2019年高考数学（理）原创终极押题卷（新课标Ⅱ卷）（参考答案） 4页

‎ ‎ 秘密★启用前 ‎2019年全国普通高等学校招生考试终极押题卷（全国新课标Ⅱ）‎ 理科数学参考答案 ‎（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B D C D BZxxkCom D C B B A D A 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.2 14. 乙 15.2 16. ‎ 三、解答题（共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。）‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 在中，角，，的对边分别为，，，且．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）已知外接圆半径，且，求的周长．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1），，‎ 即，，‎ 又，．……………………………………………………………………………………….6分 ‎（2），，‎ ‎，∴由余弦定理可得，，‎ ‎∴，∵，所以得，∴周长．…………………………………………12分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数与烧开一壶水所用时间的一组数据，且作了一定的数据处理(如下表)，得到了散点图(如下图)．‎ 表中，．‎ ‎（1）根据散点图判断，与哪一个更适宜作烧水时间关于开关旋钮旋转的弧度数的回归方程类型?(不必说明理由)‎ ‎（2）根据判断结果和表中数据，建立关于的回归方程；‎ ‎（3）若旋转的弧度数与单位时间内煤气输出量成正比，那么为多少时，烧开一壶水最省煤气？‎ 附：对于一组数据，，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．‎ ‎【答案】（1）更适宜；（2）；（3）时，煤气用量最小．‎ 数学试题 第7页（共8页） 数学试题 第8页（共8页）‎ ‎ ‎ ‎【解析】（1）更适宜作烧水时间关于开关旋钮旋转的弧度数的回归方程类型．…………………4分 ‎（2）由公式可得：，‎ ‎，‎ ‎∴所求回归方程为．………………………………………………8分 ‎（3）设，则煤气用量，当且仅当时取“”，即时，煤气用量最小．………………………………………………12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，，，，且，．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）∵在底面中，，，且，‎ ‎∴，，∴，又∵，，平面，平面，∴平面，又∵平面，∴，∵，，∴，‎ 又∵，，平面，平面，∴平面．………….6分 ‎（2）方法一：在线段上取点，使，则，又由（1）得平面，∴平面，又∵平面，∴，作于，又∵，平面，平面，∴平面，又∵平面，∴，又∵，∴是二面角的一个平面角，设，则，，这样，二面角的大小为，‎ 即，即，∴满足要求的点存在，且．………………………………………………12分 方法二：取的中点，则、、三条直线两两垂直 ‎∴可以分别以直线、、为、、轴建立空间直角坐标系，‎ 且由（1）知是平面的一个法向量，‎ 设，则，，‎ ‎∴，，‎ 设是平面的一个法向量，‎ 则，∴，‎ 数学试题 第7页（共8页） 数学试题 第8页（共8页）‎ ‎ ‎ 令，则，它背向二面角，‎ 又∵平面的法向量，它指向二面角，‎ 这样，二面角的大小为，‎ 即，‎ 即，‎ ‎∴满足要求的点存在，且．……………………………………………….12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知的直角顶点在轴上，点，为斜边的中点，且平行于轴．‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）设点的轨迹为曲线，直线与的另一个交点为．以为直径的圆交轴于、，记此圆的圆心为，，求的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）设点的坐标为，‎ 则的中点的坐标为，点的坐标为．，，由，得，即，经检验，当点运动至原点时，与重合，不合题意舍去．‎ ‎∴轨迹的方程为．………………………………………………4分 ‎（2）依题意，可知直线不与轴重合，设直线的方程为，‎ 点、的坐标分别为、，圆心的坐标为．‎ 由，可得，∴，．……………………………………………….6分 ‎∴，∴．‎ ‎∴圆的半径．………………………………………………8分 过圆心作于点，则．‎ 在中，，………………………………………………10分 当，即垂直于轴时， 取得最小值为，取得最大值为，‎ ‎∴的最大值为．………………………………………………12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数（，是自然对数的底数）．‎ ‎（1）设（其中是的导数），求的极小值；‎ ‎（2）若对，都有成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1），．‎ 令，∴，‎ ‎∴在上为增函数，．‎ ‎∵当时，；当时，，‎ ‎∴的单调递减区间为，单调递增区间为，∴．………………….6分 ‎（2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，∴．‎ 当时，，在上单调递增，，满足条件；………………8分 当时，．‎ 又∵，∴，使得，‎ 此时，，；，，………………………………………………10分 ‎∴在上单调递减，，都有，不符合题意．‎ 综上所述，实数的取值范围为．……………………………………………….12分 ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 数学试题 第7页（共8页） 数学试题 第8页（共8页）‎ ‎ ‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）写出曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线交于，两点，且的长度为，求直线的普通方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）和．‎ ‎【解析】（1）将代入曲线极坐标方程得：‎ 曲线的直角坐标方程为，即．………………………………………………5分 ‎（2）将直线的参数方程代入曲线方程：，‎ 整理得，‎ 设点，对应的参数为，，解得，，‎ 则，‎ ‎∵，∴和，∴直线的普通方程为和．…………………………………….10分 ‎[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ ‎23. 已知函数，．‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）当时，，∴，‎ 即求不同区间对应解集，∴的解集为．……………………………………………….5分 ‎（2）由题意，对任意的恒成立，‎ 即对任意的恒成立，‎ 令，‎ ‎∴函数的图象应该恒在的下方，数形结合可得．…………………………………………10分 数学试题 第7页（共8页） 数学试题 第8页（共8页）‎