2017-2018学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二上学期期中考试数学（理）试题 15页

‎2017-2018学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二上学期期中考试 数学科试卷（理科）‎ 答题时间：120分钟；满分：150分；命题人：高二备课组 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知等比数列的前三项依次为，则（ ） ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．下列命题正确的个数是（ ）‎ ‎①对于实数，若，则；②命题“若，则”的否命题为：“若，则”；③“”是“”的充分不必要条件；④命题“”的否定是“”．‎ ‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎3．已知，命题：方程=l表示椭圆，命题，‎ 则命题是命题成立的（ ）‎ ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．设是等差数列，公差为，是其前项的和，且，，则下列结论错误的是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．和均为的最大值 ‎5．已知命题，，命题．若命题且是真命题，则实数的取值范围为( ) ‎ A．或 B． C． D．‎ ‎6．两等差数列、的前项和分别为和，且，则的值是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．设集合，，若动点，则的取值范围是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．设离心率为的双曲线： 的右焦点为，直线过点且斜率为，则直线与双曲线的左、右两支相交的充要条件是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知椭圆的焦距为2，过M（1,1）斜率为直线交曲线C于且M是线段AB的中点，则椭圆的标准方程为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（ ）‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D． ‎ ‎11．已知等差数列的公差，且，，成等比数列，若，是数列的前项的和，则的最小值为（ ）‎ x y A1‎ A2‎ B1‎ B2‎ F2‎ O ‎ P ‎ ‎ A．4 B．3 C． D．‎ ‎12．如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，为椭圆顶点，为右焦点，延长与交于点，若为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上．‎ ‎13．点是双曲线的一个交点，且，其中、是双曲线C1的两个焦点，则双曲线C1的离心率为 ． ‎ ‎14．下列命题：‎ ‎①数列的前n项和为，则是数列为等差数列的必要不充分条件；②，不等式成立的充要条件；③“ ”是“或”的充分不必要条件； ④已知都是不等于零的实数，关于的不等式和的解集分别为P，Q，则是的既不充分也不必要条件．则其中所有真命题的序号是 ．‎ ‎15．设x,y满足约束条件，若的最小值为，则的值_____．‎ ‎16．在等差数列中，，，记数列的前项和为，若 对恒成立，则正整数的最小值为_____．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ‎ ‎17．（本题满分10分）‎ 设命题：实数满足，其中，命题：实数满足 ‎．‎ ‎（Ⅰ）若，且为真，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．‎ ‎18．（本题满分12分）‎ 已知数列满足 ‎（Ⅰ）求数列的通项；‎ ‎（Ⅱ）若，求数列的前n项和．‎ ‎19．（本题满分12分）‎ 已知椭圆的离心率是，其左、右顶点分别为、，为短轴的一个端点，的面积为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）直线与轴交于，是椭圆上异于、的动点，直线、分别交直线于、两点，求证：为定值．‎ ‎20．（本题满分12分）‎ 已知数列的前项和为，且，其中．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，数列的前项和为，求证：．‎ ‎21．（本题满分12分）‎ 已知轨迹上的点到点的距离比它到直线的距离小2．‎ ‎（Ⅰ）求轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点，作轨迹的两条互相垂直的弦、，设、的中点分别为、，试判断直线是否过定点？并说明理由．‎ ‎22．（本题满分12分）‎ 已知，分别是椭圆的左，右焦点，，分别是椭圆的上顶点和右顶点，且，离心率．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设经过的直线与椭圆相交于，两点，求的最小值．‎ ‎2017—2018学年度上学期高二年级期中考试 数学科试卷（理科）‎ 答题时间：120分钟；满分：150分；命题人：高二备课组 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知等比数列的前三项依次为，则（ ） ‎ ‎ A． B． C． D．‎ 答案：C ‎2．下列命题正确的个数是（ ）‎ ‎①对于实数，若，则；②命题“若，则”的否命题为：“若，则”；③“”是“”的充分不必要条件；④命题“”的否定是“”．‎ ‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 答案：A ‎3．已知，命题：方程=l表示椭圆，命题，‎ 则命题是命题成立的（ ）‎ ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：D ‎4．设是等差数列，公差为，是其前项的和，且，，则下列结论错误的是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．和均为的最大值 答案：C ‎5．已知命题，，命题．若命题且 是真命题，则实数的取值范围为( ) ‎ A．或 B． C． D．‎ 答案：A ‎6．两等差数列、的前项和分别为和，且，则的值是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 答案：D ‎7．设集合，，若动点，则的取值范围是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 答案：A ‎8．设离心率为的双曲线： 的右焦点为，直线过点且斜率为，则直线与双曲线的左、右两支相交的充要条件是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 答案：C ‎9．已知椭圆的焦距为2，过M（1,1）斜率为直线交曲线C于且M是线段AB的中点，则椭圆的标准方程为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 答案: C ‎10．如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则 的周长的取值范围是（ ）‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D． ‎ 答案：B ‎11．已知等差数列的公差，且，，成等比数列，若， 是数列的前项的和，则的最小值为（ ）‎ ‎ A．4 B．3 C． D．‎ 答案：A ‎12．如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，为椭圆顶点，为右焦点，延长与交于点，若为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）‎ ‎ A． B． ‎ C． D．‎ 答案：D ‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上．‎ ‎13．点是双曲线的一个交点，且，其中、是双曲线C1的两个焦点，则双曲线C1的离心率为 ． ‎ 答案：‎ ‎14．下列命题：‎ ‎①数列的前n项和为，则是数列为等差数列的必要不充分条件；②，不等式成立的充要条件；③“ ”是“或”‎ 的充分不必要条件； ④已知都是不等于零的实数，关于的不等式和的解集分别为P，Q，则是的既不充分也不必要条件．则其中所有真命题的序号是 ．‎ 答案：②③④‎ ‎15．设x,y满足约束条件，若的最小值为，则的值_____．‎ 答案：1‎ ‎16．在等差数列中，，，记数列的前项和为，若 对恒成立，则正整数的最小值为_____．‎ 答案：5‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ‎ ‎17．（本题满分10分）‎ 设命题：实数满足，其中，命题：实数满足 ‎．‎ ‎（Ⅰ）若，且为真，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．‎ 解：（Ⅰ）当时，为真时，实数的取值范围是1<<3……………2分 由，得2<≤3‎ 当为真时，实数的取值范围是2<≤3……………4分 若为真，则真且真，所以实数的取值范围是2<<3……………5分 ‎（Ⅱ）：或，：或……………7分 是的充分不必要条件，即⇒，且 所以实数的取值范围是1<≤2……………10分 ‎18．（本题满分12分）‎ 已知数列满足 ‎（Ⅰ）求数列的通项；‎ ‎（Ⅱ）若，求数列的前n项和．‎ 解：（Ⅰ） (1)‎ 当时，(2)‎ ‎(1)- (2)得即……………4分 当时，也满足上式 ‎……………6分 ‎（Ⅱ）（1）‎ ‎（2）……………8分 ‎(1)-(2) 得 ‎……………12分 ‎19．（本题满分12分）‎ 已知椭圆的离心率是，其左、右顶点分别为、，为短轴的一个端点，的面积为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）直线与轴交于，是椭圆上异于、的动点，直线、分别交直线于、两点，求证：为定值．‎ 解：（Ⅰ）由已知得，解得 椭圆方程为……………4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，‎ 设，（），直线的方程为 令，得，……………7分 直线的方程为 令，得，……………9分 ‎……………12分 ‎20．（本题满分12分）‎ 已知数列的前项和为，且，其中．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，数列的前项和为，求证：．‎ 解：（Ⅰ）令，得，即，‎ ‎……………1分 ‎(1)‎ 当时，(2)‎ ‎(1)-(2)得 即得：……………3分 即……………5分 ‎，所以 ‎，……………7分 ‎（Ⅱ）由（1）知 又……………10分 ‎ ‎ ‎……………12分 ‎21．（本题满分12分）‎ 已知轨迹上的点到点的距离比它到直线的距离小2．‎ ‎（Ⅰ）求轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点，作轨迹的两条互相垂直的弦、，设、的中点分别为、，试判断直线是否过定点？并说明理由．‎ 解：（Ⅰ）设为轨迹上任意一点，‎ 依题意，点到的距离与它到直线的距离相等，‎ 点轨迹是以点为焦点，为准线的抛物线.……………2分 所以曲线的方程为.……………4分 ‎（Ⅱ）设AB：代入得 设，则 设，则 ‎∴……………6分 同理……………8分 ‎∴……………10分 ‎∴：，‎ 整理得……………11分 ‎∴直线恒过定点……………12分 ‎22．（本题满分12分）‎ 已知，分别是椭圆的左，右焦点，，分别是椭圆的上顶点和右顶点，且，离心率．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设经过的直线与椭圆相交于，两点，求的最小值．‎ ‎（Ⅰ）依题意得……………2分 ‎ 解得，椭圆方程为 ……………4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，设，的方程为，‎ 代入椭圆的方程得，‎ 设，则……………6分 ‎ ‎……………8分 ‎…………10分 ‎……………11分 ‎ 当时的最小值为 ……………12分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎