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- 2021-06-10 发布
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2020届高三数学(文)“大题精练”3
17.(本小题满分12分)
记首项为1的数列的前项和为,且 .
(1)求证:数列是等比数列;
(2)若,求数列的前项和.
18.(本小题满分12分)
如图,已知矩形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,E、F分别是AB、PC的中点.
(1)求证:EF∥平面PAD;
(2)求证:EF⊥CD;
19.(本小题满分12分)
环保部门要对所有的新车模型进行广泛测试,以确定它的行车里程的等级,右表是对 100 辆新车模型在一个耗油单位内行车里程(单位:公里)的测试结果.
(Ⅰ)做出上述测试结果的频率分布直方图,并指出其中位数落在哪一组;
(Ⅱ)用分层抽样的方法从行车里程在区间[38,40)与[40,42)的新车模型中任取5辆,并从这5辆中随机抽取2辆,求其中恰有一个新车模型行车里程在[40,42)内的概率.
20.(本小题满分12分)
记抛物线的焦点为,点在抛物线上,,斜率为的直线与抛物线交于两点.
(1)求的最小值;
(2)若,直线的斜率都存在,且;探究:直线是否过定点,若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.
21.(本小题满分12分)
已知函数.
(1)讨论极值点的个数;
(2)若是的一个极值点,且,证明: .
请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:坐标系与参数方程(本小题满分10分)
在平面直角坐标系中,直线的普通方程是,曲线的参数方程是(为参数).在以为极点,轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线的极坐标方程是.
(1)写出及的极坐标方程;
(2)已知,,与交于两点,与交于两点,求的最大值.
23.选修4-5:不等式选讲(本小题满分10分)
已知函数 .
(Ⅰ)解关于的不等式 ;
(Ⅱ)若函数的最大值为,设,且,求的最小值.
2020届高三数学(文)“大题精练”3(答案解析)
17.(本小题满分12分)
记首项为1的数列的前项和为,且 .
(1)求证:数列是等比数列;
(2)若,求数列的前项和.
【解析】(1)依题意,,,
两式相减可得,,故,
而,故,故数列是以1为首项,3为公比的等比数列.
(2)由(1)可
所以,
故,
记数列的前项和为,则.
18.(本小题满分12分)
如图,已知矩形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,E、F分别是AB、PC的中点.
(1)求证:EF∥平面PAD;
(2)求证:EF⊥CD;
【解析】(1)证明:(1)取的中点,连结,,则,
又,,四边形为平行四边形,则∥,
又,EF∥平面PAD.
(2)又由矩形知,,由(1)问证明知∥.
19.(本小题满分12分)
环保部门要对所有的新车模型进行广泛测试,以确定它的行车里程的等级,右表是对 100 辆新车模型在一个耗油单位内行车里程(单位:公里)的测试结果.
(Ⅰ)做出上述测试结果的频率分布直方图,并指出其中位数落在哪一组;
(Ⅱ)用分层抽样的方法从行车里程在区间[38,40)与[40,42)的新车模型中任取5辆,并从这5辆中随机抽取2辆,求其中恰有一个新车模型行车里程在[40,42)内的概率.
【解析】(Ⅰ)由题意可画出频率分布直方图如图所示:
前组频率总和为,第组频率为,且,则由图可知,中位数在区间.
(Ⅱ)由题意,设从中选取的车辆为,从中选取的车辆为,则从这5辆车中抽取2辆的所有情况有10种,分别为,其中符合条件的有6种,,所以所求事件的概率为.
20.(本小题满分12分)
记抛物线的焦点为,点在抛物线上,,斜率为的直线与抛物线交于两点.
(1)求的最小值;
(2)若,直线的斜率都存在,且;探究:直线是否过定点,若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.
【解析】(1)设抛物线的准线为,过点作,垂足为,过点作,垂足为,如图:
则,即的最小值为.
(2)设直线的方程为,,将直线与抛物线的方程联立得,, ①
又,
即,
,
将①代入得,,即,得或,
当时,直线为,此时直线恒过;
当时,直线为,此时直线恒过(舍去).
综上所述,直线l过定点.
21.(本小题满分12分)
已知函数.
(1)讨论极值点的个数;
(2)若是的一个极值点,且,证明: .
【解析】(1).
①当时,,当时,;当时,,
在上单调递减;在上单调递增,
为的唯一极小值点,无极大值点,即此时极值点个数为:个;
②当时,令,解得:,,
⑴当时,,和时,;时,,
在,上单调递增;在上单调递减,
为的极大值点,为的极小值点,即极值点个数为:个;
⑵当时,,此时恒成立且不恒为,
在上单调递增,无极值点,即极值点个数为:个;
⑶当时,,和时,;时,,
在,上单调递增;在上单调递减,
为的极大值点,为的极小值点,即极值点个数为:个.
综上所述:当时,无极值点;当时,有个极值点;当或时,有个极值点.
(2)由(1)知,若是的一个极值点,则,
又,即,,
,,
,
令,则,,,
则,
当时,,,当时,;当时,
,
在上单调递增;在上单调递减,,即,.
22.选修4-4:坐标系与参数方程(本小题满分10分)
在平面直角坐标系中,直线的普通方程是,曲线的参数方程是(为参数).在以为极点,轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线的极坐标方程是.
(1)写出及的极坐标方程;
(2)已知,,与交于两点,与交于两点,求的最大值.
【解析】(1)把,代入得,
所以的极坐标方程是,
的普通方程是,其极坐标方程是.
(2):,:,分别代入,得,.
所以.
因为,所以,则当时,,此时
取得最大值为,所以的最大值为.
23.选修4-5:不等式选讲(本小题满分10分)
已知函数 .
(Ⅰ)解关于的不等式 ;
(Ⅱ)若函数的最大值为,设,且,求的最小值.
【解析】(Ⅰ)由题意,
当时,,可得,即;
当时,,可得,即;
当时,,可得,即.
综上,不等式的解集为.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得函数的最大值,且,
即,当且仅当时“=”成立,
可得,即,因此的最小值为2.