2020届二轮复习　古典概型与几何概型课件（全国通用） 11页

§11.2 古典概型与几何概型 高考理数 考点一　古典概型 1.古典概型的两个特点 (1)有限性:试验中所有可能出现的基本事件只有有限个. (2)等可能性:每个基本事件出现的可能性相等. 2.古典概型的概率公式 (1)在基本事件总数为 n 的古典概型中,每个基本事件发生的概率都是相 等的,即每个基本事件的概率都是   . (2)对于古典概型,任何事件的概率为 P ( A )=①             . 知识清单 考点二　几何概型 1. 几何概型的概念 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 ( 面积或体积 ) 成 比例 , 则称这样的概率模型为几何概率模型 , 简称几何概型 . 2. 几何概型的特点 (1) 无限性 : 在一次试验中 , 基本事件的个数是无限的 . (2) 等可能性 : 每个基本事件发生的可能性是均等的 . 3. 几何概型的计算公式 设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域 Ω , 事件 A 所对应的 区域用 A 表示 ( A ⊆ Ω ), 则 P ( A )=②             . 4.几何概型与古典概型的区别与联系 (1)共同点:基本事件都是③ 　等可能的     . (2)不同点:基本事件的个数一个是无限的,一个是有限的.基本事件可以 抽象为点,对于几何概型,这些点尽管是无限的,但它们所占据的区域却 是有限的,根据等可能性,这个点落在该区域的概率与该区域的度量成 正比,而与该区域的位置和形状无关. 1.事件 A 的概率的计算,关键是分清基本事件个数 n 与事件 A 中所含的结 果数 n A .因此,必须解决好下面三个方面的问题: (1)本试验是否是等可能的; (2)本试验的基本事件有多少个; (3)事件 A 是什么,它包含多少个基本事件. 2.用列举法把古典概型试验的基本事件一一列举出来,然后求出 n 、 n A , 再利用公式 P ( A )=   求出事件的概率,这是一个形象、直观的好方法,但 列举时必须按某一顺序做到不重复、不遗漏.也可用排列、组合求基本 事件数. 3.求复杂事件的概率问题,关键是理解题目的实际含义,必要时将所求事 古典概型及其求解方法 方法 1 方法技巧 件转化为彼此互斥事件的和,或者是先去求对立事件的概率,进而再用 互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求出所求事件的概率. 4.含有“至多”“至少”等类型的概率问题,从正面突破比较困难或者 比较烦琐时,可考虑其反面,即其对立事件,然后应用对立事件的性质 P ( A )=1- P (   )进一步求解. 例1    (2017四川成都实验外国语学校二诊,9)若函数 f ( x )=ln( x 2 +1)的值域 为{0,1,2},从满足条件的所有定义域集合中选出2个集合,则取出的2个 集合中各有三个元素的概率是   (　 A 　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   解题导引 解析　令 ln( x 2 +1)=0, 得 x =0, 令 ln( x 2 +1)=1, 得 x 2 +1=e,∴ x = ±   , 令 ln( x 2 +1)=2, 得 x 2 +1=e 2 ,∴ x = ±   . 则满足值域为 {0,1,2} 的定义域集合有 : {0,-   ,-   },{0,-   ,   },{0,   ,-   },{0,   ,   }, {0,-   ,   ,   },{0,-   ,   ,-   },{0,-   ,-   ,   },{0,   ,-   ,   },{0,-   ,   ,-   ,   }. 则满足这样条件的定义域集合的个数为 9, 从满足条件的所有定义域集合中选出 2 个集合 , 基本事件总数 n =   =36, 取出的 2 个集合中各有三个元素的集合个数为 m =   =6, ∴ 取出的 2 个集合中各有三个元素的概率 P =   =   . 故选 A. 1.判断试验是否为几何概型,要切实理解并掌握几何概型的两个基本特 点:无限性和等可能性. 2.求解几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范 围.当考察对象为点,点的活动范围在线段上时,用线段长度比计算;当考 察的对象在某块区域时,用面积比计算;当考察对象在某个空间时,用体 积比计算. 3.在解决面积型几何概型时,要充分借助线性规划的可行域、定积分等 相关知识进行求解. 几何概型的概率求法 方法 2 例 2    (2016 课标全国 Ⅱ,10,5 分 ) 从区间 [0,1] 随机抽取 2 n 个数 x 1 , x 2 , … , x n , y 1 , y 2 , … , y n , 构成 n 个数对 ( x 1 , y 1 ),( x 2 , y 2 ), … ,( x n , y n ), 其中两数的平方和小于 1 的数 对共有 m 个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为   (　 C 　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   解析　如图 , 数对 ( x i , y i )( i =1,2, … , n ) 表示的点落在边长为 1 的正方形 OABC 内 ( 包括边界 ), 两数的平方和小于 1 的数对表示的点落在半径为 1 的四分之一圆 ( 阴影部分 , 不含边界 ) 内 , 则由几何概型的概率公式可得   =   ⇒ π=   . 故选 C.