【推荐】专题8-2 空间几何体的表面积和体积-2018年高三数学（理）一轮总复习名师伴学 19页

真题回放 ‎1.【2017课标3，理8】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎ ‎ ‎【考点】 圆柱的体积公式 ‎【名师点睛】(1)求解以空间几何体的体积的关键是确定几何体的元素以及线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解.‎ ‎2. 【2017天津，理10】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】设正方体边长为 ，则 ，‎ 外接球直径为.‎ ‎【考点】 球 ‎【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心，本题就是第三种方法. ‎ ‎3. 【2017课标II，理4】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）‎ A． ‎ B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【考点】 三视图；组合体的体积 ‎【名师点睛】在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线。在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑。求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解。‎ 考点分析 考点 了解A 掌握B 灵活运用C 柱、锥、台、球的表面积和体积　‎ A 高考对这部分的考查主要集中在以下几个方面：1、常以三视图为载体，考查组合体的表面积，也可能根据几何体特征直接考查旋转体的表面积，以小题考查居多。2、常以三视图为载体，考查组合体的体积，也可能根据几何体的特征直接考查旋转体的体积，单独考察以小题居多，也可在解答题中某一问中综合考察。3、考察求体积中，其中转化底面与高最为常见，另外求面积时把多边形分割或补形求解等，但考查较少。‎ 知识链接 ‎1．多面体的表面积、侧面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．‎ ‎2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l ‎3.柱、锥、台和球的表面积和体积 ‎　　名称 几何体　　‎ 表面积 体积 柱体 ‎(棱柱和圆柱)‎ S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体 ‎(棱锥和圆锥)‎ S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体 ‎(棱台和圆台)‎ S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2‎ V＝πR3‎ 融会贯通 题型一　求空间几何体的表面积 例1　(1)(2017·淮北月考)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为(　　)‎ A．21＋ B．18＋ C．21 D．18‎ ‎(2)一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．‎ ‎【答案】　(1)A　(2)12‎ 解题技巧与方法总结 空间几何体表面积的求法 ‎(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．‎ ‎(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．‎ ‎(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．‎ ‎【变式训练】(2016·大连模拟)如图所示的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为________．‎ ‎【答案】　26‎ 题型二　求空间几何体的体积 命题点1　求以三视图为背景的几何体的体积 例2　(2016·山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)‎ A.＋π B.＋π C.＋π D．1＋π ‎【答案】　C ‎【解析】　由三视图知，半球的半径R＝，四棱锥为正四棱锥，它的底面边长为1，高为1，∴V＝×1×1×1＋×π×3＝＋π，故选C.‎ 命题点2　求简单几何体的体积 例3　(2015·江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．‎ ‎【答案】　 ‎【解析】　设新的底面半径为r，由题意得πr2·4＋πr2·8＝π×52×4＋π×22×8，解得r＝.‎ 解题技巧与方法总结 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 ‎(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．‎ ‎(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．‎ ‎(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．‎ ‎【变式训练】(1)(2016·四川)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．‎ ‎(2)如图，在多面体ABCDEF中，‎ ‎ ‎ 已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　(1)　(2)A ‎ (2)如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，‎ CH，容易求得EG＝HF＝，AG ‎＝GD＝BH＝HC＝，‎ ‎∴S△AGD＝S△BHC＝××1＝，‎ ‎∴V＝VE－ADG＋VF－BCH＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC＝×××2＋×1＝.故选A.‎ 题型三　与球有关的切、接问题 例4　已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　)‎ A. B．2 C. D．3 ‎【答案】　C 引申探究 ‎1．已知棱长为4的正方体，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】　由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径．设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.‎ 又正方体的棱长为4，故其体对角线长为4，‎ 从而V外接球＝πR3＝π×(2)3＝32π，‎ V内切球＝πr3＝π×23＝.‎ ‎2．已知棱长为a的正四面体，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】　正四面体的表面积为S1＝4··a2＝a2，其内切球半径r为正四面体高的，即r＝·a＝a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝，则＝＝.‎ ‎3．已知侧棱和底面边长都是3的正四棱锥，则其外接球的半径是多少？‎ ‎【答案】‎ 解题技巧与方法总结 空间几何体与球接、切问题的求解方法 ‎(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．‎ ‎(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．‎ ‎【变式训练】(2016·全国丙卷)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是(　　)‎ A．4π B. C．6π D. ‎【答案】　B ‎【解析】　由题意知，底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V的最大值为.‎ 练习检测 ‎1．（河南省郑州一中下期17届高三百校联盟）在三棱锥中， ， ， ，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】三棱锥A-BCD的三条侧棱两两相等，所以把它扩展为长方体， 它也外接于球，且此长方体的面对角线的长分别为：1， ， 体对角线的长为球的直径 ∴它的外接球半径是  外接球的表面积是 故选D.‎ 点睛：本题考查球的体积和，球内接多面体及其度量，考查空间想象能力，计算能力，是基础题，解答的关键是构造球的内接长方体，利用体对角线的长为球的直径解决问题．‎ ‎2．（河南省郑州一中下期17届高三百校联盟）如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）‎ A. 6 B. 8 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎ ‎ ‎3．（2017届黑龙江省哈尔滨市第九中学高三二模）已知过球面上三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且，则球面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵ D是正△ABC的中心，∴ AD是△ABC的外接圆半径.‎ ‎∵ AD＝ ，‎ 又OD＝ ＝OA，OA  ＝OD  ＋AD  ，∴ R  ＝ ，‎ ‎∴ R  ＝   ，∴ 球的表面积S＝4πR  ＝.‎ 故选C ‎4．（西藏自治区拉萨中学2017届高三第八次月考）如图,三棱锥中,,,且,则三棱锥的外接球表面积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ 5．（重庆市第一中学2017届高三下学期第二次月考）已知正三棱锥的侧棱长为，若二面角的余弦值为，则三棱锥的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 如图，设正底面三角形的边长为，则，故，又，故，即，所以三棱锥的体积，应选答案A。‎ 点睛：解答本题的关键是借助题设中的二面角的余弦值，运用定义找出二面角的平面角，然后运用直角三角形中三角函数的定义求出，建立方程，进而确定，即，最后运用三棱锥的体积公式求三棱锥的体积而获解。‎ ‎6．（吉林省实验中学2017届高三下学期第八次模拟）已知三棱锥外接球的直径，且，则三棱锥的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 如图，由题设可知是边长为3等边三角形，设球心为，点在面内的射影是，则是的中心，则，故，则点到平面的距离是，而，则棱锥的体积为，应选答案D。 ‎ ‎7．（湖南省长沙市长郡中学2018届高三实验班选拔考试）已知三棱锥的每个顶点都在球的表面上， 底面，且二面角的正切值为4，则球的表面积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设中点为，可得，则是“二面角” 的平面角，由于“二面角” 的正切值为， ，由余弦定理知， ，由正弦定理知， 外接圆直径，设外接球半径为，则， ‎ 球的表面积为，故选D.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.‎ ‎8．（山西省三区八校2017届高三第二次模拟）在矩形中，，现将沿对角线折起，使点到达点的位置，得到三棱锥，则三棱锥的外接球的表面积是（ ）‎ A. B. C. D. 与点的位置有关 ‎【答案】C 点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法 ‎(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．‎ ‎(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．‎ ‎9．（2017届山西省高三3月高考考前适应性测试）如图，在中， ， ，点为的中点，将沿折起到的位置，使，连接，得到三棱锥，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面，则该球的表面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 点睛：设几何体底面外接圆半径为,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为则其体对角线长为;长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心 ‎10．（2017年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三第三次模拟）三棱锥中，底面满足， ， 在面的射影为的中点，且该三棱锥的体积为，当其外接球的表面积最小时， 到面的距离为 A. 2 B. 3 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设AC的中点为D，连结PD，很明显球心在PD上，设球心为O，PD=h，AB=x，则： ，‎ 在Rt△OAD中： ，设 ,则： ，‎ ‎ ‎