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  • 2021-06-10 发布

2020届高三数学(文)“大题精练”3

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‎2020届高三数学(文)“大题精练”3‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 记首项为1的数列的前项和为,且 .‎ ‎(1)求证:数列是等比数列;‎ ‎(2)若,求数列的前项和.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 如图,已知矩形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,E、F分别是AB、PC的中点.‎ ‎(1)求证:EF∥平面PAD;‎ ‎(2)求证:EF⊥CD;‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 环保部门要对所有的新车模型进行广泛测试,以确定它的行车里程的等级,右表是对 100 辆新车模型在一个耗油单位内行车里程(单位:公里)的测试结果.‎ ‎(Ⅰ)做出上述测试结果的频率分布直方图,并指出其中位数落在哪一组; ‎ ‎(Ⅱ)用分层抽样的方法从行车里程在区间[38,40)与[40,42)的新车模型中任取5辆,并从这5辆中随机抽取2辆,求其中恰有一个新车模型行车里程在[40,42)内的概率.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 记抛物线的焦点为,点在抛物线上,,斜率为的直线与抛物线交于两点.‎ ‎(1)求的最小值;‎ ‎(2)若,直线的斜率都存在,且;探究:直线是否过定点,若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知函数.‎ ‎(1)讨论极值点的个数; ‎ ‎(2)若是的一个极值点,且,证明: .‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4:坐标系与参数方程(本小题满分10分)‎ 在平面直角坐标系中,直线的普通方程是,曲线的参数方程是(为参数).在以为极点,轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线的极坐标方程是.‎ ‎(1)写出及的极坐标方程;‎ ‎(2)已知,,与交于两点,与交于两点,求的最大值.‎ ‎23.选修4-5:不等式选讲(本小题满分10分)‎ 已知函数 .‎ ‎(Ⅰ)解关于的不等式 ; ‎ ‎(Ⅱ)若函数的最大值为,设,且,求的最小值.‎ ‎2020届高三数学(文)“大题精练”3(答案解析)‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 记首项为1的数列的前项和为,且 .‎ ‎(1)求证:数列是等比数列;‎ ‎(2)若,求数列的前项和.‎ ‎【解析】(1)依题意,,,‎ 两式相减可得,,故,‎ 而,故,故数列是以1为首项,3为公比的等比数列.‎ ‎(2)由(1)可 所以,‎ 故,‎ 记数列的前项和为,则.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 如图,已知矩形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,E、F分别是AB、PC的中点.‎ ‎(1)求证:EF∥平面PAD;‎ ‎(2)求证:EF⊥CD;‎ ‎【解析】(1)证明:(1)取的中点,连结,,则,‎ 又,,四边形为平行四边形,则∥,‎ 又,EF∥平面PAD.‎ ‎(2)又由矩形知,,由(1)问证明知∥.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 环保部门要对所有的新车模型进行广泛测试,以确定它的行车里程的等级,右表是对 100 辆新车模型在一个耗油单位内行车里程(单位:公里)的测试结果.‎ ‎(Ⅰ)做出上述测试结果的频率分布直方图,并指出其中位数落在哪一组; ‎ ‎(Ⅱ)用分层抽样的方法从行车里程在区间[38,40)与[40,42)的新车模型中任取5辆,并从这5辆中随机抽取2辆,求其中恰有一个新车模型行车里程在[40,42)内的概率.‎ ‎【解析】(Ⅰ)由题意可画出频率分布直方图如图所示:‎ 前组频率总和为,第组频率为,且,则由图可知,中位数在区间.‎ ‎(Ⅱ)由题意,设从中选取的车辆为,从中选取的车辆为,则从这5辆车中抽取2辆的所有情况有10种,分别为,其中符合条件的有6种,,所以所求事件的概率为.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 记抛物线的焦点为,点在抛物线上,,斜率为的直线与抛物线交于两点.‎ ‎(1)求的最小值;‎ ‎(2)若,直线的斜率都存在,且;探究:直线是否过定点,若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.‎ ‎【解析】(1)设抛物线的准线为,过点作,垂足为,过点作,垂足为,如图:‎ 则,即的最小值为.‎ ‎(2)设直线的方程为,,将直线与抛物线的方程联立得,, ①‎ 又,‎ 即,‎ ‎,‎ 将①代入得,,即,得或,‎ 当时,直线为,此时直线恒过; ‎ 当时,直线为,此时直线恒过(舍去).‎ 综上所述,直线l过定点.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知函数.‎ ‎(1)讨论极值点的个数; ‎ ‎(2)若是的一个极值点,且,证明: .‎ ‎【解析】(1).‎ ‎①当时,,当时,;当时,,‎ 在上单调递减;在上单调递增,‎ 为的唯一极小值点,无极大值点,即此时极值点个数为:个;‎ ‎②当时,令,解得:,,‎ ‎⑴当时,,和时,;时,,‎ 在,上单调递增;在上单调递减,‎ 为的极大值点,为的极小值点,即极值点个数为:个;‎ ‎⑵当时,,此时恒成立且不恒为,‎ 在上单调递增,无极值点,即极值点个数为:个;‎ ‎⑶当时,,和时,;时,,‎ 在,上单调递增;在上单调递减,‎ 为的极大值点,为的极小值点,即极值点个数为:个.‎ 综上所述:当时,无极值点;当时,有个极值点;当或时,有个极值点.‎ ‎(2)由(1)知,若是的一个极值点,则,‎ 又,即,,‎ ‎,,‎ ‎,‎ 令,则,,,‎ 则,‎ 当时,,,当时,;当时,‎ ‎,‎ 在上单调递增;在上单调递减,,即,.‎ ‎22.选修4-4:坐标系与参数方程(本小题满分10分)‎ 在平面直角坐标系中,直线的普通方程是,曲线的参数方程是(为参数).在以为极点,轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线的极坐标方程是.‎ ‎(1)写出及的极坐标方程;‎ ‎(2)已知,,与交于两点,与交于两点,求的最大值.‎ ‎【解析】(1)把,代入得,‎ 所以的极坐标方程是,‎ 的普通方程是,其极坐标方程是.‎ ‎(2):,:,分别代入,得,.‎ 所以.‎ 因为,所以,则当时,,此时 取得最大值为,所以的最大值为.‎ ‎23.选修4-5:不等式选讲(本小题满分10分)‎ 已知函数 .‎ ‎(Ⅰ)解关于的不等式 ; ‎ ‎(Ⅱ)若函数的最大值为,设,且,求的最小值.‎ ‎【解析】(Ⅰ)由题意,‎ 当时,,可得,即;‎ 当时,,可得,即;‎ 当时,,可得,即.‎ 综上,不等式的解集为.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可得函数的最大值,且,‎ 即,当且仅当时“=”成立,‎ 可得,即,因此的最小值为2.‎

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