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- 2021-06-10 发布
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2016-2017学年江苏省盐城市南洋中学高二(上)期中数学试卷
一、填空题:本大题共14题,每题5分,共计70分,请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.函数的定义域是 .
2.不等式组,表示的平面区域的面积为 .
3.已知集合M={x|x2﹣3x﹣28≤0},N={x|x2﹣x﹣2>0},则M∩N= .
4.如果log3m+log3n=4,那么m+n的最小值是 .
5.某校有老师200人,男学生1200人,女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本;已知从女学生中抽取的人数为80人,则n= .
6.已知数据x1,x2,…,x10的方差为3,那么数据2x1+3,2x2+3,…2x10+3的方差为 .
7.将容量为100的样本数据,按从小到大的顺序分成8个组,如表:
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
频数
9
14
14
13
12
x
13
10
则第六组的频率为 .
8.已知变量x,y满足约束条件,则目标函数z=﹣2x+y的取值范围是 .
9.已知x>,则函数y=4x+的最小值为 .
10.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果T为 .
11.若a<b<0,则下列不等式中不成立的是 (只填序号)
①>
②>
③|a|>|b|
④a2>b2.
12.设A={x|x2﹣2x﹣3>0},B={x|x2+ax+b≤0},若A∪B=R,A∩B=(3,4],则a+b= .
13.如图是一个算法的流程图,若输出的结果是31,则判断框中的整数M的值是 .
14.已知正数x,y满足+=1,则x+y的最小值为 .
二、解答题:本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(14分)已知二次函数f(x)=ax2﹣bx+2(a>0).
(1)若不等式f(x)>0的解集为{x|x>2或x<1},求a和b的值;
(2)若b=2a+1,解关于x的不等式f(x)≤0.
16.(14分)(1)若x>﹣1,求y=的最小值;
(2)若a,b,c都是正数,且a+b+c=1,求证(1﹣a)(1﹣b)(1﹣c)≥8abc.
17.(14分)甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每小时可获得的利润是100(5x+1﹣)元.
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,求x的取值范围;
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求此最大利润.
18.(16分)如表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高(单位cm).
区间界限
[122,126)
[126,130)
[130,134)
[134,138)
[138,142)
[142,146)
人数
5
8
10
22
33
20
区间界限
[146,150)
[150,154)
[154,158)
人数
11
6
5
(1)列出样本频率分布表﹔
(2)画出频率分布直方图﹔
(3)估计身高小于134cm的人数占总人数的百分比.
19.(16分)设函数f(x)=mx2﹣mx﹣1(m≠0),若对于x∈[1,3],f(x)<﹣m+5恒成立,求m的取值范围.
20.(16分)已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0},B={x|x2﹣2mx+m2﹣4≤0,x∈R,m∈R}.
(1)当m=2时,求A∪B;
(2)若A∩B=[1,3],求实数m的值;
(3)若A⊆∁RB,求实数m的取值范围.
2016-2017学年江苏省盐城市南洋中学高二(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题:本大题共14题,每题5分,共计70分,请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.(2016秋•亭湖区校级期中)函数的定义域是 {x|x≥6或x≤﹣3} .
【考点】函数的定义域及其求法.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域.
【解答】解:要使函数有意义,则18+3x﹣x2≥0,
即x2﹣3x﹣18≤0,
解得x≥6或x≤﹣3,
故函数的定义域为{x|x≥6或x≤﹣3},
故答案为:{x|x≥6或x≤﹣3}
【点评】本题主要考查函数的定义域的求解,要求熟练掌握常见函数成立的条件
2.(2016秋•亭湖区校级期中)不等式组,表示的平面区域的面积为 .
【考点】简单线性规划.
【专题】计算题;数形结合;方程思想;转化思想;不等式.
【分析】先画出约束条件的可行域,并由图形选择合适的公式求解面积.
【解答】解:满足约束条件的可行域如下图示:A(,),B(3,﹣3),C(3,8).
由图可得,图中阴影部分面积为:
S=×11×=,
故答案为:.
【点评】平面区域的面积问题是线性规划问题中一类重要题型,在解题时,关键是正确地画出平面区域,然后结合有关面积公式求解.
3.(2016秋•亭湖区校级期中)已知集合M={x|x2﹣3x﹣28≤0},N={x|x2﹣x﹣2>0},则M∩N= {x|﹣4≤x<﹣1或2<x≤7}, .
【考点】交集及其运算.
【专题】计算题;集合思想;定义法;集合.
【分析】解一元二次不等式,即可求出已知中集合M={x|x2﹣3x﹣28≤0},N={x|x2﹣x﹣2>0},根据集合交集运算法则,即可得到答案.
【解答】解:∵M={x|x2﹣3x﹣28≤0}={x|﹣4≤x≤7},
N={x|x2﹣x﹣2>0}={x|x<﹣1,或x>2},
∴M∩N={x|﹣4≤x≤7}∩{x|x<﹣1,或x>2}={x|﹣4≤x<﹣1或2<x≤7},
故答案为:{x|﹣4≤x<﹣1或2<x≤7},
【点评】本题考查的知识点是交集及其运算,其中解一元二次不等式,求出两个集合是解答本题的关键.
4.(2008春•江宁区期末)如果log3m+log3n=4,那么m+n的最小值是 18 .
【考点】基本不等式;对数的运算性质.
【专题】不等式的解法及应用.
【分析】利用对数的运算性质和基本不等式即可得出.
【解答】解:∵log3m+log3n=4,∴,得mn=34.
∵m>0,n>0,∴ ==18,当且仅当m=n=9时取等号.
故答案为18.
【点评】熟练掌握对数的运算性质和基本不等式是解题的关键.
5.(2004•湖北)某校有老师200人,男学生1200人,女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本;已知从女学生中抽取的人数为80人,则n= 192 .
【考点】分层抽样方法.
【专题】计算题;压轴题.
【分析】根据某校有老师200人,男学生1 200人,女学生1 000人,做出全校的人数,根据从女学生中抽取的人数为80人,得到每个个体被抽到的概率,用全校人数乘以概率,得到结果.
【解答】解:∵某校有老师200人,男学生1 200人,女学生1 000人.
∴学校共有200+1200+1000人
由题意知=,
∴n=192.
故答案为:192
【点评】本题考查分层抽样的相关知识,容易出错的是不理解分层抽样的含义或与其它混淆.抽样方法是数学中的一个小知识点,但一般不难,故也是一个重要的得分点,不容错过.
6.(2016秋•亭湖区校级期中)已知数据x1,x2,…,x10的方差为3,那么数据2x1+3,2x2+3,…2x10+3的方差为 12 .
【考点】极差、方差与标准差.
【专题】计算题;方程思想;定义法;概率与统计.
【分析】利用方差的性质直接求解.
【解答】解:∵x1,x2,…,x10的方差为3,
∴数据2x1+3,2x2+3,…2x10+3的方差为:22×3=12.
故答案为:12.
【点评】本题考查方差的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意方差性质的合理运用.
7.(2016秋•亭湖区校级期中)将容量为100的样本数据,按从小到大的顺序分成8个组,如表:
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
频数
9
14
14
13
12
x
13
10
则第六组的频率为 0.15 .
【考点】古典概型及其概率计算公式.
【专题】计算题;综合法;概率与统计.
【分析】由表中数据,根据样本容量为100,我们可计算出第6组频数,代入频率公式:频率=,可得答案
【解答】解:∵第6组频数为100﹣(9+14+14+13+12+13+10)=15
∴第6组频率为=0.15
故答案为:0.15
【点评】本题考查的知识点是频率分布表,其中熟练掌握频率公式:频率=,是解答的关键
8.(2012•南京二模)已知变量x,y满足约束条件,则目标函数z=﹣2x+y的取值范围是 [﹣4,2] .
【考点】简单线性规划.
【专题】数形结合;直线与圆.
【分析】作出不等式组表示的平面区域;作出目标函数对应的直线;结合图象知当直线过A、B时,z最小、最大,从而得出目标函数z=﹣2x+y的取值范围.
【解答】解:画出不等式表示的平面区域
将目标函数变形为z=﹣2x+y,作出目标函数对应的直线,
直线过B(0,2)时,直线的纵截距最大,z最大,最大值为2;
当直线过A(3,2)时,直线的纵截距最小,z最小,最小值为﹣4;
则目标函数z=﹣2x+y的取值范围是[﹣4,2].
故答案为:[﹣4,2].
【点评】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值.
9.(2013秋•南阳期中)已知x>,则函数y=4x+的最小值为 7 .
【考点】基本不等式在最值问题中的应用.
【专题】计算题.
【分析】先把函数整理成基本不等式的形式,进而求得函数的最小值.
【解答】解:y=4x+=4x﹣5++5≥2+5=7
∴函数y=4x+的最小值为7
故答案为7
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题的应用.属基础题.
10.(2016秋•亭湖区校级期中)根据如图所示的伪代码,可知输出的结果T为 62250 .
【考点】伪代码;循环结构.
【专题】图表型.
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加并输出满足条件T=2+4+6+8+…+498时,T的值.
【解答】解:分析程序中各变量、各语句的作用,
再根据流程图所示的顺序,可知:
该程序的作用是累加并输出满足条件T=2+4+6+8+…+498值.
∵T=2+4+6+8+…+498==62250,
故输出的S值为62250.
故答案为:62250.
【点评】根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,其处理方法是::①分析流程图(或伪代码),从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型,又要分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多,也可使用表格对数据进行分析管理)⇒②建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型③解模.
11.(2016秋•亭湖区校级期中)若a<b<0,则下列不等式中不成立的是 ② (只填序号)
①>
②>
③|a|>|b|
④a2>b2.
【考点】不等式的基本性质.
【专题】选作题;转化思想;演绎法;不等式.
【分析】取a=﹣2,b=﹣1,代入验证可得结论.
【解答】解:取a=﹣2,b=﹣1,则①>成立;
②>不成立;
③|a|>|b|成立;
④a2>b2成立;
故答案为②.
【点评】本题主要考查不等式与不等关系,利用特殊值代入法,排除不符合条件的选项,是一种简单有效的方法.
12.(2014春•姜堰市校级期末)设A={x|x2﹣2x﹣3>0},B={x|x2+ax+b≤0},若A∪B=R,A∩B=(3,4],则a+b= ﹣7 .
【考点】交、并、补集的混合运算;一元二次不等式的解法.
【专题】不等式的解法及应用.
【分析】解二次不等式可求出A,结合A∪B=R,A∩B=(3,4],可得B=[﹣1,4],即﹣1,4为方程x2+ax+b=0的两个根,由韦达定理可得a,b的值,进而求出答案.
【解答】解:∵A={x|x2﹣2x﹣3>0}={x|x<﹣1或x>3}=(﹣∞,﹣1)∪(3,+∞)
又由A∪B=R,A∩B=(3,4],
故B=[﹣1,4]
由B={x|x2+ax+b≤0}可得
﹣1,4为方程x2+ax+b=0的两个根
由韦达定理得a=﹣3,b=﹣4
故a+b=﹣7
故答案为:﹣7
【点评】本题考查的知识点是交,并集合运算,一元二次不等式的解法,方程与不等式式的关系,其中分析出﹣1,4为方程x2+ax+b=0的两个根,是解答的关键.
13.(2011•江苏模拟)如图是一个算法的流程图,若输出的结果是31,则判断框中的整数M的值是 4 .
【考点】循环结构.
【专题】常规题型.
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加S=1+21+22+23+24=31的值,并输出.
【解答】解:程序在运行过程中各变量的值如下表示:
是否继续循环 S A
循环前/1 1
第一圈 是 1+21 2
第二圈 是 1+21+22 3
第三圈 是 1+21+22+23 4
第四圈 是 1+21+22+23+24 5
∵输出的结果是31
故继续循环的条件A不能超过4
故答案为:4.
【点评】算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新高考中的一个热点,应高度重视.程序填空也是重要的考试题型,属于基础题.
14.(2012•徐州模拟)已知正数x,y满足+=1,则x+y的最小值为 2+2 .
【考点】基本不等式.
【专题】不等式的解法及应用.
【分析】变形利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出.
【解答】解:∵正数x,y满足+=1,
则x+y=(x+y+2)﹣2=2+=2+2,当且仅当x=1+=y时取等号.
∴x+y的最小值为2+2.
故答案为:2+2.
【点评】本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质,考查了变形的能力,考查了计算能力,属于中档题.
二、解答题:本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(14分)(2016秋•亭湖区校级期中)已知二次函数f(x)=ax2﹣bx+2(a>0).
(1)若不等式f(x)>0的解集为{x|x>2或x<1},求a和b的值;
(2)若b=2a+1,解关于x的不等式f(x)≤0.
【考点】二次函数的性质.
【专题】计算题;分类讨论;转化思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】(1)由题意,ax2﹣bx+2>0(a>0)的解集为{x|x>2或x<1},根据不等式与方程的关系有:x1=2,x2=1求解a,b.
(2)b=2a+1,那么:f(x)=ax2﹣(2a+1)x+2=(ax﹣2)(x﹣1)≤0.对a与1的大小比较近讨论,得解.
【解答】解:(1)由题意,ax2﹣bx+2>0(a>0)的解集为{x|x>2或x<1},根据不等式与方程的关系有:x1=2,x2=1,利用韦达定理:,,解得:a=1,b=3.
故当不等式f(x)>0的解集为{x|x>2或x<1},a、b的值分别为1,3;
(2)当b=2a+1,那么:f(x)=ax2﹣(2a+1)x+2=(ax﹣1)(x﹣2)
f(x)≤0,即(ax﹣1)(x﹣2)≤0,
解得:x1=,x2=2.
当0<a<时,x1>x2,不等式的解集为[]
当a=时,x1=x2,不等式的解集为{x|x=2};
当a>时,x1<x2,不等式的解集为[,2];
综上所述:当0<a<时,x1>x2,不等式的解集为[]
当a=时,x1=x2,不等式的解集为{x|x=2};
当a>时,x1<x2,不等式的解集为[,2].
【点评】本题主要考查了一元二次不等式的应用,以及根与系数的关系,同时考查了分析求解的能力和计算能力,属于中档题.
16.(14分)(2016秋•亭湖区校级期中)(1)若x>﹣1,求y=的最小值;
(2)若a,b,c都是正数,且a+b+c=1,求证(1﹣a)(1﹣b)(1﹣c)≥8abc.
【考点】基本不等式;不等式的证明.
【专题】函数思想;综合法;不等式.
【分析】(1)x>﹣1,可得x+1>0.变形为函数y=(x+1)++5,利用基本不等式的性质即可得出.
(2)根据已知条件知:1﹣a=b+c≥2;“=成立b=c”
1﹣b=a+c≥2时取“=成立a=c“;
1﹣c=a+b时取“=成立a=b“;
所以这三个不等式两边同时相乘就可以得到要证的结论
【解答】解:(1)∵x>﹣1,∴x+1>0.
∴函数y==(x+1)++5≥2+5+5=4+5=9,
当且仅当x+1=2,即x=1时取等号.
∴函数y=的最小值;
(x>﹣1)的最小值为9;
(2)证明:∵a+b+c=1,a,b,c都是正数;
∴1﹣a=b+c≥2;“=成立b=c”
1﹣b=a+c≥2时取“=成立a=c“;
1﹣c=a+b时取“=成立a=b“;
∴(1﹣a)(1﹣b)(1﹣c)≥8abc,a=b=c时取“=成立a=b=c= “;
【点评】本题考查了函数的最小值、基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题
17.(14分)(2013•上海)甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每小时可获得的利润是100(5x+1﹣)元.
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,求x的取值范围;
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求此最大利润.
【考点】函数模型的选择与应用.
【专题】应用题.
【分析】(1)求出生产该产品2小时获得的利润,建立不等式,即可求x的取值范围;
(2)确定生产900千克该产品获得的利润函数,利用配方法,可求最大利润.
【解答】解:(1)生产该产品2小时获得的利润为100(5x+1﹣)×2=200(5x+1﹣)
根据题意,200(5x+1﹣)≥3000,即5x2﹣14x﹣3≥0
∴x≥3或x≤﹣
∵1≤x≤10,∴3≤x≤10;
(2)设利润为 y元,则生产900千克该产品获得的利润为y=100(5x+1﹣)×
=90000()=9×104[+]
∵1≤x≤10,∴x=6时,取得最大利润为=457500元
故甲厂应以6千克/小时的速度生产,可获得最大利润为457500元.
【点评】本题考查函数模型的建立,考查解不等式,考查函数的最值,确定函数的模型是关键.
18.(16分)(2016秋•亭湖区校级期中)如表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高(单位cm).
区间界限
[122,126)
[126,130)
[130,134)
[134,138)
[138,142)
[142,146)
人数
5
8
10
22
33
20
区间界限
[146,150)
[150,154)
[154,158)
人数
11
6
5
(1)列出样本频率分布表﹔
(2)画出频率分布直方图﹔
(3)估计身高小于134cm的人数占总人数的百分比.
【考点】频率分布直方图.
【专题】计算题;对应思想;定义法;概率与统计.
【分析】根据样本频率分布表、频率分布直方图的一般步骤解题.
【解答】解:(1)样本频率分布表如下:
分组
频数
频率
[122,126)
5
0.04
[126,130)
8
0.07
[130,134)
10
0.08
[134,138)
22
0.18
[138,142)
33
0.28
[142,146)
20
0.17
[146,150)
11
0.09
[150,154)
6
0.05
[154,158)
5
0.04
合计
120
1
(2)其频率分布直方图如下:
(3)由样本频率分布表可知身高小于134 cm的男孩出现的频率为0.04+0.07+0.08=0.19,
所以我们估计身高小于134 cm的人数占总人数的19%.
【点评】本题考查频率分布表、频率分布图的作法,考查满足条件的百分比的求法,解题时要认真审题,是基础题.
19.(16分)(2016秋•亭湖区校级期中)设函数f(x)=mx2﹣mx﹣1(m≠0),若对于x∈[1,3],f(x)<﹣m+5恒成立,求m的取值范围.
【考点】函数恒成立问题.
【专题】计算题;转化思想;转化法;函数的性质及应用.
【分析】由题意得m(x﹣)2+m﹣6<0,x∈[1,3]恒成立,令g(x)=m(x﹣)2+m﹣6<0,x∈[1,3],利用函数的单调性质能求出m的取值范围.
【解答】解:要x∈[1,3],f(x)<﹣m+5恒成立,
即m(x﹣)2+m﹣6<0,x∈[1,3]恒成立.
令g(x)=m(x﹣)2+m﹣6<0,x∈[1,3],
当 m>0时,g(x)是增函数,
所以g(x)max=g(3)=7m﹣6<0,
解得m<.所以0<m<.
∴m的取值范围是(0,).
【点评】本题考查实数的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意等价转化思想及函数性质的合理运用.
20.(16分)(2014春•姜堰市校级期末)已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0},B={x|x2﹣2mx+m2﹣4≤0,x∈R,m∈R}.
(1)当m=2时,求A∪B;
(2)若A∩B=[1,3],求实数m的值;
(3)若A⊆∁RB,求实数m的取值范围.
【考点】集合的包含关系判断及应用.
【专题】计算题;集合.
【分析】(1)先求出集合A,B,可求A∪B;
(2)利用A∩B=[1,3],确定实数m的值.
(3)求出∁RB,利用条件A⊆∁RB,确定条件关系,即可求实数m的取值范围.
【解答】解:(1)∵A={x|x2﹣2x﹣3≤0,x∈R},
∴A={x|﹣1≤x≤3,x∈R},
∵B={x|x2﹣4x≤0}={x|0≤x≤4},
∴A∪B=[﹣1,4];
(2)∵A∩B=[1,3],
∴m﹣2=1,即m=3,
此时B={x|1≤x≤5},满足条件A∩B=[1,3].
(3)∵B={x|m﹣2≤x≤m+2}.
∴∁RB={x|x>m+2或x<m﹣2},
要使A⊆∁RB,
则3<m﹣2或﹣1>m+2,
解得m>5或m<﹣3,
即实数m的取值范围是m>5或m<﹣3.
【点评】本题主要考查集合的基本运算,以及利用集合关系求参数问题,考查学生分析问题的能力.