ， z 1 ＝－ 1 ， 同理可得 x 2 ＝ 1 ， y 2 ＝－ 1 ， z 2 ＝－ 1. 则 n 1 ＝ (1 ，－ 1 ，－ 1) ， n 2 ＝ (1 ，－ 1 ，－ 1). 由 n 1 ＝ n 2 ，得平面 EFG ∥ 平面 B 1 CD 1 . 考点二　利用空间向量证明垂直问题 【例 2 】 如图所示 ，已知 四棱锥 P － ABCD 的底面是直角梯形， ∠ ABC ＝ ∠ BCD ＝ 90 °， AB ＝ BC ＝ PB ＝ PC ＝ 2 CD ，侧面 PBC ⊥ 底面 ABCD . 证明： ( 1) PA ⊥ BD ； ( 2) 平面 PAD ⊥ 平面 PAB . 证明 　 (1) 取 BC 的中点 O ，连接 PO ， ∵ 平面 PBC ⊥ 底面 ABCD ， BC 为交线， PO ⊂ 平面 PBC ， △ PBC 为等边三角形，即 PO ⊥ BC ， ∴ PO ⊥ 底面 ABCD . 以 BC 的中点 O 为坐标原点，以 BC 所在直线为 x 轴，过点 O 与 AB 平行的直线为 y 轴， OP 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示 . 又 ∵ PA ∩ PB ＝ P ， PA ， PB ⊂ 平面 PAB ， ∴ DM ⊥ 平面 PAB . ∵ DM ⊂ 平面 PAD ， ∴ 平面 PAD ⊥ 平面 PAB . 规律方法 　 1. 利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系 ， 准确写出相关点的坐标 ， 从而将几何证明转化为向量运算 . 其中灵活建系是解题的关键 . 2 . 用向量证明垂直的方法 (1) 线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直 ， 即证它们的数量积为零 . (2) 线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线 ， 或将线面垂直的判定定理用向量表示 . (3) 面面垂直：证明两个平面的法向量垂直 ， 或将面面垂直的判定定理用向量表示 . 证明 　由题设易知 OA ， OB ， OA 1 两两垂直，以 O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 . 所以 A 1 C ⊥ BD ， A 1 C ⊥ BB 1 . 又 BD ∩ BB 1 ＝ B ， BD ， BB 1 ⊂ 平面 BB 1 D 1 D ， 所以 A 1 C ⊥ 平面 BB 1 D 1 D . (1) 证明 　因为平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ， AB ⊥ AD ， 所以 AB ⊥ 平面 PAD ，所以 AB ⊥ PD . 又因为 PA ⊥ PD 且 AB ∩ PA ＝ A ， PA ， AB ⊂ 平面 PAB ，所以 PD ⊥ 平面 PAB . (2) 解　 取 AD 的中点 O ，连接 PO ， CO . 因为 PA ＝ PD ，所以 PO ⊥ AD . 又因为 PO ⊂ 平面 PAD ，平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ， 所以 PO ⊥ 平面 ABCD . 因为 CO ⊂ 平面 ABCD ，所以 PO ⊥ CO . 因为 AC ＝ CD ，所以 CO ⊥ AD . 如图，建立空间直角坐标系 O － xyz . 由题意得， A (0 ， 1 ， 0) ， B (1 ， 1 ， 0) ， C (2 ， 0 ， 0) ， D (0 ，－ 1 ， 0) ， P (0 ， 0 ， 1). 命题角度 2 　与垂直有关的探索性问题 【例 3 － 2 】 如图 ，正方形 ADEF 所在平面和等腰梯形 ABCD 所在的平面互相垂直，已知 BC ＝ 4 ， AB ＝ AD ＝ 2. ( 1) 求证： AC ⊥ BF ； (1) 证明 　 ∵ 平面 ADEF ⊥ 平面 ABCD ，平面 ADEF ∩ 平面 ABCD ＝ AD ， AF ⊥ AD ， AF ⊂ 平面 ADEF ， ∴ AF ⊥ 平面 ABCD . 又 AC ⊂ 平面 ABCD ， ∴ AF ⊥ AC . ∵ AB ∩ AF ＝ A ， AB ， AF ⊂ 平面 FAB ， ∴ AC ⊥ 平面 FAB ， ∵ BF ⊂ 平面 FAB ， ∴ AC ⊥ BF . 假设在线段 BE 上存在一点 P 满足题意，则易知点 P 不与点 B ， E 重合， 【训练 3 】 如图 ，在 三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 中， AA 1 C 1 C 是边长为 4 的正方形 . 平面 ABC ⊥ 平面 AA 1 C 1 C ， AB ＝ 3 ， BC ＝ 5. ( 1) 求证： AA 1 ⊥ 平面 ABC ； 证明 　 (1) 因为 AA 1 C 1 C 为正方形，所以 AA 1 ⊥ AC . 因为平面 ABC ⊥ 平面 AA 1 C 1 C ， AA 1 ⊂ 平面 AA 1 C 1 C ，且 AA 1 垂直于这两个平面的交线 AC ， 所以 AA 1 ⊥ 平面 ABC . (2) 由 (1) 知 AA 1 ⊥ AB ， AA 1 ⊥ AC . 由题知 AB ＝ 3 ， BC ＝ 5 ， AC ＝ 4 ，所以 AB ⊥ AC . 如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系 A － xyz . 则 B (0 ， 3 ， 0) ， A 1 (0 ， 0 ， 4) ， B 1 (0 ， 3 ， 4) ， C 1 (4 ， 0 ， 4).