高中数学选修2-2课时提升作业(四) 1_2_2 10页

温馨提示：‎ ‎ 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。‎ 课时提升作业(四)‎ 导数的运算法则 一、选择题(每小题3分，共18分)‎ ‎1.已知物体的运动方程是s=t4-4t3+16t2(t表示时间，s表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是(　　)‎ A.0秒、2秒或4秒 B.0秒、2秒或16秒 C.2秒、8秒或16秒 D.0秒、4秒或8秒 ‎【解析】选D.显然瞬时速度v=s′=t3-12t2+32t ‎=t(t2-12t+32)，令v=0，可得t=0，4，8.故选D.‎ ‎2.(2014·北京高二检测)函数y=x-sincos的导数为(　　)‎ A.1-sinx B.1+sincos C.1-cosx D.以上都不正确 ‎【解析】选C.y=x-sinx，y′=1-cosx.‎ ‎3.曲线y=在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(　　)‎ A.e2 B.4e‎2 ‎ C.2e2 D.e2‎ ‎【解析】选D.由导数的几何意义，切线的斜率 k=y′|x=4=|x=4=e2，‎ 所以切线方程为y-e2=e2(x-4)，‎ 令x=0，得y=-e2；令y=0，得x=2.‎ 所以切线与坐标轴所围三角形的面积为×2e2=e2.‎ ‎【变式训练】已知函数f(x)=x2在点(a，a2)(a>0)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为2，则a=(　　)‎ A.1 B‎.2 ‎ C.3 D.4‎ ‎【解析】选B.因为f(x)=x2，所以f′(x)=2x，‎ 所以函数f(x)=x2在点(a，a2)(a>0)处的切线斜率为f′(a)=‎2a，切线方程为y-a2=‎2a(x-a)，‎ 令x=0，得y=-a2，令y=0，得x=.‎ 所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为××a2=2，解得a=2.‎ ‎4.函数y=sin的导数为(　　)‎ A.3sin B.3cos C.3sin2 D.3cos2‎ ‎【解析】选B.y′=cos′‎ ‎=3cos.‎ ‎【误区警示】解答此题时易出现先用两角和公式展开再求导的做法，那样会使得运算复杂繁琐.直接用复合函数求导，可使运算简便.‎ ‎5.(2014·天津高二检测)若存在过点(1，0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+x-9相切，则a等于(　　)‎ A.-1或-　　　　　　　 B.-1或 C.-或 D.-或7‎ ‎【解析】选A.设过(1，0)的直线与y=x3相切于点(x0，)，所以切线方程为y-=3(x-x0)，即y=3x-2，又(1，0)在切线上，则x0=0或x0=，‎ 当x0=0时，由y=0与y=ax2+x-9相切可得a=-，当x0=时，由y=x-‎ 与y=ax2+x-9相切可得a=-1，所以选A.‎ ‎6.(2014·宁波高二检测)函数f(x)=x+xlnx在(1，1)处的切线方程为(　　)‎ A.2x+y-1=0 B.2x-y-1=0‎ C.2x+y+1=0 D.2x-y+1=0‎ ‎【解析】选B.因为f′(x)=1+lnx+1=2+lnx，‎ 所以f′(1)=2，‎ 切线方程为y-1=2(x-1)，即2x-y-1=0.‎ 二、填空题(每小题4分，共12分)‎ ‎7.(2013·江西高考)设函数f(x)在(0，+∞)内可导，且f(ex)=x+ex，则f′(1)=________.‎ ‎【解题指南】先求出函数f(x)的解析式，进而可求f′(1).‎ ‎【解析】设t=ex，则x=lnt，故f(t)=lnt+t，f′(t)=+1，所以f′(1)=1+1=2.‎ 答案：2‎ ‎8.(2014·江西高考)若曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是　　　　.‎ ‎【解题指南】切线问题利用导数的几何意义求解.‎ ‎【解析】设切点为(x0,y0),因为y′=lnx+1,‎ 所以切线的斜率为k=lnx0+1,‎ 又k=2得x0=e,代入曲线得y0=e.故点P的坐标是(e,e).‎ 答案:(e,e)‎ ‎9.(2014·广州高二检测)若函数为y=sin4x-cos4x，则y′=__________.‎ ‎【解析】y′=4sin3xcosx-4cos3x(-sinx)‎ ‎=4sinxcosx(sin2x+cos2x)=2sin2x.‎ 答案：2sin2x ‎【一题多解】y=sin4x-cos4x ‎=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)‎ ‎=sin2x-cos2x=-cos2x y′=(-cos2x)′=-(-sin2x)(2x)′=2sin2x.‎ ‎【变式训练】函数y=的导数为________.‎ ‎【解析】方法一：y′=‎ ‎==.‎ 方法二：y==2-，‎ y′=-=.‎ 答案：y′=‎ 三、解答题(每小题10分，共20分)‎ ‎10.求下列函数的导数 ‎(1)y=x-2+x2.‎ ‎(2)y=3xex-2x+e.‎ ‎(3)y=.‎ ‎【解析】(1)y′=(x2)′+(x-2)′=2x-2x-3.‎ ‎(2)y′=(3xex)′-(2x)′+(e)′‎ ‎=(3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′‎ ‎=3xln3·ex+3xex-2xln2‎ ‎=(ln3+1)·(3e)x-2xln2.‎ ‎(3)y′=‎ ‎=‎ ‎=.‎ ‎11.已知曲线y=x3+.‎ ‎(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程.‎ ‎(2)求过点P(2，4)的曲线的切线方程.‎ ‎【解题指南】(1)y′即为切线的斜率.利用点斜式求出切线方程.(2)设出切点，求导后表示出切线斜率，写出用切点坐标表示的切线方程，又切点在曲线上，列出方程组可求得切点，从而求出切线方程.‎ ‎【解析】(1)因为y′=x2，所以在点P(2，4)处的切线的斜率k=4，所以曲线在点P(2，4)处的切线方程为y-4=4(x-2)，即4x-y-4=0.‎ ‎(2)设曲线y=x3+与过点P(2，4)的切线相切于点A，‎ 则切线的斜率k=，‎ 所以切线方程为y-=(x-x0)，‎ 即y=x-+.‎ 因为点P(2，4)在切线上，‎ 所以4=2-+，‎ 即-3+4=0，‎ 所以+-4+4=0，‎ 所以(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0，‎ 所以(x0+1)(x0-2)2=0，‎ 所以x0=-1或x0=2，‎ 所以所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.‎ 一、选择题(每小题4分，共16分)‎ ‎1.(2014·济南高二检测)函数y=(2+x3)2的导数为(　　)‎ A.6x5+12x2 B.4+2x3‎ C.2(2+x3)2 D.2(2+x3)·3x ‎【解析】选A.因为y=(2+x3)2=4+4x3+x6，‎ 所以y′=6x5+12x2.‎ ‎2.二次函数y=f(x)的图象过原点，且它的导函数y=f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y=f(x)的图象的顶点在(　　)‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎【解题指南】设出二次函数关系式，求导得出导函数关系式，利用图象是过第一、二、三象限的一条直线，确定其系数的符号，从而确定顶点坐标的符号.‎ ‎【解析】选C.由题意可设f(x)=ax2+bx，f′(x)=2ax+b，‎ 由于f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，‎ 故‎2a>0，b>0，所以-<0，‎ 则f(x)=a-，‎ 顶点在第三象限，故选C.‎ ‎【举一反三】将题目中条件“y=f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线”改为“y=f′(x)的图象是过第二、三、四象限的一条直线”结果应该如何?‎ ‎【解析】因为y=f′(x)的图象是过第二、三、四象限的一条直线，‎ 所以‎2a<0，b<0，-<0，->0，‎ 所以顶点在第二象限.‎ ‎3.(2014·长沙高二检测)函数y=sin2x-cos2x的导数是(　　)‎ A.2cos B.cos2x-sin2x C.sin2x+cos2x D.2cos ‎【解析】选A.y′=(sin2x-cos2x)′‎ ‎=(sin2x)′-(cos2x)′‎ ‎=2cos2x+2sin2x ‎=2cos.‎ ‎4.设函数f(x)=xm+ax的导数为f′(x)=2x+1，则数列(n∈N*)的前n项和是 ‎(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选A.因为f(x)=xm+ax的导数为f′(x)=mxm-1+a，‎ 又f′(x)=2x+1，‎ 所以m=2，a=1，‎ 所以f(x)=x2+x，‎ 即f(n)=n2+n=n(n+1)，‎ 所以数列(n∈N*)的前n项和为：‎ Sn=+++…+‎ ‎=++…+‎ ‎=1-=.‎ 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎5.(2014·广东高考)曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为　　　　　　.‎ ‎【解析】因为y′=-5e-5x,‎ y′=-5,‎ 即在点(0,3)处的切线斜率为-5,‎ 所以切线方程为y-3=-5(x-0),即5x+y-3=0.‎ 答案:5x+y-3=0‎ ‎6.设函数f(x)=cos(x+φ)(0<φ<π)，若f(x)+f′(x)是奇函数，则φ=________.‎ ‎【解题指南】先求出f′(x)，根据f(x)+f′(x)是奇函数，利用奇函数的性质f(0)+f′(0)=0可求出φ值.‎ ‎【解析】f′(x)=-sin(x+φ)，‎ f(x)+f′(x)=cos(x+φ)-sin(x+φ)‎ ‎=2sin.‎ 若f(x)+f′(x)为奇函数，则f(0)+f′(0)=0，‎ 即0=2sin，‎ 所以φ+=kπ(k∈Z).‎ 又因为φ∈(0，π)，所以φ=.‎ 答案：‎ 三、解答题(每小题12分，共24分)‎ ‎7.求下列各函数的导数(其中a，n为常数)‎ ‎(1)y=(1+x2)5.‎ ‎(2)y=(2+3x2).‎ ‎(3)y=ln.‎ ‎【解析】(1)y′=5(1+x2)4(1+x2)′=5(1+x2)4(2x)=10x(1+x2)4.‎ ‎(2)y′=6x+(2+3x2)‎ ‎=6x+(2+3x2)‎ ‎=‎ ‎=.‎ ‎(3)y=ln(1+)-ln(1-)，‎ y′=(1+)′-(1-)′‎ ‎=·+·=.‎ ‎【拓展延伸】较复杂函数的求导方法 ‎(1)先化简变形使函数式成最简形式.‎ ‎(2)对化简后的函数进行判断，看该函数是否为复合函数，不是复合函数的直接利用基本函数求导公式求导或利用导数的四则运算法则求导.‎ ‎(3)若该函数是复合函数，则需要对函数进行分层，明确构成复合函数的基本函数，然后利用复合函数的求导公式进行求导.‎ ‎8.(2014·郑州高二检测)已知函数f(x)=，且f(x)的图象在x=1处与直线y=2相切.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式.‎ ‎(2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象相切于P点，求直线l的斜率k的取值范围.‎ ‎【解析】(1)对函数f(x)求导，得f′(x)==.‎ 因为f(x)的图象在x=1处与直线y=2相切.‎ 所以即所以a=4，b=1，‎ 所以f(x)=.‎ ‎(2)因为f′(x)=，所以直线l的斜率k=f′(x0)==4，令t=，t∈(0，1]，则k=4(2t2-t)=8-，所以k∈.‎ 关闭Word文档返回原板块