【数学】2019届一轮复习人教A版（文）3-2-1第三章导数及应用学案 18页

‎ 3.2 导数的应用 最新考纲 考情考向分析 ‎1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．‎ ‎2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．‎ ‎3.会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化问题).‎ 考查函数的单调性、极值、最值，利用函数的性质求参数范围；与方程、不等式等知识相结合命题，强化函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的应用意识；题型以解答题为主，一般难度较大.‎ ‎ ‎ ‎1．函数的单调性 在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．‎ ‎2．函数的极值 ‎(1)一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：‎ ‎①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；‎ ‎②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．‎ ‎(2)求可导函数极值的步骤 ‎①求f′(x)；‎ ‎②求方程f′(x)＝0的根；‎ ‎③考查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．‎ ‎3．函数的最值 ‎(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．‎ ‎(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．‎ ‎(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：‎ ‎①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；‎ ‎②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．‎ 知识拓展 ‎1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．‎ ‎2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．‎ ‎3．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．‎ 题组一 思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.( × )‎ ‎(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．( √ )‎ ‎(3)函数的极大值不一定比极小值大．( √ )‎ ‎(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．( × )‎ ‎(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( √ )‎ 题组二 教材改编 ‎2．[P98A组T4]如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下面判断正确的是( )‎ A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数 B．在区间(1,3)上f(x)是减函数 C．在区间(4,5)上f(x)是增函数 D．当x＝2时，f(x)取到极小值 答案 C 解析 在(4,5)上f′(x)>0恒成立，‎ ‎∴f(x)是增函数．‎ ‎3．[P94例4]设函数f(x)＝＋lnx，则( )‎ A．x＝为f(x)的极大值点 B．x＝为f(x)的极小值点 C．x＝2为f(x)的极大值点 D．x＝2为f(x)的极小值点 答案 D 解析 f′(x)＝－＋＝(x>0)，‎ 当02时，f′(x)>0，‎ ‎∴x＝2为f(x)的极小值点．‎ ‎4．[P91例2]函数f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为______________．‎ 答案 (0,4)‎ 解析 f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，‎ 由f′(x)<0，得00，得x>2或x<－2；‎ 令f′(x)<0，得－21.‎ ‎∴不等式的解集为(1，＋∞)．‎ ‎8．设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________．‎ 答案 (－∞，－1)‎ 解析 ∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.‎ ‎∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，‎ ‎∴方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，‎ ‎∵当x>0时，－ex<－1，∴a＝－ex<－1.‎ 第1课时 导数与函数的单调性 题型一 不含参数的函数的单调性 ‎1．函数y＝4x2＋的单调增区间为( )‎ A．(0，＋∞) B. C．(－∞，－1) D. 答案 B 解析 由y＝4x2＋，得y′＝8x－，‎ 令y′>0，即8x－>0，解得x>，‎ ‎∴函数y＝4x2＋的单调增区间为.故选B.‎ ‎2．已知函数f(x)＝xlnx，则f(x)( )‎ A．在(0，＋∞)上单调递增 B．在(0，＋∞)上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 答案 D 解析 因为函数f(x)＝xlnx的定义域为(0，＋∞)，‎ 所以f′(x)＝lnx＋1(x>0)，‎ 当f′(x)>0时，解得x>，‎ 即函数的单调递增区间为；‎ 当f′(x)<0时，解得00，‎ 则其在区间(－π，π)上的解集为∪，‎ 即f(x)的单调递增区间为和.‎ 思维升华确定函数单调区间的步骤 ‎(1)确定函数f(x)的定义域．‎ ‎(2)求f′(x)．‎ ‎(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间．‎ ‎(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．‎ 题型二 含参数的函数的单调性 典例讨论函数f(x)＝(a－1)lnx＋ax2＋1的单调性．‎ 解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，‎ f′(x)＝＋2ax＝.‎ ‎①当a≥1时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；‎ ‎②当a≤0时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；‎ ‎③当00，故f(x)在上单调递减，‎ 在上单调递增．‎ 综上所述，当a≥1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；‎ 当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；‎ 当00)．试讨论f(x)的单调性．‎ 解 由题意得f′(x)＝ex[ax2＋(2a－2)x](a>0)，‎ 令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝.‎ ‎①当01时，f(x)的单调递增区间为和(0，＋∞)，单调递减区间为.‎ 题型三 函数单调性的应用问题 命题点1 比较大小或解不等式 典例 (1)(2017·南昌模拟)已知定义在上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且对于任意的x∈，都有f′(x)sinxf B．f>f(1)‎ C.fg，‎ 即>，‎ ‎∴f>f.‎ ‎(2)设f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)＝0，当x>0时，有<0恒成立，则不等式x2f(x)>0的解集是__________________．‎ 答案 (－∞，－2)∪(0,2)‎ 解析 ∵当x>0时，′<0，‎ ‎∴φ(x)＝在(0，＋∞)上为减函数，又φ(2)＝0，‎ ‎∴在(0，＋∞)上，当且仅当00，‎ 此时x2f(x)>0.‎ 又f(x)为奇函数，∴h(x)＝x2f(x)也为奇函数．‎ 故x2f(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)．‎ 命题点2 根据函数单调性求参数 典例 (2018·石家庄质检)已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋2x(a≠0)．‎ ‎(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；‎ ‎(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．‎ 解 (1)h(x)＝lnx－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，‎ 所以h′(x)＝－ax－2，由于h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，‎ 所以当x∈(0，＋∞)时，－ax－2<0有解，‎ 即a>－有解．‎ 设G(x)＝－，所以只要a>G(x)min即可．‎ 而G(x)＝2－1，所以G(x)min＝－1.‎ 所以a>－1.‎ 又因为a≠0，所以a的取值范围为(－1,0)∪(0，＋∞)．‎ ‎(2)因为h(x)在[1,4]上单调递减，‎ 所以当x∈[1,4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，‎ 即a≥－恒成立．‎ 由(1)知G(x)＝－，‎ 所以a≥G(x)max，而G(x)＝2－1，‎ 因为x∈[1,4]，所以∈，‎ 所以G(x)max＝－(此时x＝4)，‎ 所以a≥－，又因为a≠0，‎ 所以a的取值范围是∪(0，＋∞)．‎ 引申探究 ‎1．本例(2)中，若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递增，求a的取值范围．‎ 解 因为h(x)在[1,4]上单调递增，‎ 所以当x∈[1,4]时，h′(x)≥0恒成立，‎ 所以当x∈[1,4]时，a≤－恒成立，‎ 又当x∈[1,4]时，min＝－1(此时x＝1)，‎ 所以a≤－1，即a的取值范围是(－∞，－1]．‎ ‎2．本例(2)中，若h(x)在[1,4]上存在单调递减区间，求a的取值范围．‎ 解 h(x)在[1,4]上存在单调递减区间，‎ 则h′(x)<0在[1,4]上有解，‎ 所以当x∈[1,4]时，a>－有解，‎ 又当x∈[1,4]时，min＝－1，‎ 所以a>－1，又因为a≠0，‎ 所以a的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．‎ 思维升华根据函数单调性求参数的一般思路 ‎(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．‎ ‎(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．‎ ‎(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题．‎ 跟踪训练已知函数f(x)＝x3－ax－1.‎ ‎(1)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围；‎ ‎(2)若函数f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求a的值．‎ 解 (1)因为f(x)在R上是增函数，‎ 所以f′(x)＝3x2－a≥0在R上恒成立，‎ 即a≤3x2对x∈R恒成立．‎ 因为3x2≥0，所以只需a≤0.‎ 又因为当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，当且仅当x＝0时取等号．‎ 所以f(x)＝x3－1在R上是增函数．‎ 所以实数a的取值范围是(－∞，0]．‎ ‎(2)f′(x)＝3x2－a.‎ 当a≤0时，f′(x)≥0，‎ f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，‎ 所以a≤0不合题意．‎ 当a>0时，令3x2－a<0，得－0，得01.[4分]‎ 当a>0时，令g′(x)＝0，得x＝1或x＝，[6分]‎ 若<1，即a>，‎ 由g′(x)>0，得x>1或01，即00，得x>或0时，函数g(x)在上单调递增，‎ 在上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．[12分]‎ ‎1．函数f(x)＝x·ex－ex＋1的递增区间是( )‎ A．(－∞，e) B．(1，e)‎ C．(e，＋∞) D．(e－1，＋∞)‎ 答案 D 解析 由f(x)＝x·ex－ex＋1，‎ 得f′(x)＝(x＋1－e)·ex，‎ 令f′(x)>0，解得x>e－1，‎ 所以函数f(x)的递增区间是(e－1，＋∞)．‎ ‎2．(2018·济南调研)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )‎ A．f(b)>f(c)>f(d)‎ B．f(b)>f(a)>f(e)‎ C．f(c)>f(b)>f(a)‎ D．f(c)>f(e)>f(d)‎ 答案 C 解析 由题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0，‎ 所以函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，‎ 因为af(b)>f(a)，故选C.‎ ‎3．已知m是实数，函数f(x)＝x2(x－m)，若f′(－1)＝－1，则函数f(x)的单调增区间是( )‎ A. B. C.，(0，＋∞)‎ D.∪(0，＋∞)‎ 答案 C 解析 ∵f′(x)＝3x2－2mx，∴f′(－1)＝3＋2m＝－1，解得m＝－2，∴由f′(x)＝3x2＋4x>0，解得x<－或x>0，即f(x)的单调增区间是，(0，＋∞)，故选C.‎ ‎4．已知函数f(x)＝x3＋ax＋4，则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的( )‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 f′(x)＝x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，‎ 故“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件．‎ ‎5．(2018届珠海二中月考)若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是( )‎ A．a≥1 B．a>1‎ C．a≤1 D．0f(b) B．f(a)＝f(b)‎ C．f(a)1‎ 答案 A 解析 f′(x)＝，当x>e时，f′(x)<0，则f(x)在(e，＋∞)上为减函数，所以f(a)>f(b)．‎ ‎7．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1,3)，则b＋c＝________.‎ 答案 －12‎ 解析 f′(x)＝3x2＋2bx＋c，‎ 由题意知，－11}‎ 解析 设F(x)＝f(x)－x，∴F′(x)＝f′(x)－，‎ ‎∵f′(x)<，∴F′(x)＝f′(x)－<0，‎ 即函数F(x)在R上单调递减．‎ ‎∵f(x2)<＋，∴f(x2)－1，即不等式的解集为{x|x<－1或x>1}．‎ ‎9．已知函数f(x)＝－x3＋mx2－x＋2在区间(1,2)上是增函数，则m的取值范围是__________．‎ 答案 解析 f′(x)＝－x2＋2mx－1，‎ 由题意知f′(x)≥0在(1,2)上恒成立，‎ ‎∴m≥在(1,2)上恒成立，‎ 又当x∈(1,2)时，的取值范围是.‎ 故m≥.‎ ‎10．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是____________．‎ 答案 (－∞，－1)∪(0,1)‎ 解析 因为f(x)(x∈R)为奇函数，f(－1)＝0，‎ 所以f(1)＝－f(－1)＝0.‎ 当x≠0时，令g(x)＝，‎ 则g(x)为偶函数，g(1)＝g(－1)＝0.‎ 则当x＞0时，g′(x)＝′‎ ‎＝＜0，‎ 故g(x)在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数．‎ 所以在(0，＋∞)上，当0＜x＜1时，由g(x)＞g(1)＝0，‎ 得＞0，所以f(x)＞0；在(－∞，0)上，当x＜－1时，由g(x)＜g(－1)＝0，得＜0，所以f(x)＞0.‎ 综上知，使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．‎ ‎11．(2018·大理质检)已知函数f(x)＝(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．‎ ‎(1)求实数k的值；‎ ‎(2)求函数f(x)的单调区间．‎ 解 (1)f′(x)＝(x>0)．‎ 又由题知f′(1)＝＝0，所以k＝1.‎ ‎(2)f′(x)＝(x>0)．‎ 设h(x)＝－lnx－1(x＞0)，‎ 则h′(x)＝－－＜0，‎ 所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减．‎ 由h(1)＝0知，当0＜x＜1时，h(x)＞0，所以f′(x)＞0；‎ 当x＞1时，h(x)＜0，所以f′(x)＜0.‎ 综上，f(x)的单调递增区间是(0,1)，‎ 单调递减区间是(1，＋∞)．‎ ‎12．(2017·全国Ⅰ改编)已知函数f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x.试讨论f(x)的单调性．‎ 解 f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，‎ f′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(aex－1)(2ex＋1)．‎ ‎(1)若a≤0，则f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减．‎ ‎(2)若a>0，则由f′(x)＝0，得x＝－lna.‎ 当x∈(－∞，－lna)时，f′(x)<0；‎ 当x∈(－lna，＋∞)时，f′(x)>0.‎ 所以f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，在(－lna，＋∞)上单调递增．‎ ‎13．(2017·承德调研)已知f(x)是可导的函数，且f′(x)e2017f(0)‎ B．f(1)>ef(0)，f(2017)>e2017f(0)‎ C．f(1)>ef(0)，f(2017)0，解得a>－，‎ 所以a的取值范围是.‎ ‎15．已知函数f(x)＝－x2＋4x－3lnx在区间[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．‎ 答案 (0,1)∪(2,3)‎ 解析 由题意知f′(x)＝－x＋4－ ‎＝－，‎ 由f′(x)＝0，得函数f(x)的两个极值点为1和3，‎ 则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，‎ 函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，‎ 由t<10时，当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，‎ 当x∈(0，a)时，f′(x)<0，‎ 当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，‎ ‎∴f(x)的单调增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)，‎ 单调减区间为(0，a)；‎ ‎③当a<0时，当x∈(－∞，a)时，f′(x)>0，‎ 当x∈(a,0)时，f′(x)<0，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，‎ ‎∴f(x)的单调增区间为(－∞，a)，(0，＋∞)，‎ 单调减区间为(a,0)．‎ 综上可知，当a＝0时，f(x)在R上单调递增；‎ 当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)，‎ 单调减区间为(0，a)；‎ 当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，a)，(0，＋∞)，‎ 单调减区间为(a,0)．‎ ‎(2)g′(x)＝x2－ax＋2，依题意，∃x0∈(－2，－1)，‎ 使不等式g′(x0)＝x－ax0＋2<0成立，‎ 即当x∈(－2，－1)时，a