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- 2021-06-10 发布
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第三章 导数应用
2.1
实际问题中导数的意义
导数来源于生活,服务于生活。实际生活中,有许多词语与导数有关。如物理上的功率,线速度,加速度,还有生活中常听说的降水强度、边际成本等。这节课,我们就来研究一下实际问题中导数的含义。
一.复习引入:
例
1
、如图所示,某人拉动一个物体前进,他所做的功
W
(单位:
J
)是时间
t
(单位:
s
)的函数,设这个函数可以表示为
W=W(t)=
(1)
求
t
从
1s
变到
3s
时,功
W
关于时间
t
的平均变化率,并解释它的实际意义
(2)
求
W’(1),W’(2),
并解释它们的实际意义
二.新课探析
1
、功与功率
分析:
求功
W
关于时间
t
的
平均变化率
=
所以需要找出自变量
t
的变化量(从
1s
变到
3s
),函数值
W
的变化量(
W(1)
到
W(3)
),导数
W’(t)
表示在
t
时刻的瞬时变化率
解:(
1
)当
t
从
1s
变到
3s
时,功
W
从
W(1)=11j
变到
W(3)=21j
此时功
W
关于时间
t
的平均变化率为
它表示
t
从
1s
变到
3s
这段时间,这个人平均每秒做功
5j
。
(2) W’(t)=
W’(1)=7j/s,W’(2)=4j/s
W’(1),W’(2)
分别表示
t=1s
和
t=2s
时,这个人每秒做的功为
7j
和
4j
在物理学中,通常称
力在单位时间内做的功叫做功率
,它的单位是
瓦特
。
在气象部门发布的天气预报中,我们经常听到小雨、中雨、暴雨等专业术语,如何反映和区别它呢?
在气象学中,通常把
单位时间内的降水量称为降水强度
。常用的单位是
毫米/天、毫米/小时
。
2
、降雨强度:
小雨
是指
24
小时内降水量不超过
10
毫米的雨;
小到中雨
是指
24
小时内降水量为
5
毫米~
18
毫米;
中雨
是指
24
小时内降水量为
10
毫米~
25
毫米;
中到大雨
是指
24
小时内降水量为
18
毫米~
38
毫米
大雨
是指
24
小时内降水量为
25
毫米~
50
毫米;
大到暴雨
是指
24
小时内降水量为
38
毫米~
75
毫米
暴雨
是指
24
小时内降水量超过
50
毫米;
大暴雨
是指
24
小时内降水量超过
100
毫米;
特大暴雨
是指
24
小时内降雨量超过
200
毫米;
例
2
、
(降雨强度)
下表为一次降雨过程中一段时间内记录下的降雨量的数据:
时间
t/min
0
10
20
30
40
50
60
降雨量
y/mm
0
10
14
17
20
22
24
显然,降雨量
y
是时间
t
的函数,用
y=f(t)
表示。
(1)
分别计算当
t
从
0
变到
10
,从
50
变到
60
时,降雨量
y
关于时间
t
的平均变化率,比较它们的大小,并解释它们的实际意义;
(2)
假设得到降雨量
y
关于时间
t
的函数的近似表达式为
f(t)=
,求 并解释它的实际意义。
解 (
1
)当
t
从
0
变到
10
时,降雨量
y
从
0
变到
10
,此时,
降雨量
y
关于时间
t
的平均变化率为
它表示从
0 min
到
10 min
这段时间内,平均每分降雨量为
1 mm.
当
t
从
50
变到
60
时,降雨量
y
从
22
变到
24
,此时,降雨量
y
关于时间
t
的平均变化率为
它表示从
50 min
到
60 min
这段时间内,平均每分降雨
量为
0.2 mm.
1
>
0.2
,说明这次降雨过程中,刚开始的
10 min
比以后
10 min
的雨下的大
.
在气象学中,通常把在单位时间(如
1
时、
1
天等)
内的降雨量称作降雨强度,它是反映一次降雨大小的
一个重要指标
.
因此用气象学的知识解释,
0
~
10 min
这段时间的平均降雨强度是
1 mm/min
,而
50
~
60 min
这段时间的平均降雨强度为
0.2 mm/min.
(
2
)首先求导函数,根据导数公式可得
将
t=40
代入可得
它表示的是
t=40 min
时降雨量
y
关于时间
t
的瞬时
变化率,即降雨强度
.
实际意义就是说
t=40 min
这个时刻的降雨强度
为
0.25 mm/min.
3.
边际
例
3
、
(边际成本)
建造一幢面积为
xm
2
的房屋需要成本
y
万元,
y
是
x
的函数:
(
1
)当
x
从
100
变到
120
时,建筑成本
y
关于建筑面积
x
的平均变化率是多少?它代表什么实际意义?
(
2
)求 并解释它的实际意义。
具体详解请同学们自学教材
5
分钟,之后我们来看几
个练习题
.
实际问题中导数的意义:
(
1
)明确实际问题中的函数
,
自变量以及变化率;
(
2
)建立导数数学模型。
(
3
)结合实际,明确在实际问题中导数的含义 以及需要用导数概念来理解的量。
请同学们仔细思考,结合实际问题讨论
交流导数的实际含义。
思考总结: