2018届二轮复习 立体几何 学案（全国通用） 8页

专题04 立体几何 ‎1．（2017全国1文）如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且．‎ ‎（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；‎ ‎（2）若PA=PD=AB=DC，，且四棱锥P−ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．‎ ‎（2）在平面内作，垂足为．‎ 由（1）知，平面，故，可得平面．‎ 设，则由已知可得，．‎ 故四棱锥的体积．‎ 由题设得，故．‎ 从而，，．‎ 可得四棱锥的侧面积为．‎ ‎【名师点睛】证明面面垂直，先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直；计算点面距离时，如直接求不方便，应首先想到转化，如平行转化、对称转化、比例转化等，找到方便求值时再计算，可以减少运算量，提高准确度，求点面距离有时能直接作出就直接求出，不方便直接求出的看成三棱锥的高，利用等体积法求出．‎ ‎2．（2017全国3文）如图，四面体ABCD中，是正三角形，AD=CD．‎ ‎（1）证明：AC⊥BD；‎ ‎（2）已知是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．‎ ‎（2）连接EO.‎ 由（1）及题设知∠ADC=90°，所以DO=AO.‎ 在中，.‎ 又AB=BD，所以 ‎，故∠DOB=90°.‎ 由题设知为直角三角形，所以.‎ 又是正三角形，且AB=BD，所以.‎ 故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1:1.‎ ‎【考点】线面垂直的判定及性质定理，锥体的体积 ‎【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：‎ ‎（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.‎ ‎（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.‎ ‎（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎ ‎3．如图，在三棱锥中，平面，.‎ ‎（1）求三棱锥的体积；‎ ‎（2）求证：在线段上存在点，使得，并求的值.‎ ‎（2）过点作交于点，过点作交于点，连接，如图所示.因为面，所以面.‎ 又面，得.‎ 又，所以面.‎ 又面，所以.‎ 此时点即为所找点，在中，由题意可得，所以.‎ 由，可得，所以，所以.‎ ‎ ‎ ‎4．如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∠ACB＝90°，E是棱CC1的中点，F是AB的中点，AC＝BC＝1，AA1＝2.‎ ‎(1)求证：CF∥平面AB1E；‎ ‎(2)点C到平面AB1E上的距离．‎ ‎∵E为侧棱CC1的中点，∴FG∥EC，FG＝EC，‎ ‎∴四边形FGEC是平行四边形，∴CF∥EG，‎ ‎∵CF⊄平面AB1E，EG⊂平面AB1E，‎ ‎∴CF∥平面AB1E.‎ ‎(2)∵三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，AA1∥BB1，∴BB1⊥平面ABC.‎ 又AC⊂平面ABC，∴AC⊥BB1，‎ ‎∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，‎ ‎∵BB1∩BC＝B，BC⊂平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B1，‎ ‎∴AC⊥平面EB1C，∴AC⊥CB1，‎ ‎∴VA－EB1C＝S△EB1C·AC＝×(×1×1)×1＝.‎ ‎∵AE＝EB1＝，AB1＝，∴S△AB1E＝，‎ ‎∵VC－AB1E＝VA－EB1C，‎ ‎∴点C到平面AB1E上的距离为＝.‎ ‎5．如图(1)，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点，AE⊥BD于E(不同于点D)，延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1－BCD，如图(2)所示．‎ ‎(1)若M是FC的中点，求证：直线DM∥平面A1EF；‎ ‎(2)求证：BD⊥A1F；‎ ‎(3)若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由．‎ ‎ ‎ ‎(3)直线A1B与直线CD不能垂直．‎ 因为平面A1BD⊥平面BCD，平面A1BD∩平面BCD＝BD，EF⊥BD，EF⊂平面BCD，‎ 所以EF⊥平面A1BD.‎ 因为A1B⊂平面A1BD，‎ 所以A1B⊥EF，‎ 又因为EF∥DM，‎ 所以A1B⊥DM.‎ 假设A1B⊥CD，‎ 因为A1B⊥DM，CD∩DM＝D，‎ 所以A1B⊥平面BCD，‎ 所以A1B⊥BD，这与∠A1BD为锐角矛盾，‎ 所以直线A1B与直线CD不能垂直．学科/网 ‎6．如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，垂直于圆所在的平面，且．‎ ‎（1）若为线段的中点，求证：平面；‎ ‎（2）求三棱锥体积的最大值；‎ ‎（3）若，点在线段上，求的最小值．‎ ‎ ‎ 又因为三棱锥的高，故三棱锥体积的最大值为．‎ ‎（3）解法一：在中，，，所以．同理，所以． ‎ 在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，‎ 如图所示．‎ 当共线时，取得最小值．‎ 又因为，，所以垂直平分，即为中点．‎ 从而，即的最小值为．‎ 解法二：由解法一可知，，，‎ 所以当为的中点时，与同时取得最小值.‎ 故.[来源: ]‎ 所以的最小值为. ‎