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- 2021-06-10 发布
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数学(文)试题
一、单项选择题
1.设集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据集合中元素的意义判断即可.
【详解】由题,集合为点的集合,为数的集合.故.
故选:A
【点睛】本题主要考查了集合的元素意义与交集运算,属于基础题.
2.设是两个平面向量,则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
由,则是成立的;反之,若,而不一定成立,即可得到答案.
【详解】由题意是两个平面向量,若,则是成立的;
反之,若,则向量可能是不同的,所以不一定成立,
所以是是成立的充分而不必要条件,故选A.
【点睛】本题主要考查了向量的概念以及向量模的概念的应用,以及充分条件与必要条件的判定,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
3.已知复数,为虚数单位,则下列说法正确的是( )
A. B. C. D. 的虚部为
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数的除法求出后可得正确的选项.
【详解】因为,则,,,的虚部为,
故选:B.
【点睛】本题考查复数的除法,计算时分子、分母同乘以分母的共轭复数,本题属于容易题.
4.已知定义在上的奇函数,满足时,,则的值为( )
A. -15 B. -7 C. 3 D. 15
【答案】A
【解析】
【分析】
根据奇函数定义域关于原点中心对称,可求得的值.根据奇函数性质,即可求得的值.
【详解】因为奇函数定义域关于原点中心对称
则,解得
因为奇函数当时,
则
故选:A
【点睛】本题考查了奇函数的定义域关于原点对称,奇函数的性质应用,属于基础题.
5.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏.它用九个圆环相连成串,以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载“两环互相贯为一得其关换,解之为三,又合而为一”.在某种玩法中,用表示解下个圆环所需的移动最少次数,满足,且,则解下4个圆环所需的最少移动次数为( )
A. 7 B. 10 C. 12 D. 18
【答案】A
【解析】
【分析】
利用给定的递推关系可求的值,从而得到正确的选项.
【详解】因为,故,,,
故选:A.
【点睛】本题以数学文化为背景,考虑数列指定项的计算,注意依据分段的递推关系来计算,本题属于基础题.
6.若函数的大致图像如图所示,则的解析式可以为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
通过奇偶性分析排除B,D两个选项,通过极限思想取值选出选项.
【详解】对四个选项解析式分析发现B,D两个均为偶函数,图象关于y轴对称,与题不符,故排除;
极限思想分析,,A错误;
,C符合题意.
故选:C
【点睛】此题考查函数图象与解析式的关系,是对函数基本性质的综合应用,解题中需要注意观察函数定义域,单调性,奇偶性,周期性,特殊值等性质,对图像进行辨析,考查综合能力.
7.已知两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于,当时,函数取得最小值,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于,可求得周期与,再代入分析的值即可.
【详解】因为两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于可得周期为,故.
故,又当时,函数取得最小值,
故,又,故.
故选:A
【点睛】本题主要考查了根据三角函数图像的性质求解参数的问题,需要根据题意分析所给的条件与周期等的关系列式求解,属于基础题.
8.图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图,1号到16号的同学的成绩依次为,,图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图,那么该程序框图输出的结果是( )
A. 10 B. 6 C. 7 D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】
先弄清楚程序框图中是统计成绩不低于分的学生人数,然后从茎叶图中将不低于分的个数数出来,即为输出的结果.
【详解】,,成立,不成立,;
,,成立,不成立,;
,,成立,成立,,;
依此类推,上述程序框图是统计成绩不低于分的学生人数,从茎叶图中可知,不低于分的学生数为,故选A.
【点睛】本题考查茎叶图与程序框图的综合应用,理解程序框图的意义,是解本题的关键,考查理解能力,属于中等题.
9.已知正方形的边长为,以为圆心的圆与直线相切.若点是圆上的动点,则的最大值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系,圆的方程为:,,利用正弦型函数的性质得到最值.
【详解】如图,建立平面直角坐标系,则,,,
圆的方程为:,∴,
∴,,
∴
∴时,的最大值是8,
故选:D
【点睛】本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系,考查了,考查了正弦型函数的性质,考查推理能力与计算能力,属于中档题.
10.有一个长方形木块,三个侧面积分别为8,12,24,现将其削成一个正四面体模型,则该正四面体模型棱长的最大值为( )
A. 2 B. C. 4 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求长方体从同一顶点出发的三条棱的长度,从而可得正四面体模型棱长的最大值.
【详解】设长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为,则,故,
若能从该长方体削得一个棱长最长的正四面体模型,
则该四面体的顶点必在长方体的面内,
过正四面体的顶点作垂直于长方体的棱的垂面切割长方体,
含正四面体的几何体必为正方体, 故正四面体的棱长为正方体的面对角线的长,
而从长方体切割出一个正方体,使得面对角线的长最大,
需以最小棱长为切割后的正方体的棱长切割才可,
故所求的正四面体模型棱长的最大值.
故选:B.
【点睛】本题考查正四面体的外接,注意根据外接的要求确定出顶点在长方体的侧面内,从而得到正四面体的各顶点为某个正方体的顶点,从而得到切割的方法,本题属于中档题.
11.已知在平面直角坐标系中,为坐标原点,,,若平面内点满足,则的最大值为( )
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
设,,根据可得,再根据可得点的轨迹,它一个圆,从而可求的最大值.
【详解】设,,故,.
由可得,故,
因为,故,
整理得到,故点的轨迹为圆,其圆心为,半径为2,
故的最大值为,
故选:C.
【点睛】本题考查坐标平面中动点的轨迹以及圆中与距离有关的最值问题,一般地,求轨迹方程,可以动点转移法,也可以用几何法,而圆外定点与圆上动点的连线段长的最值问题,常转化为定点到圆心的距离与半径的和或差,本题属于中档题.
12.函数,若存在实数,使得方程有三个相异实根,则实数的范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先考虑时的单调性,再就分类讨论求在上的最值,结合存在实数,使得方程有三个相异实根可得实数的取值范围.
【详解】当时,,
当时,,在为增函数,
当时,,在为减函数.
又,
因为存在实数,使得方程有三个相异实根,
所以当时,的最小值小于,的最大值大于或等于.
但当,时,,故,故;
而当,时,任意,总成立,舍去.
故选:D.
【点睛】
本题考查分段函数的零点,注意先研究不含参数的函数的单调性,再结合函数的零点的个数判断另一范围上函数的性质,本题属于难题.
二、填空题
13.已知向量,满足,,且在方向上的投影是,则实数__________
【答案】
【解析】
【分析】
利用向量投影的计算公式可得关于的方程,其解即为所求的的值.
【详解】在方向上的投影为,解得,
故答案为:.
【点睛】本题考查在方向上的投影,其计算公式为,本题属于基础题.
14.数列满足,且对于任意的都有,,则_______.
【答案】820
【解析】
【分析】
根据条件中的递推关系,利用累加法,求出数列的通项公式,然后计算的值.
【详解】因为,
所以,
,
,
…,
,
上面个式子左右两边分别相加
得,
即,
所以.
【点睛】本题考查累加法求数列通项,求数列中的项.属于中档题.
15.在四面体中,与都是边长为2的等边三角形,且平面平面,则该四面体外接球的体积为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
先确定球心的位置,结合勾股定理可求球的半径,进而可得球的面积.
【详解】取的外心为,设为球心,连接,则平面,取的中点,连接,,过做于点,易知四边形为矩形,连接,,设,.连接,则,,三点共线,易知,所以,.在和中,,,即,,所以,,得.所以.
【点睛】本题主要考查几何体
外接球问题,外接球的半径的求解一般有两个思路:一是确定球心位置,利用勾股定理求解半径;二是利用熟悉的模型求解半径,比如长方体外接球半径是其对角线的一半.
16.双曲线:的左、右焦点分别为、,是右支上的一点,与轴交于点,的内切圆在边上的切点为,若,则的离心率为____.
【答案】
【解析】
【分析】
根据切线长定理求出MF1﹣MF2,即可得出a,从而得出双曲线的离心率.
【详解】设△MPF2的内切圆与MF1,MF2的切点分别为A,B,
由切线长定理可知MA=MB,PA=PQ,BF2=QF2,
又PF1=PF2,
∴MF1﹣MF2=(MA+AP+PF1)﹣(MB+BF2)=PQ+PF2﹣QF2=2PQ,
由双曲线的定义可知MF1﹣MF2=2a,
故而a=PQ,又c=2,
∴双曲线的离心率为e.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查双曲线的离心率,考查三角形内切圆的性质,考查切线长定理,考查学生的计算能力,利用双曲线的定义进行转化是解决本题的关键.
三、解答题
17.在中,角,,的对边分别为,,,已知.
(1)若,的面积为,求,的值;
(2)若,且角为钝角,求实数的取值范围.
【答案】(1),或,(2)
【解析】
分析】
先由正弦定理和三角恒等变换,同角的三角函数基本关系求出cosA、sinA的值;
(1)利用余弦定理和三角形的面积公式列出方程组,求出b、c的值;
(2)利用正弦定理和余弦定理,结合角为钝角,求出k的取值范围.
【详解】△ABC中,4acosA=ccosB+bcosC,
∴4sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC=sin(C+B)=sinA,
∴cosA,
∴sinA;
(1)a=4,
∴a2=b2+c2﹣2bc•cosA=b2+c2bc=16①;
又△ABC的面积为:
S△ABCbc•sinAbc•,
∴bc=8②;
由①②组成方程组,解得b=4,c=2或b=2,c=4;
(2)当sinB=ksinC(k>0),b=kc,
∴a2=b2+c2﹣2bc•cosA=(kc)2+c2﹣2kc•c•(k2k+1)c2;
又C为钝角,则a2+b2<c2,
即(k2k+1)+k2<1,解得0<k;
所以k的取值范围是.
【点睛】主要考查了同角三角函数的基本关系式,三角恒等变换,正弦定理和余弦定理的应用问题,是综合性题目.
18.中国北京世界园艺博览会于2019年4月29日至10月7日在北京市延庆区举行.组委会为方便游客游园,特推出“导引员”服务.“导引员”的日工资方案如下:
方案:由三部分组成
(表一)
底薪
150元
工作时间
6元/小时
行走路程
11元/公里
方案:由两部分组成:(1)根据工作时间20元/小时计费;(2)行走路程不超过4公里时,按10元/公里计费;超过4公里时,超出部分按15元/公里计费.已知“导引员”每天上班8小时,由于各种因素,“导引员”每天行走的路程是一个随机变量.试运行期间,组委会对某天100名“导引员”的行走路程述行了统计,为了计算方便对日行走路程进行取整处理.例如行走1.8公里按1公里计算,行走5.7公里按5公里计算.如表所示:
(表二)
行走路程
(公里)
人数
5
10
15
45
25
(Ⅰ)分别写出两种方案的日工资(单位:元)与日行走路程(单位:公里)的函数关系
(Ⅱ)①现按照分层抽样的方工式从,共抽取5人组成爱心服务队,再从这5人中抽取3人当小红帽,求小红帽中恰有1人来自的概率;
②“导引员”小张因为身体原因每天只能行走12公里,如果仅从日工资的角度考虑,请你帮小张选择使用哪种方案会使他的日工资更高?
【答案】(Ⅰ)方案:,,方案:;(Ⅱ)①,②建议选方案.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)根据题设条件可得两种方案的日工资与日行走路程的函数关系.
(Ⅱ)①用列举法可得基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数,从而可得所求的概率.
② 利用(Ⅰ)的函数可得小张的日工资,根据所得工资额的大小关系选择方案.
【详解】(Ⅰ)方案:,,
方案:,即.
(Ⅱ)(ⅰ)因为,依题意从中抽取2人,分别设为,,
从中抽取3人,分别设为,,.
设“小红帽中恰有一人来自”为事件,
则基本事件有、、、、、、、、、共10种.
中的基本事件有、、、、、共6种,所以.
(ⅱ)“方案”:,
方案:.
所以建议选方案.
【点睛】本题考查一次函数及分段函数在实际问题中应用,也考查了古典概型概率的计算,注意利用枚举法、树形图法或借助排列组合的方法来计数,本题属于中档题.
19.如图,在四棱锥中,底面为正方形,底面,,为线段的中点.
(1)若为线段上的动点,证明:平面平面;
(2)若为线段,,上的动点(不含,),,三棱锥的体积是否存在最大值?如果存在,求出最大值;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)存在,.
【解析】
【分析】
(1)利用,可得平面,根据面面垂直的判定定理可证平面平面;
(2) 由底面,得平面平面.将问题转化为点到直线的距离有无最大值即可解决.
【详解】(1)证明:因为,为线段的中点,所以,
因为底面,平面,所以,
又因为底面为正方形,所以,,
所以平面,
因为平面,所以,
因为,所以平面,
因为平面,所以平面平面.
(2)由底面,则平面平面,
所以点到平面的距离(三棱锥的高)等于点到直线的距离,
因此,当点在线段,上运动时,三棱锥的高小于或等于2,
当点在线段上运动时,三棱锥的高为2,
因为的面积为,
所以当点在线段上,三棱锥的体积取得最大值,
最大值为.
由于三棱锥的体积等于三棱锥的体积,
所以三棱锥的体积存在最大值.
【点睛】本题考查了直线与平面垂直的性质,考查了直线与平面垂直的判定定理,考查了平面与平面垂直的判定定理,考查了三棱锥的体积公式,属于中档题.
20.已知椭圆左、右焦点分别为,,过点的直线与椭圆交于两点,延长交椭圆于点,的周长为8.
(1)求的离心率及方程;
(2)试问:否存在定点,使得为定值?若存在,求;若不存在,请说明理由.
【答案】(1),; (2)存在点,且.
【解析】
【分析】
(1)由已知条件得,,即可计算出离心率和椭圆方程
(2)假设存在点,分别求出直线的斜率不存在、直线的斜率存在的表达式,令其相等,求出结果
【详解】(1)由题意可知,,则,
又的周长为8,所以,即,
则,.
故的方程为.
(2)假设存在点,使得为定值.
若直线的斜率不存在,直线的方程为,,,
则.
若直线的斜率存在,设的方程为,
设点,,联立,得,
根据韦达定理可得:,,
由于,,
则
因为为定值,所以,
解得,故存在点,且.
【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及定值问题,在解答定值问题时先假设存在,分别求出斜率不存在和斜率存在情况下的表达式,令其相等求出结果,此类题型的解法需要掌握
21.设函数,.
(1)若,,求函数的单调区间;
(2)若曲线在点处的切线与直线平行.
①求,的值;
②求实数的取值范围,使得对恒成立.
【答案】(1)单调增区间为,单调减区间为;(2)①;②.
【解析】
【分析】
(1)求出后讨论其符号可得函数的单调区间.
(2)根据函数在处切线的斜率可得,构建新函数,就分类讨论的单调性后可得的取值范围.
【详解】(1)当,时,,,
则.
当时,;当时,;
所以的单调增区间为,单调减区间为.
(Ⅱ)(ⅰ)因为,
所以.
依题设有,即.
解得.
(ⅱ)由(ⅰ)得,.
对恒成立即对恒成立.
令.则有.
①当时,当时,,
所以在上单调递增.
所以,即当时,恒成立;
②当时,当时,,
所以在上单调递减,
故当时,,
即当时,不恒成立.
综上,.
【点睛】本题考查含参数的函数的单调性以及不等式的恒成立,前者利用导数的符号的正负来说明,后者需构造新函数,通过新函数的最值来讨论,本题属于难题.
22.在直角坐标系中,圆的参数方程为(为参数),经过变换,得曲线.以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求曲线的极坐标方程.
(Ⅱ)若,为曲线上的动点,且,证明:为定值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)证明见解析.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)利用坐标关系求出,消去后可得曲线的直角坐标方程,再利用可得其极坐标方程 .
(Ⅱ)根据可设的极坐标为,,将它们代入(Ⅰ)中得到的极坐标方程可证为定值.
【详解】(Ⅰ)圆的参数方程为(为参数),经过变换,
得曲线的参数方程(为参数),也就是.
消去参数得到的直角坐标方程为,
故曲线的极坐标方程为:.
(Ⅱ)不妨设,,
又曲线的极坐标方程可化为,
所以即,
两式相加得,故为定值.
【点睛】本题考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化以及极坐标方程的应用,注意在解析几何中我们可以利用极坐标来沟通角与线段长度的关系,本题属于中档题.
23.已知函数,.
(Ⅰ)若不等式对恒成立,求正实数的取值范围;
(Ⅱ)设实数为(Ⅰ)中的最大值.若正实数,,满足,求的最小值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)8.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)利用绝对值不等式可求的最小值为,从而有,结合可得的取值范围.
(Ⅱ)利用基本不等式可求的最小值.
【详解】(1),当且仅当时等号成立,
,解得,正实数的取值范围为.
(2)由(1)知,,即.
,,
,
当且仅当时取得最小值为8.
【点睛】本题考查绝对值不等式以及基本不等式的应用,注意绝对值不等式中,等号成立的条件是,而用基本不等式求最值时,注意验证等号成立的条件.