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  • 2021-06-10 发布

2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练14 导数与函数的单调性

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课时分层训练(十四) 导数与函数的单调性 ‎(对应学生用书第227页)‎ A组 基础达标 一、选择题 ‎1.函数f(x)=ex-x的单调递增区间是(  )‎ A.(-∞,1]      B.[1,+∞)‎ C.(-∞,0] D.[0,+∞)‎ D [∵f(x)=ex-x,∴f′(x)=ex-1,令f′(x)≥0,得ex-1≥0,即x≥0,故f(x)的单调递增区间是[0,+∞).]‎ ‎2.已知函数f(x)=x3+ax+4,则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A [f′(x)=x2+a,当a≥0时,f′(x)≥0恒成立,故“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件.]‎ ‎3.若幂函数f(x)的图像过点,则函数g(x)=exf(x)的单调递减区间为(  ) ‎ ‎【导学号:79140078】‎ A.(-∞,0) B.(-∞,-2)‎ C.(-2,-1) D.(-2,0)‎ D [设幂函数f(x)=xα,因为图像过点,所以=,α=2,所以f(x ‎)=x2,故g(x)=exx2,令g′(x)=exx2+2exx=ex(x2+2x)<0,得-2<x<0,故函数g(x)的单调递减区间为(-2,0).]‎ ‎4.已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一,且其导函数y=f′(x)的图像如图2112所示,则该函数的图像是(  )‎ 图2112‎ B [由y=f′(x)的图像知,y=f(x)在[-1,1]上为增函数,且在区间[-1,0)上增长速度越来越快,而在区间(0,1]上增长速度越来越慢.]‎ ‎5.(2017·安徽二模)已知f(x)=,则(  )‎ A.f(2)>f(e)>f(3) B.f(3)>f(e)>f(2)‎ C.f(3)>f(2)>f(e) D.f(e)>f(3)>f(2)‎ D [f(x)的定义域是(0,+∞),‎ f′(x)=,令f′(x)=0,得x=e.‎ 所以当x∈(0,e)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(e,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,故x=e时,f(x)max=f(e)=,而f(2)==,f(3)= ‎=,所以f(e)>f(3)>f(2),故选D.]‎ 二、填空题 ‎6.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间为________.‎ ‎(2,+∞) [函数f(x)=(x-3)ex的导数为f′(x)=[(x-3)ex]′=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.由函数导数与函数单调性的关系,得当f′(x)>0时,函数f(x)单调递增,此时由不等式f′(x)=(x-2)ex>0,解得x>2.]‎ ‎7.已知函数f(x)=ax+ln x,则当a<0时,f(x)的单调递增区间是________,单调递减区间是________.‎   [由已知得f(x)的定义域为(0,+∞);当a<0时,因为f′(x)=a+=,所以当x≥-时,f′(x)≤0,当0<x<-时,f′(x)>0,所以f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.]‎ ‎8.若函数f(x)=-x3+x2+2ax在上存在单调递增区间,则a的取值范围是________. ‎ ‎【导学号:79140079】‎  [对f(x)求导,得f′(x)=-x2+x+2a=-2++2a.‎ 当x∈时,f′(x)的最大值为f′=+2a.‎ 令+2a>0,解得a>-,‎ 所以a的取值范围是.]‎ 三、解答题 ‎9.已知函数f(x)=+-ln x-,其中a∈R,且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y=x.‎ ‎(1)求a的值;‎ ‎(2)求函数f(x)的单调区间.‎ ‎[解] (1)对f(x)求导得f′(x)=--,‎ 由f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y=x,得f′(1)=--a=-2,解得a=.‎ ‎(2)由(1)知f(x)=+-ln x-,则f′(x)=,令f′(x)=0,解得x=-1或x=5.‎ 因x=-1不在f(x)的定义域(0,+∞)内,故舍去.‎ 当x∈(0,5)时,f′(x)<0,故f(x)在(0,5)内为减函数;当x∈(5,+∞)时,f′(x)>0,故f(x)在(5,+∞)内为增函数.‎ 所以f(x)的单调减区间为(0,5),单调增区间为(5,+∞).‎ ‎10.(2017·河南新乡第一次调研)已知函数f(x)=ex-x2+2ax.‎ ‎(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;‎ ‎(2)若f(x)在R上单调递增,求实数a的取值范围.‎ ‎[解] (1)∵f′(x)=ex-2x+2,∴f′(1)=e,‎ 又f(1)=e+1,‎ ‎∴所求切线方程为y-(e+1)=e(x-1),即ex-y+1=0.‎ ‎(2)f′(x)=ex-2x+2a,‎ ‎∵f(x)在R上单调递增,∴f′(x)≥0在R上恒成立,‎ ‎∴a≥x-在R上恒成立,令g(x)=x-,‎ 则g′(x)=1-,令g′(x)=0,则x=ln 2,‎ 在(-∞,ln 2)上,g′(x)>0;在(ln 2,+∞)上,g′(x)<0,‎ ‎∴g(x)在(-∞,ln 2)上单调递增,在(ln 2,+∞)上单调递减,‎ ‎∴g(x)max=g(ln 2)=ln 2-1,∴a≥ln 2-1,‎ ‎∴实数a的取值范围为[ln 2-1,+∞).‎ B组 能力提升 ‎11.函数f(x)在定义域R内可导,若f(x)=f(2-x),且当x∈(-∞,1)时,(x-1)f′(x)<0,设a=f(0),b=f,c=f(3),则(  )‎ A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<c<a C [依题意得,当x<1时,f′(x)>0,f(x)为增函数;‎ 又f(3)=f(-1),且-1<0<<1,‎ 因此有f(-1)<f(0)<f,‎ 即有f(3)<f(0)<f,c<a<b.]‎ ‎12.(2017·安徽江淮十校第三次联考)设函数f(x)=x2-9ln x在区间[a-1,a ‎+1]上单调递减,则实数a的取值范围是(  )‎ A.1<a≤2 B.a≥4‎ C.a≤2 D.0<a≤3‎ A [易知函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=x-,由f′(x)=x-<0,解得0<x<3.因为函数f(x)=x2-9ln x在区间[a-1,a+1]上单调递减,所以解得1<a≤2,选A.]‎ ‎13.若函数f(x)=2x3-3mx2+6x在区间(2,+∞)上为增函数,则实数m的取值范围为________. ‎ ‎【导学号:79140080】‎  [∵f′(x)=6x2-6mx+6,‎ 当x∈(2,+∞)时,f′(x)≥0恒成立,‎ 即x2-mx+1≥0恒成立,∴m≤x+恒成立.‎ 令g(x)=x+,g′(x)=1-,‎ ‎∴当x>2时,g′(x)>0,即g(x)在(2,+∞)上单调递增,‎ ‎∴m≤2+=.]‎ ‎14.已知函数f(x)=x2+aln x.‎ ‎(1)当a=-2时,求函数f(x)的单调递减区间;‎ ‎(2)若函数g(x)=f(x)+在[1,+∞)上单调,求实数a的取值范围.‎ ‎[解] (1)由题意知,函数的定义域为(0,+∞),当a=-2时,f′(x)=2x ‎-=,由f′(x)<0得0<x<1,故f(x)的单调递减区间是(0,1).‎ ‎(2)由题意得g′(x)=2x+-,函数g(x)在[1,+∞)上是单调函数.‎ ‎①若g(x)为[1,+∞)上的单调增函数,则g′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,即a≥-2x2在[1,+∞)上恒成立,设φ(x)=-2x2,‎ ‎∵φ(x)在[1,+∞)上单调递减,‎ ‎∴φ(x)max=φ(1)=0,∴a≥0.‎ ‎②若g(x)为[1,+∞)上的单调减函数,则g′(x)≤0在[1,+∞)上恒成立,不可能.‎ ‎∴实数a的取值范围为[0,+∞).‎

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