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- 2021-06-10 发布
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江苏省苏州市2019届高三最后一卷数学试题
2019.5
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应的位置上.)
1.已知集合A=,B=,则AB= .
答案:(1,2)
考点:集合的运算
解析:∵,
∴
∴AB=(1,2)
2.设i是虚数单位,复数的模为1,则正数a的值为 .
答案:
考点:虚数
解析:,因为复数z的模为1,
所以,求得a=.
3.为了解某团战士的体重情况,采用随机抽样的方法.将样本体重数据整理后,画出了如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右前三个小组频率之比为1:2:3,第二小组频数为12,则全团共抽取人数为 .
答案:48
考点:频率分布直方图
解析:
=48
4.执行如图所示的程序框图,输出的k的值为 .
答案:7
考点:算法初步
解析:s取值由3→9→45,与之对应的k为3→5→7,所以输出k是7.
5.设[﹣1,1],[﹣2,2],记“以(x,y)为坐标的点落在不等式所表示的平面区域内”为事件A,则事件A发生的概率为 .
答案:1﹣
考点:几何概型
解析:设事件A发生的概率为P,P==1﹣.
6.已知△ABC的三边a,b,c所对的角分别为A,B,C,若a>b且,则A= .
答案:
考点:三角函数与解三角形
解析:因为,所以,则sinB=cosC,由a>b,则B,C都是锐角,则B+C=,所以A=.
7.已知等比数列满足,且,则= .
答案:8
考点:等比中项
解析:∵
∴,则=2
∴.
8.已知函数,若,则实数a的值是 .
答案:
考点:分段函数
解析:∵
∴
∵
∴,解得a=.
9.如图,在一个圆柱形容器内盛有高度为8cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球,则此圆柱底面的半径是 cm.
答案:4
考点:圆柱、球的体积
解析:设此圆柱底面的半径是r cm.
得:
解得:r=4
10.在平面直角坐标系xOy中,已知点A,F分别为椭圆C:(a>b>0)的右顶点和右焦点,过坐标原点O的直线交椭圆C于P,Q两点,线段AP的中点为M,若Q,F,M三点共线,则椭圆C的离心率为 .
答案:
考点:椭圆的离心率
解析:设点B为椭圆的左顶点,由题意知AM∥BQ,且AM=BQ
∴,则
求得a=3c,即e=.
11.设函数,若,且,则的取值范围是 .
答案:(,)
考点:三角函数的图像与性质
解析:不妨设,则,由图可知.
12.已知圆C:上存在两点A,B,P为直线x=5上的一个动点,且满足AP⊥BP,则点P的纵坐标取值范围是 .
答案:[2,6]
考点:圆的方程
解析:要使AP⊥BP,即∠APB的最大值要大于或等于90°,显然当PA切圆C于点A,PB切圆C于点B时,∠APB最大,此时∠CPA最大为45°,则sin∠CPA≥,即
≥,设点P(5,),则≥,解得2≤≤6.
13.如图,已知P是半径为2,圆心角为的一段圆弧AB上一点,,则的最小值为 .
答案:5﹣
考点:平面向量数量积
解析:取AC中点M,由极化恒等式得,要使取最小值,就是PM最小,当圆弧AB的圆心与点P、M共线时,PM有最小值为2﹣,代入求得的最小值为5﹣.
14.已知实数a,b,c满足(e为自然对数的底数),则的最小值是 .
答案:
考点:函数与导数
解析:设,则,可知,即;
可知,当且仅当时取等;
即,.
解得,当且仅当时,取等号.
二、解答题(本大题共6小题,共计90分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(本小题满分14分)
已知向量=(sin,cos﹣2sin),=(1,2).
(1)若∥,求的值;
(2)若,0<<,求的值.
16.(本小题满分14分)
如图,四棱锥P—ABCD的底面ABCD是平行四边形,平面PBD⊥平面ABCD,PB=PD,PA⊥PC,CD⊥PC,O,M分别是BD,PC的中点,连结OM.
(1)求证:OM∥平面PAD;
(2)求证:OM⊥平面PCD.
17.(本小题满分14分)
已知椭圆C:的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,P是椭圆C上的一个动点,且△PF1F2面积的最大值为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设斜率不为零的直线PF2与椭圆C的另一个交点为Q,且PQ的垂直平分线交y轴于点T(0,),求直线PQ的斜率.
18.(本小题满分16分)
如图为一块边长为2km的等边三角形地块ABC,为响应国家号召,现对这块地进行绿化改造,计划从BC的中点D出发引出两条成60°角的线段DE和DF,与AB和AC围成四边形区域AEDF,在该区域内种上草坪,其余区域修建成停车场,设∠BDE=.
(1)当=60°时,求绿化面积;
(2)试求地块的绿化面积的取值范围.
19.(本小题满分16分)
数列的前n项和记为An,且An=,数列是公比为q的等比数列,它的前n项和记为Bn.若,且存在不小于3的正整数k,m,使.
(1)若,,求;
(2)证明:数列为等差数列;
(3)若q=2,是否存在整数m,k,使Ak=86Bm,若存在,求出m,k的值;若不存在,说明理由.
20.(本小题满分16分)
若函数和同时在x=t处取得极小值,则称和为一对“函数”.
(1)试判断与是否是一对“函数”;
(2)若与是一对“函数”.①求a和t的值;②若a<0,若对于任意[1,),恒有,求实数m的取值范围.
附加题
21. 【选做题】本题包括A,B,C三小题,请选定其中两小题作答,若多做,则按
作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A选修4-2:矩阵与变换
变换是逆时针旋转的旋转变换,对应的变换矩阵是变换对应用的变换矩
阵是求曲线的图象依次在变换的作用下所得曲线的方程.
B.选修4-4:极坐标与参数方程
在直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线l的极坐标方程为设点P是曲线上的动点,求P到直线l距离的最大值.
C.选修4-5:不等式选讲
已知函数若存在实数x,使不等式
成立,求实数m的最小值,
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)
在四棱锥
△PAD为正三角形,且平面PAD⊥平面ABCD.
(1)求二面角P-EC-D的余弦值;
(2)线段PC上是否存在一点M,使得异面直线DM和PE所成的角的余弦值为若存在,指出点M的位置;若不存在,请说明理由.
23.(本小题满分10分)
已知非空集合M满足MN*若存在非负整数
使得当时,均有则称集合M具有性质P,记具有性质P的集合M的个数为
(1)求的值;
(2)求的表达式.