高中数学 2_1_2课时同步练习 新人教A版选修2-1 4页

第2章 ‎‎2.1.2‎ 一、选择题(每小题5分，共20分)‎ ‎1．与点A(－1,0)和点B(1,0)连线的斜率之和为－1的动点P的轨迹方程是(　　)‎ A．x2＋y2＝3　　　　　　　　 B．x2＋2xy＝1(x≠±1)‎ C．y＝ D．x2＋y2＝9(x≠0)‎ 解析：　设P(x，y)，∵kPA＋kPB＝－1，‎ ‎∴＋＝－1，整理得x2＋2xy＝1(x≠±1)．‎ 答案：　B ‎2．已知两点M(－2,0)、N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|·|＋·＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为(　　)‎ A．y2＝－8x B．y2＝8x C．y2＝4x D．y2＝－4x 解析：　由|·|＋·，得 ‎4×＋(4,0)·(x－2，y－0)＝0，‎ ‎∴y2＝－8x.‎ 答案：　A ‎3．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于(　　)‎ A．π B．4π C．8π D．9π 解析：　设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|得 ＝2，‎ 整理得x2－4x＋y2＝0‎ 即(x－2)2＋y2＝4.‎ 所以点P的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，‎ 故S＝4π.‎ 答案：　B ‎4．已知A(－1,0)，B(1,0)，且·＝0，则动点M的轨迹方程是(　　)‎ A．x2＋y2＝1 B．x2＋y2＝2‎ C．x2＋y2＝1(x≠±1) D．x2＋y2＝2(x≠±)‎ 解析：　设动点M(x，y)，则＝(－1－x，－y)，‎ ＝(1－x，－y)．‎ 由·＝0，得(－1－x)(1－x)＋(－y)2＝0，‎ 即x2＋y2＝1.故选A.‎ 答案：　A 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎5．已知点A(0，－1)，当点B在曲线y＝2x2＋1上运动时，线段AB的中点M的轨迹方程是________．‎ 解析：　设点B(x0，y0)，则y0＝2x＋1.①‎ 设线段AB中点为M(x，y)，则x＝，y＝，‎ 即x0＝2x，y0＝2y＋1，代入①式，得 ‎2y＋1＝2·(2x)2＋1.‎ 即y＝4x2为线段AB中点的轨迹方程．‎ 答案：　y＝4x2‎ ‎6．已知动圆P与定圆C：(x＋2)2＋y2＝1相外切，又与定直线l：x＝1相切，那么动圆的圆心P的轨迹方程是________．‎ 解析：　设P(x，y)，动圆P在直线x＝1的左侧，‎ 其半径等于1－x，则|PC|＝1－x＋1，‎ 即＝2－x，‎ 整理得y2＝－8x.‎ 答案：　y2＝－8x 三、解答题(每小题10分，共20分)‎ ‎7．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若B＝2P，且O·A＝1.求P点的轨迹方程．‎ 解析：　由B＝2P，P(x，y)可得B(0,3y)，A，‎ ‎∴A＝.‎ ‎∵Q与P关于y轴对称，‎ ‎∴Q(－x，y)，且＝(－x，y)．‎ 由O·A＝1得x2＋3y2＝1(x>0，y>0)．‎ ‎8．过点P1(1,5)作一条直线交x轴于点A，过点P2(2,7)作直线P‎1A的垂线，交y轴于点B，点M在线段AB上，且BM∶MA＝1∶2，求动点M的轨迹方程．‎ 解析：　如图所示，‎ 设过P2的直线方程为y－7＝k(x－2)(k≠0)，则过P1的直线方程为y－5＝－(x－1)，‎ 所以A(5k＋1,0)，B(0，－2k＋7)．①‎ 设M(x，y)，则由BM∶MA＝1∶2，‎ 得②‎ 消去k，整理得12x＋15y－74＝0.‎ 故点M的轨迹方程为12x＋15y－74＝0.③‎ 尖子生题库☆☆☆‎ ‎9．(10分)已知圆C：x2＋(y－3)2＝9，过原点作圆C的弦OP，求OP中点Q的轨迹方程．(分别用直接法、定义法、代入法求解)‎ 解析：　方法一(直接法)：‎ 如图，因为Q是OP的中点，‎ 所以∠OQC＝90°.‎ 设Q(x，y)，由题意，得|OQ|2＋|QC|2＝|OC|2，‎ 即x2＋y2＋[x2＋(y－3)2]＝9，‎ 所以x2＋2＝(去掉原点)．‎ 方法二(定义法)：‎ 如图所示，因为Q是OP的中点，‎ 所以∠OQC＝90°，则Q在以OC为直径的圆上，故Q点的轨迹方程为x2＋2＝(去掉原点)．‎ 方法三(代入法)：设P(x1，y1)，Q(x，y)，‎ 由题意，得，即，‎ 又因为x＋(y1－3)2＝9，‎ 所以4x2＋42＝9，‎ 即x2＋2＝(去掉原点)．‎