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- 2021-06-10 发布
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课时分层训练(十四) 导数与函数的单调性
(对应学生用书第227页)
A组 基础达标
一、选择题
1.函数f(x)=ex-x的单调递增区间是( )
A.(-∞,1] B.[1,+∞)
C.(-∞,0] D.[0,+∞)
D [∵f(x)=ex-x,∴f′(x)=ex-1,令f′(x)≥0,得ex-1≥0,即x≥0,故f(x)的单调递增区间是[0,+∞).]
2.已知函数f(x)=x3+ax+4,则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
A [f′(x)=x2+a,当a≥0时,f′(x)≥0恒成立,故“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件.]
3.若幂函数f(x)的图像过点,则函数g(x)=exf(x)的单调递减区间为( )
【导学号:79140078】
A.(-∞,0) B.(-∞,-2)
C.(-2,-1) D.(-2,0)
D [设幂函数f(x)=xα,因为图像过点,所以=,α=2,所以f(x
)=x2,故g(x)=exx2,令g′(x)=exx2+2exx=ex(x2+2x)<0,得-2<x<0,故函数g(x)的单调递减区间为(-2,0).]
4.已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一,且其导函数y=f′(x)的图像如图2112所示,则该函数的图像是( )
图2112
B [由y=f′(x)的图像知,y=f(x)在[-1,1]上为增函数,且在区间[-1,0)上增长速度越来越快,而在区间(0,1]上增长速度越来越慢.]
5.(2017·安徽二模)已知f(x)=,则( )
A.f(2)>f(e)>f(3) B.f(3)>f(e)>f(2)
C.f(3)>f(2)>f(e) D.f(e)>f(3)>f(2)
D [f(x)的定义域是(0,+∞),
f′(x)=,令f′(x)=0,得x=e.
所以当x∈(0,e)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(e,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,故x=e时,f(x)max=f(e)=,而f(2)==,f(3)=
=,所以f(e)>f(3)>f(2),故选D.]
二、填空题
6.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间为________.
(2,+∞) [函数f(x)=(x-3)ex的导数为f′(x)=[(x-3)ex]′=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.由函数导数与函数单调性的关系,得当f′(x)>0时,函数f(x)单调递增,此时由不等式f′(x)=(x-2)ex>0,解得x>2.]
7.已知函数f(x)=ax+ln x,则当a<0时,f(x)的单调递增区间是________,单调递减区间是________.
[由已知得f(x)的定义域为(0,+∞);当a<0时,因为f′(x)=a+=,所以当x≥-时,f′(x)≤0,当0<x<-时,f′(x)>0,所以f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.]
8.若函数f(x)=-x3+x2+2ax在上存在单调递增区间,则a的取值范围是________.
【导学号:79140079】
[对f(x)求导,得f′(x)=-x2+x+2a=-2++2a.
当x∈时,f′(x)的最大值为f′=+2a.
令+2a>0,解得a>-,
所以a的取值范围是.]
三、解答题
9.已知函数f(x)=+-ln x-,其中a∈R,且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y=x.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间.
[解] (1)对f(x)求导得f′(x)=--,
由f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y=x,得f′(1)=--a=-2,解得a=.
(2)由(1)知f(x)=+-ln x-,则f′(x)=,令f′(x)=0,解得x=-1或x=5.
因x=-1不在f(x)的定义域(0,+∞)内,故舍去.
当x∈(0,5)时,f′(x)<0,故f(x)在(0,5)内为减函数;当x∈(5,+∞)时,f′(x)>0,故f(x)在(5,+∞)内为增函数.
所以f(x)的单调减区间为(0,5),单调增区间为(5,+∞).
10.(2017·河南新乡第一次调研)已知函数f(x)=ex-x2+2ax.
(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若f(x)在R上单调递增,求实数a的取值范围.
[解] (1)∵f′(x)=ex-2x+2,∴f′(1)=e,
又f(1)=e+1,
∴所求切线方程为y-(e+1)=e(x-1),即ex-y+1=0.
(2)f′(x)=ex-2x+2a,
∵f(x)在R上单调递增,∴f′(x)≥0在R上恒成立,
∴a≥x-在R上恒成立,令g(x)=x-,
则g′(x)=1-,令g′(x)=0,则x=ln 2,
在(-∞,ln 2)上,g′(x)>0;在(ln 2,+∞)上,g′(x)<0,
∴g(x)在(-∞,ln 2)上单调递增,在(ln 2,+∞)上单调递减,
∴g(x)max=g(ln 2)=ln 2-1,∴a≥ln 2-1,
∴实数a的取值范围为[ln 2-1,+∞).
B组 能力提升
11.函数f(x)在定义域R内可导,若f(x)=f(2-x),且当x∈(-∞,1)时,(x-1)f′(x)<0,设a=f(0),b=f,c=f(3),则( )
A.a<b<c B.c<b<a
C.c<a<b D.b<c<a
C [依题意得,当x<1时,f′(x)>0,f(x)为增函数;
又f(3)=f(-1),且-1<0<<1,
因此有f(-1)<f(0)<f,
即有f(3)<f(0)<f,c<a<b.]
12.(2017·安徽江淮十校第三次联考)设函数f(x)=x2-9ln x在区间[a-1,a
+1]上单调递减,则实数a的取值范围是( )
A.1<a≤2 B.a≥4
C.a≤2 D.0<a≤3
A [易知函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=x-,由f′(x)=x-<0,解得0<x<3.因为函数f(x)=x2-9ln x在区间[a-1,a+1]上单调递减,所以解得1<a≤2,选A.]
13.若函数f(x)=2x3-3mx2+6x在区间(2,+∞)上为增函数,则实数m的取值范围为________.
【导学号:79140080】
[∵f′(x)=6x2-6mx+6,
当x∈(2,+∞)时,f′(x)≥0恒成立,
即x2-mx+1≥0恒成立,∴m≤x+恒成立.
令g(x)=x+,g′(x)=1-,
∴当x>2时,g′(x)>0,即g(x)在(2,+∞)上单调递增,
∴m≤2+=.]
14.已知函数f(x)=x2+aln x.
(1)当a=-2时,求函数f(x)的单调递减区间;
(2)若函数g(x)=f(x)+在[1,+∞)上单调,求实数a的取值范围.
[解] (1)由题意知,函数的定义域为(0,+∞),当a=-2时,f′(x)=2x
-=,由f′(x)<0得0<x<1,故f(x)的单调递减区间是(0,1).
(2)由题意得g′(x)=2x+-,函数g(x)在[1,+∞)上是单调函数.
①若g(x)为[1,+∞)上的单调增函数,则g′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,即a≥-2x2在[1,+∞)上恒成立,设φ(x)=-2x2,
∵φ(x)在[1,+∞)上单调递减,
∴φ(x)max=φ(1)=0,∴a≥0.
②若g(x)为[1,+∞)上的单调减函数,则g′(x)≤0在[1,+∞)上恒成立,不可能.
∴实数a的取值范围为[0,+∞).